指数对数概念及运算公式资料
指数对数概念及运算
公式
指数函数及对数函数重难点
根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n .
②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n
幂的有关概念：
①规定：1）∈???=n a a a a n
( N *
， 2）)0(10
≠=a a ，
n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ），
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=?、∈s Q ），
3）∈>>?=?r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用.
例 求值
（1）
3
28
（2）2
125
- （3）()5
21- （4）()
43
8116-
例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)43a a ? （２）a a a （３）32
)(b a -
（４）43
)(b a + （５）32
2b a ab + （6）42
33
)(b a +
例.化简求值
（1）0
121
32322510002.08
27）（）（）（）（-+--+----
（2）2
11
5
3125.05
25
.231
1.0)32(256)
027.0(??
????+-+-?????
?-- （3）=?÷
?--3133
73
32
9a a a a
（4）21
1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ???????
=
（5
）
指数函数的定义：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数，
1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞，
3）当10<a 时函数为增函数.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）2
2
x y += （2）(2)x y =- （3）2x
y =-
（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x =
（7）x y x = （8）(1)x
y a =- （a ＞1，且2a ≠）
例：比较下列各题中的个值的大小
（1）1.72.5 与 1.7
3
( 2 )0.1
0.8
-与0.2
0.8
-
( 3 ) 1.7
0.3
与
0.93.1
例：已知指数函数()x
f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求
(0),(1),(3)f f f -的值.
思考：已知0.7
0.9
0.8
0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .
例 如图为指数函数x
x
x
x
d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则
d c b a ,,,与1的大小关系为
（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1
（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1
1、函数21
21
x x y -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数 2、函数1
21
x
y =
-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞
3、已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
例．求函数x
x y +??
? ??=221的值域和单调区间
例 若不等式3ax
x
22
->(
3
1)x +1
对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______. .f (x )=]()
?????+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______. 考查分段函数值域.
【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1
≤1, ∴－2 x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2 x e e e e f ，则函数)(x f 的值域是_____________ 例 点（2，1）与（1，2）在函数()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式 例.设函数 11 ()2 x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值范围． 例 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； 对数的概念： ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ， 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N a N a =log 例 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54 =645 （2）6 12 64-= （3）1() 5.733 m = （4）12 log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e = 例：求下列各式中x 的值 （1）642log 3 x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2 ln e x -= 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x . 练习：将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 . （1）12 5 -= （2）x = （3）1327 x = （4）1()644 x = （5）lg 0.0001x = （6）5 ln e x = 例 利用对数恒等式N a N log a =，求下列各式的值： (1)5log 4log 3log 354)3 1()51()41(-+ (2)2 log 2 log 4 log 7 101.03 17 10 3 -+ (3)6 lg 3log 2log 100492575-+ (4)3 1log 27 log 12 log 25 945 3 2 +- ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 1）1log log =?a b b a ， 2）.log log b m n b a n a m = 对数函数的运算规律 例．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy z ； （2）23 log a x y z ． 解：（1）log a xy z log ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-； 例．求下列各式的值： （1）() 752log 42?； （2）5lg 100 ． 解：（1）原式=7 5 22log 4log 2+=227log 45log 2725119+=?+?=； （2）原式=2 1 22lg10lg105 55 = = 例．计算：（1）lg14-21g 18lg 7lg 3 7 -+； （2）9lg 243lg ； (3) (4)lg2·lg50+(lg5) 2 (5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 （2）23 log a x y z 3log ()log a a x y z =-23log log log a a a x y z =+11 2log log log 23 a a a x y z =+-． 解：（1）18lg 7lg 3 7 lg 214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=?