初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?，其中2424b ac b h k a a -=-=
，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b
x a
=-时，y 有最小值244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．当2b
x a <-
时，
y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值
244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二
次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.
② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
二次函数对应练习试题
一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )
A.(2,－11)
B.（－2，7）
C.（2，11）
D. （2，－3） 2. 把抛物线2
2y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. 2
2(1)y x =-+ B. 2
2(1)y x =-- C. 2
21y x =-+ D. 2
21y x =--
3.函数2
y kx k =-和(0)k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数
2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数
值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C. 3个
D. 4个
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),
由图象可知关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==
和（ ）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7.方程2
2
2x x x
-=
的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. 2
2y x x =-- B. 2
2y x x =-++
C. 2
2y x x =--或2
2y x x =-++ D. 2
2y x x =---或2
2y x x =++
二、填空题
9．二次函数2
3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线2
2(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数2
241y x x =--的图象是由2
2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的
地方，桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52
-). (1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2
012
h v t gt =-
（0 ，其中重力加速度g 以10米/秒2 计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ （2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线2 y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式； （2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ?：ACD S ?=5 ：4的点P 的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）． 第15题图 （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之 间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x≤30). （1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上. 问矩形DEFG的最大面积是多少? F B G D C A 3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少? B Q C P A 4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少. 5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件) 与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x . (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 二次函数专题复习 图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系 1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ） y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知二次函数2 y ax bx c 的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ） A 0ab B 0bc C 0a b c D 0a b c 4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） y x A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，2 40b ac -> C 、0a <，240b ac -< D 、0a <，2 40b ac -> 7、已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2 +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=5 8、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b 2 -4ac ＞0；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0其中，正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二次函数对应练习试题参考答案 一，选择题、 1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空题、 9．4b =- 10．x ＜-3 11．如2 24,24y x y x =-+=+等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15 三、解答题 15．(1)设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得 解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215 322 y x x =--- (2)1x =-或-5 (2)3x <- 16．（1）由已知得，21 1520102 t t =- ??，解得123,1t t ==当3t =时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，2 520h t t =-+＝2 5(2)20t --+，可知顶点的横坐标2t =， 又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升． 17．（1）直线3y x =-与坐标轴的交点A （3，0），B （0，－3）．则9303b c c +-=??-=-?解得23b c =-??=? 所以此抛物线解析式为2 23y x x =--．（2）抛物线的顶点D （1，－4），与x 轴的另一个交点C （－1，0）.设P 2 (,23)a a a --，则211(423):(44)5:422 a a ??--??=.化简得2 235a a --= 32652b a a b c c ?-=-?? ++=-???=- ? 当2 23a a --＞0时，2 235a a --=得4,2a a ==- ∴P （4，5）或P （－2，5） 当223a a --＜0时，2235a a -++=即2 220a a ++=，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）． 18．（1）5.710 24026045?-+ =60（吨）．（2）260(100)(457.5)10x y x -=-+?，化简得： 23315240004y x x =-+-． （3）240003154 3 2-+-=x x y 23(210)90754x =--+． 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． （4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x 为210元，而对于月销售额 )5.71026045(?-+ =x x W 23(160)192004 x =--+来说， 当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x 为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x 为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W 不是最大．∴小静说的不对． 二次函数应用题训练参考答案 1、 （1）0≤x ≤13，13＜x ≤30；（2）59；（3）13. 2、过A 作AM ⊥BC 于M,交DG 于N,则 设DE=xcm,S 矩形=ycm 2,则由△ADG ∽△ABC, 故 AN DG AM BC =,即161624 x DG -= ,故DG=32(16-x). ∴y=DG ·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-3 2 (x-8)2+96, 从而当x=8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2. 3、设第t 秒时,△PBQ 的面积为ycm 2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm; 又BQ=2t.∴y=12 PB ·BQ=12 (6-t)·2t=(6-t)t=-t 2+6t=-(t-3)2+9, 当t=3时,y 有最大值9. 故第3秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是9cm 2. 4、解：(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c . 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05). ??? ??==-=? ?? ????++===-. 5.3, 0,2.0,5.15.105.3,5.3,022c b a c b a c a b 得 ∴抛物线的表达式为y =－0.2x 2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为 h +1.8+0.25=(h +2.05) m, ∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 5、解：(1)依题意得 鸡场面积y =－.3 50 312x x +- ∵y =－31x 2+350x =31 -(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3 625, ∴当x =25时，y 最大=3 625 , 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为 3625m 2 . (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为n x -50m. ∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n 50x =－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n 625, 当x =25时，y 最大=n 625 , 即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n 625 m 2 . 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 6、解：(1)y =－2x 2+180x －2800. (2)y =－2x 2+180x －2800 =－2(x 2－90x )－2800 =－2(x －45)2+1250. 当x =45时，y 最大=1250. ∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.