(word完整版)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）

23.已知函数()32

23log 32

a f x x x x =

-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()3

24ln 63

g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求

证：122x x +≥

24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x

；

(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.

25.已知函数()ln a

f x a x x x

=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；

(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2

1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.

27.已知函数()()()()2

21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.

（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；

（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.

28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；

（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

29.已知函数()1

ln 2

f x x x =+（a ∈R ）. （1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在区间1,14??

???

上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；

（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.

30.已知函数()ln f x x a =+，()(),b

g x x a b R x

=

-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()

1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .

31.()2x

f x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.

（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11

k x

f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.

32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3． （1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．

33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *），函数f （x ）=ln （x x

-+11）在点

（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3

（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21?（3

1

）n ﹣2（n ∈N *）

34.已知函数f （x ）= ?????∈--∈-]3,1[),1(55

]

1,0[,2x x f x x x

（Ⅰ）求f （

2

5

）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤x

k

对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．

35.已知函数

1()(2)a f x a x x a -?

?=-- ?

??，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．

36.若实数x ，y ，m 满足

x m y m

-<-，则称x 比y 靠近m ．

（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．

（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a

37.已知函数

2

()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1

()()()2

g x f x x f x '=-?，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．

（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．

38.已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的极值点．

（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,e]上的最小值．

39.已知函数

1

()ln 2f x x x

=-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间．

40.设m ∈R ，函数f （x ）=e x ﹣m （x +1）+41

m 2（其中e 为自然对数的底数）

（Ⅰ）若m =2，求函数f （x ）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=1，对任意的m ＜0，不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+

f （1）恒成立，求x 1的取值范围；

（Ⅲ）若函数f （x ）有一个极小值点为x 0，求证f （x 0）＞﹣3，（参考数据ln6≈1.79）

41.已知函数f （x ）=x 2﹣x 3，g （x ）=e x ﹣1（e 为自然对数的底数）． （1）求证：当x ≥0时，g （x ）≥x +

2

1x 2； （2）记使得kf （x ）≤g （x ）在区间[0，1]恒成立的最大实数k 为n 0，求证：n 0∈[4，6]．

42.设函数32

11()(3)332

f x x ax a x =

++++，其中a R ∈，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且101x ≤<．

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设函数'

1()()()x f x a x x ?=--，当12x x x <<时，求证：|()|9x ?<．

43.已知

14)(2+-=

x t

x x f 的两个极值点为α，β，记A （α，f （α）），B （β，f （β））

（Ⅰ）若函数f （x ）的零点为γ，证明：α+β=2γ． （Ⅱ） 设点 C (

m t -4,0)，D (m t

+4

,0)，是否存在实数t ，对任意m ＞0，四边形ACBD 均为平行四边形．若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．

44.已知函数ln (),x

f x x

=

() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,

,.a a b b a b ≥?=?

（Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).

45.已知函数2

()2ln ,f x x a x a R =+∈．

（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；

（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

23.（Ⅰ）()2

1

23ln f x x x x a

'=-+

， 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由

21230ln x x x a -+

≥321

23ln x x a

?-≥-?，设()3223m x x x =-，则 ()266m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知 ()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，

所以()()min 11m x m ==-，所以1

1ln a

-≥-

， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则

10ln a <，这与1

1ln a

≤

矛盾， 从而不能使()0f x '≥恒成立，所以1a e <≤． （Ⅱ）()322332g x x x =

-+32ln 4ln 63x x x x --+23

3ln 62

x x x =--+，因为()()120g x g x +=，

所以211133ln 62x x x -

-++22223

(3ln 6)02

x x x --+=，所以 221212123

()3ln()6()02

x x x x x x -+-++=， 212121

[()2]2

x x x x -+--1212ln()2+=0x x x x +（

）， 212121

()+2

x x x x -+1212ln()2()0x x x x -++=， 所以212121

()+2()2

x x x x -

++1212ln()x x x x =-， 令12x x t =，()ln g t t t =-，()111t

g t t t

-'=-=

，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减， ()()11g t g ≤=-，所以212121

()2()12

x x x x -+++≤-，整理得

21212()4()20x x x x +-+-≥，

解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥

24.(1)记()1x F x e x =--， ∵()'1x F x e =-， 令()'0F x =得0x =， 当(),0x ?

?，()'0F x <，()F x 递减；当()0,x ??，()'0F x >，()F x 递增，

∴()()min 00F x F ==， ()10x F x e x =--?，

得1x e x ?.

(2)切点为(),A m n ，()1m <，则

2

1222

m m n km n e m m k e m ì=+??=--í??=--?，∴()2110m m e m --+=， ∵1m <，∴10m e m --=由(1)得0m =. 所以1k =-.