--+-? lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=； （2）2 53lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===； 例．计算：（1） 0.21log 3 5-； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.25 1log 3log 3 55 5 151553 = = =； （2） 原式 = 2 3 45412log 452log 213log 21232=+=+?． 例．求值：(1) ； (2) ； (3) (3). 例．求值 (1) log 89·log 2732 (2) (3) (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 对数函数性质典型例题 例．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数， 于是2log 3.4<2log 8.5； （2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数， 于是0.3log 1.8>0.3log 2.7； 2、比较大小 （1）2 12 log _________)1(log 2 2++a a (2)πa log ________)1(,log >a e a 3若02log )1(log 2 <<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,2 1( （D ）),1(+∞ 4 已知7.01.17.01.1,8.0log , 8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） （A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a c b << 例 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log 23.4，log 28.5 (2)log 0.31.8，log 0.32.7 (3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1) 例 如何确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系？ 提示：作一直线y ＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b 例 求下列函数的定义域. (1) y= (2) y=ln(a x -k ·2x )(a ＞0且a ≠1，k ∈R). 例．求函数)32(log 2 2 1--=x x y 的单调区间 解：设u y 2 1log =，322--=x x u ，由0>u 得0322 >--x x ，知定义域为 ),3()1,(+∞?--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当 ),3(+∞∈x 时，u 是增函数，而u y 2 1log =在+R 上是减函数 ) 33(2 1 2 log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞ 例 函数2 0.50.5log log 2y x x =-+的单调减区间是________。 例 已知y =log 4(2x +3－x 2 ). （1）求定义域； （2）求f (x )的单调区间； （3）求y 的最大值，并求取最大值时x 值. 考点 考查对数函数、二次函数的单调性、最值. 【解】 （1）由2x +3－x 2 >0,解得－1 ∴f (x )定义域为{x |－1 (2)令u =2x +3－x 2 ，则u >0,y =log 4u 由于u =2x +3－x 2=－(x －1)2 +4 再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,)3 又y =log 4u 为(0,+∞)增函数， 故该函数单调递增区间为（－1，1］，减区间为［1，3） （3）∵u =2x +3－x 2=－(x －1)2 +4≤4 ∴y =log 4u ≤log 44=1 故当x =1时，u 取最大值4时，y 取最大值1. 例 求函数)106(log 23++=x x y 的最小值． 变式．求函数)78lg()(2 -+-=x x x f 的定义域及值域． 例 已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ） A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【解析】 由1≤x ≤2?2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 【答案】 B 例 作出下列函数的图像，并指出其单调区间． (1)y=lg(－x)， (2)y=log 2|x ＋1| (3)y =|log (x 1)|(4)y log (1x)12 2－，＝－． 例 已知函数f (t ) =log 2t ，]8,2[∈t . （1）求f (t )的值域G ； （2）若对于G 内的所有实数x ，不等式－x 2+2mx －m 2 +2m ≤1恒成立，求实数m 的取值范围. 例 已知函数f (x )=1 421lg 2+-?++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意 义，求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：1 4212+-?++a a a x x >0, 且a 2 －a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)21 41( x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 2 1 都是减函数， ∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2 1 41(x x +-max =－43, ∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－4 3 , +∞). 例 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 1 2-a a (x －x 1 ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则 ).(),(1 )(),(1)(,2 2R x a a a a x f a a a a t f a x x x t t t ∈--=∴--= =-- , 101,.)(,10,)(, 01 ,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--= ---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且 f(x)在R 上都是增函数. ) 1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在 .211111111122< ? ??-<-<-<-<-<-∴m m m m m 例 已知函数x x x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性． 例、已知函数)0(,1 1 lg )(>∈--=k R k x kx x f 且. （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若函数)(x f 在[10，+∞)上单调递增，求k 的取值范围. 1．函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是 （ ） A ．),3 1(+∞- B ． )1,3 1(- C ． ]1(,1 3 - D ． )3 1,(--∞ 2．．已知函数f （x ）=lg （2x －b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞］时，f （x ）≥0恒成立，则 （ ） A ．b ≤1 B ．b ＜1 C ．b ≥1 D ．b =1 3．函数 y =322-+x x 的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．［1，+∞］ D ．［－3，－1］ 4．