当前位置：文档库 › 高等代数(北大版)第6章习题参考答案

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间

1.设,N M ?证明：,M

N M M

N N ==。

证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N

M ∈。又因

,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论

哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M

N N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证

),(L N M x ∈?则

.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是

.L M x N M x ∈∈或所

以

)

()(L M N M x ∈，由此得

)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故

),()()(L N M L M N M ?

于是)()()(L M N M L N M =。若x M N

L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈， X M

L ∈且，x M

N ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M

L M N M M N M

N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以

（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

2121211211

b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

k a a =；

8）全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：

a b ab ⊕=，k k a a =；

解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如

523n

x x ++--=（）（）。 2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为

f （x ）+

g （x ）=

h （x ），kf （x ）=d （x ）所以

f （A ）+

g （A ）=

h （A ），kf （A ）=d （A ）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有

'''（A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）

，所以kA 是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2

a -

b ）。对于数乘：

2222222

1(11)111)(,),2(1)(1)(1)

.(.(,).(,)(,[2]())

222

(1)(1)(1)(1)

(,[]())(,())

2222

(1)(,)().(,),

2(a b a b a a b l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la l l k k kl kl k k kla k lb a la kla a la kl kl kla a klb kl a b -==

=---=+=++----=++=+-=+=。（，）（。，。2

()(1)).(,)[(),()]

(1)(1).(,).(,)(,)(,22

(1)(1)(,)

22(1)(1)[(),()].

2k l k l k l a b k l a a k l b k k l l k a b l a b ka kb a la lb a

k k k k ka la kb a a kla k k l k l a a k l b ++-+=+++--⊕=+⊕+--=++++++-=+++

即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。

),()],(),[(2121212211a a b b a a k b a b a k +++=⊕

＝)])(2

)

1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+

+++， ),()(221,1b a k b a k ⊕

＝)2)1(,()2)1(,(2

2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+

＝)2

)1(2)1(,(2122

2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-+

+ ＝)2

)1(2)1()(),((212122

221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-+

+++

＝))(2

)1()(),((2

2221212121a a k k a a b b k a a k +-+

+++，即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠= 。 7

）

否

，

因

为

)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以，

所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

1);

)()()()();)111;

1111

):1,1;

)1;

)(())()()();)()()();

)()l l k lk kl k l k l i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a a a

v a a a vi k l a k a a a a kl a vii k l a a a a ka la viii k a b +⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕=?=⊕=?=⊕=⊕=======+==?=⊕⊕是零元：的负元是且()()()().

k k k k ab ab a b k a k b ====⊕

所以，所给集合+

R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。

证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。

2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。

5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。

证因为1cos 22cos 2

-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2

式线性相关的。

6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，

不妨设,01≠k 则)()()(31

3212

1x f k k x f k k x f --

=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

)(),(),(321x f x f x f 线性无关。

7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设

1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε； 2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。

解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????

???=+--=-+-=--+=+++1

121

d c b a d c b a d c b a d c b a ，

可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4

,41,41,45-=-===

d c b a 。 2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????

???=-+=-=+++=++1

0300

2d b a d b d c b a c b a ，

可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ?；2）P n n ?中全体对称（反对

称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全

体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012?

???

? ??ωω231i

+-=ω。

解 1)n n P ?的基是{

),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n n

n ?=。

2) i)令?????

???=...

............1............1.........

...

ij F ，即,1==ji

ij a a 其余元素均为零,则

{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是

)

1(+n n 维的。 ii)令?????

? ??-???=...............1............1............ij G ，即),(,1j i a a ji

ij ≠=-=其余元素均为零,则{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是

)

1(-n n 维的。 iii) {}nn n n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2

)

1(+n n 维的。

3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2 a a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

4)因为231i +-=ω,13=ω,所以?????+=+===2

3,13,3,12q n q n q

n n

ωωω，

于是E A A =????? ??=????? ?

?=111,1322

ωω，而??

???+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n

。

9.在4

P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐

标。设

)()()()()?????????????

?====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114

1εεεε，()()

()()?

????

??===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη，

()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()??????????????--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,12432

1εεεε，()()()()?

??????=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,243

21ηηηη，

()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()??????????????--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,13432

1εεεε，()

()()()

???????--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,143

21ηηηη，

()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；

解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）??

?-310112116331

6502

=（,1ε432,,εεε）A

这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1

-A ，得（,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1

-A ，

于是

=ξ（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ?????

? ??4321x x x x ，

所以在基下的坐标为

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 . 设 M N , 证明： M N M , M N N 。 1 证任取M , 由 M N , 得 N , 所以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任取 M 或N , 但 M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N）（ M L）。在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L）故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）（kk 1） 2

高等代数北大版第章习题参考答案

第七章线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10，。进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc

第五章二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2x 2 x 3 ； 2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ； 3） x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ； 4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ； 5） x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ； 6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ； 7） x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 2 x 3 2x x 4 。 1 2 3 4 3 解1）已知 f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换 x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 （ 1） x 3 y 3 则 f x 1 , x 2 , x 3 4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3 4y 2 4y y y 2 y 2 4y 2 1 1 3 3 3 2 2 y 1 3 y 32 4 y 22 ， y 3 再作非退化线性替换 y 1 1 z 1 1 z 3 2 2 y 2 z 2 （ 2） y 3 z 3 则原二次型的标准形为

f x 1 , x 2 , x 3 z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为 x 1 1 z 1 z 2 1 z 3 2 2 x 2 1 z 2 1 （ 3） z 1 z 3 2 2 x 3 z 3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 ， 1 0 0 1 2 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 1 2 ）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得 f x , x , x x 2 2x x 2 x 2 x 2 4x x 3 4x 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 x 1 x 2 2 x 2 2x 3 2 ，于是可令 y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ， y 3 x 3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 y 2 y 2 ， 1 1 2 且非退化线性替换为

(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。