设f （x ）是定义在A 上的减函数，且f （x ）＞0，则下列函数：y =3－2f （x ）,y =1+) (2x f ,y =f 2 （x ）,y =1－)(x f ，其中增函数的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、.若集合M={y|y=2—x }, P={y|y=1x -}, M ∩P= （ ） A ．{y|y>1} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y>0 } D ．{y|y ≥0} 6、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 7、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 8、已知函数?? ?<+≥-=10 )] 5([103 )(n n f f n n n f ，其中* ∈N n ，则)8(f 的值为（ ） )(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 7 9、 函数x xa y x =(01)a <<的图象的大致形状是 （ ） 10．当a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，n ∈N*，下列各式不恒等．．．的是 （ ） A ．log a n x ＝n 1log a x B ．log a x ＝nlog a n x C ．x a x log ＝x D ．log a x n ＋log a y n ＝n （log a x ＋log a y ） 11 3 log 9 log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 12 函数f(x )=ln x － 2 x 零点所在的大致区间是 A （1，2） B （2，3） C （e ，+∞） D ()11,3,4e ?? ??? 和 13．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ． 03≥-≤m m 或 B ．03≤≤-m C ．3-≥m D ．3-≤m 14．函数2 12 log (231)y x x =-+的递减区间为 A.（1，+∞） B.（－∞ ， 43］ C.（21，+∞） D.（－∞，2 1］ 15．如果()f x 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是 A ．)1()43(2 +-≤-a a f f B ．)1()43(2 +-≥-a a f f C ．)1()4 3(2 +-=-a a f f D ．以上关系均不确定 16．函数()f x 、(2)f x +均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，()f x 是减函数，设 ),2 1 (log 8f a =(7.5)b f =，(5)c f =-,则a 、b 、c 的大小是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 17、如果方程2 lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、 35 1 18、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、 1 3 B D 19．三个数0.76 0.76,0.7,log 6的大小顺序是 （ ） （A ）60.70.70.7log 66<<（B ）60.7 0.70.76log 6<< （C ）0.7 60.7log 660.7<<（D ）60.70.7log 60.76<< 20、函数1 21 x y = -的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞ C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 【高中数学专项突破】 专题25 对数的概念及运算 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2?? ??? C.()()0,11,+∞ D.1,2? ?-∞ ?? ? 题组2 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.1 3 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与12 93= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.1 2 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若7 log x y z =，则（ ） A.7z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A.1 2 B.15 C.16 D.1 指数和对数运算 一、选择题 1.log ( )． A ．－12 D ．12 2.已知 3log 2 a =，那么 33log 82log 6 -用a 表示是（ ） A ．52a - B ．2a - C ．2 3(1)a a -+ D ． 2 31a a -- 3.1 2lg 2lg 25 -的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知4213 5 3 2,4,25a b c ===，则( ) A. c a b << B. a b c << C.b a c << D. b c a << 5.设3 .02.03.03.0,3.0,2.0===z y x ，则z y x ,,的大小关系为( ) A.x z y << B. y x z << C. y z x << D. z y x << 6.设0.2 1.6 0.2 2,2,0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A c a b <<． B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c << 二、填空题 7.7 33log 8lg 125lg ++= . 8.2 log 510＋log 50.25＝_________. 9.22log 12log 3-= ． 10.若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg 54=_____________． 11.若2log 31x =，则3x 的值为 。 12.化简2 log 2 lg5lg2lg2+-的结果为__________. 13.计算=÷--21 100)25lg 41 (lg _______． 三、解答题 14.(本小题满分12分)计算 （Ⅰ）2 221 log log 6log 282 -； （Ⅱ）213 4 270.00818-?? -+ ? ?? 15. lg(x 2 +1)－2lg(x+3)+lg2=0 对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x 111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。 方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式 1.根式运算法则： (1) ， ， ； (2) ， ， (m a =≥0) a =≥0,P ≠0) (5) , 0),,a m n N =≥∈其中 2.指数运算法则： ， ， ， ， ， ， （7）1 (0)m m a a a -=≠， （8）1 n a = （9）m n a =（10） d b d b a c a c =?= 3.对数运算法则： i 性质：若a ＞0且a≠1，则 ， ， （3）零与负数没有对数， （4）log log 1a b b a ?= ⑥, （7）log log log 1a b c b c a ??= ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则 ， ， ， log log (,01)m n a a n b b a b m =>≠且 （4） , log log n n a a m m =， 1log log n a a m m n = （5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0, （6）倒数公式 1 log ,0,1log a b b a a a = >≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x N x N =?= （8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =?= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n →∞ =+≈ 4.指数与对数式的恒等变形： ； 。 5、指数方程和对数方程解题： ()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=定义法） ()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =?=（取对数法） ()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =?=（换底法） 6、理解对数 ①两种log a b 理解方法 1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。 2、表示a 的多少次方等于b 。 ② log log (...)n a a m M M M =??? n 个 log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M = 对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数? 《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数 3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计 高加索教育指数函数和对数函数总结练习典藏版 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，log 在a >1及 01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的 反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10 22 2--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图， 如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ?13也由关于y 轴的对 称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以 a 为底N 的对数，记作 b N a =log （a 是底数，N 是真 数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零或负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：() 3 13 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 3、对数函数： 定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数 y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ，， y x =lg 的图象的认识。 图象特征与函数性质： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =log 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时， y x =log 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01< 2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()( 参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 指数函数和对数函数 y a a a x =>≠01且定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。a 必须a a >≠01且。 如果 a N a a =>≠()01且，那么数 b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对 数式。）由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在 求35x =中的x ，化为对数式x =log 35即成。 对数恒等式：由a N b N b a ==()log ()12a N a N log =对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是 零； ③底数的对数等于1。对数的运算法则： ()() log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ()log log log a a a M N M N M N R =?∈+，()() log log a n a N n N N R =∈+ () log log a n a N n N N R =∈+1 3、对数函数：定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ，，y x =lg 的图象的认识。： 4、对数换底公式： log log log log (.)log b a a n e g N N b L N N e N L N N = ===其中…称为的自然对数称为常数对数 27182810 由换底公式可得： L N N e N N n = ==lg lg lg ..lg 04343 2303 由换底公式推出一些常用的结论： （1） log log log log a b a b b a b a = =11或· （2）log log a m a n b m n b = （3）log log a n a n b b = （4） 对数概念及其运算 知识点1 对数 1.对数的定义 如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。在对数函数b N a =log 中，a 的取值范围是 ()1,0≠>a a 且，N 的取值范围是0>N ，b 的取值范围是R b ∈。 【注意】根据对数的定义可知 （1）零和负数没有对数，真数为正数，即0>N （2）在对数中必须强调底数0>a 且1≠a 2.常用对数 （1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 记做N lg 。 （2）常用对数的性质 10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即() 是整数n n n =10lg 3.自然对数 （1）定义：以Λ71828.2=e 为底的对数叫做自然对数，N e log 通常记为InN 。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：4343 .0lg lg lg N e N InN == ，即N InN lg 303.2=。 4.指数式与对数式的互化 （1）符号N a log 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其 指数的算式。对数式b N a =log 的a 、N 、b 在指数式N a b =中分别是底数、指数和幂。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： ①在b N a =log 中，必须0>N ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而 N a b =中的N 总是正数，须强调零和负数没有对数。 ②因为10 =a ，所以01log =a 。 ③因为,1 a a =所以1log =a a 。 ④因为N a b =，所以b N a =log ，所以N a N g l a =0。 【例1】下列说法错误的是（） (A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式 （C ）以10为底的对数叫做常用对数 （D ）以e 为底的对数叫做自然对数 指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?.对数指数函数公式全集
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