(3)由题意可得20x e x ax --?恒成立，

所以2x e x a x

-￡，

下求()2

x e x G x x -=的最小值，

()()()()

()22

2

2

111

1111'x

x

x x e x x e x x e x G x x

x

x

轾----------臌=

=

=

，

由(1)1x e x ?知10x e x --?且1x ￡. 所以()'0G x <，()G x 递减， ∵1x ￡，∴()()11G x G e ?-.

所以1a e ?.

25.(1)()()22

'0x ax a

f x x x -+=>.

由函数()ln a

f x a x x x

=-+-

(a 为常数)有两个不同的极值点. 即方程20x ax a -+=有两个不相等的正实根.

∴121220040

x x a x x a a a ì+=>??

=>í??D=->?，∴4a >.

(2)由(1)知12x x a +=，12x x a =，4a >， ∴()()()2

121212121212

ln x x f x f x a x x x x a x x x x l ++=-++->+， 所以ln a

a

l <-恒成立. 令()ln a

F a a

=-，4a >. ∵()2

ln 1

'0a F a a

-=

>，()F a 递增， ∴()()ln 2

42

F a F >=-

， ln 2

2

l ?.

26.（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()11

ax f x a x x

-'=-

=

. 当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减. ∴()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，令()0f x '=得()1

0,x a

=∈+∞； 列表

所以当1

x a

=

时，()f x 取得极小值. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点.

（2）对1x ?>，()2

xf x ax ax a <-+恒成立等价于ln 1

x x x

a x +<

-对1x ?>恒成立，

设函数()ln 1x x x g x x +=

-（1x >），则()()

2

ln 2

1x x g x x --'=-（1x >），

令函数()ln 2x x x =--?，则()1

1x x

'=-?（1x >）， 当1x >时，()1

10x x

'=-

>?，所以()x ?在()1,+∞上是增函数， 又()31ln30=-?，

所以存在()03,4x ∈，使得()00x =?，即()00g x '=，

且当()01,x x ∈时，()0x ?，即()0g x >，故()g x 在()0,x +∞上单调递增； 所以当()1,x ∈+∞时，()g x 有最小值()000

00ln 1

x x x g x x +=

-，

由()00x =?得00ln 20x x --=，即00ln 2x x =-， 所以()()000

00021

x x x g x x x -+=

=-，

所以0a x <，又()03,4x ∈，所以实数a 的最大整数值为3.

27.（I ）由题意得2

()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]

'()1x a h x x --=-，

①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；

②当0a >时，令'()0h x <，则11x a <<+；令'()0h x >，则1x a >+； ∴()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增； ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a =-，无极大值；

（II ）当0a >时，由（1）知，()h x 在(1,1]a 上递减，在(1,)a ++∞上递增，且有极小值(1)(1ln )h a a a =-.

①当a e >时，(1)(1ln )0h a a a =-<，∴(1)(1f a g a <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立； ②当0a e <≤时，(1)(1ln )0h a a a =-≥，

2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-，

令()()(2)]u x f x ax a a =--，1x >，

则2()[(1)]0u x x a =-+≥，∴2(2)()ax a a f x -≤，

令()2(2)()v x ax a a g x =-+-=2(2)2ln(1)ax a a a x -+--，1x >， 则2[(1)]

'()a x a v x -+=

，令'()0v x <，则11x a <<+；令'()0v x >，则

1x a >+；

∴()(1)v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥，∴()2(2)g x ax a a ≤-+， ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-+≤，

当2k a =，2m a a =--时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立， ∴0a e <≤符合题意. 由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e . 28.

（I ）设2

()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+． 由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2

()2f x x x c ∴=++．

又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，

440c ∴?=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；

（II ）依题意，得

221

(21)(21)t

t

x x dx x x dx ---++=++?

?，

32320

1

1133t

t

x x x x x x ---????∴++=++ ? ???

??

，

整理，得3226610t t t -+-=，即3

2(1)10t -+=，

3

12t ∴=

29.

（1）对()f x 求导，得()1122f x x

x

'=+-

. 因此()1122

a

f '=

+.又()11f a =+， 所以，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为()()11122a y a x ??

-+=+- ??

?. 将2x =，3y =代入，得()13122

a

a -+=+.解得1a =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.

(

)112f x x

'=+

-

212x x +=.

设()f x 的一个极值点为m

，则210m +=

，即a =

-所以(

)f x '=

=.

当()0,x m ∈时，()0f x '<；当(),x m ∈+∞时，()0f x '>. 因此()f x 在()0,m 上为减函数，在(),m +∞上为增函数. 所以m 是()f x 的唯一的极值点，且为极小值点. 由题设可知1,14m ??∈ ???

.

因为函数a =

-1,14??

???

上为减函数，

a -<<11a -<<. 所以a 的取值范围是()1,1-.

（3）当0x >时，()0f x >

恒成立，则1

ln 02

x x +>恒成立，

即1

ln x x

a ->0x ?>恒成立.

设(

)1ln x x g x -=(

)11ln x x

g x --'=.

设()1

1ln 2

h x x x =--

（0x >），显然()h x 在()0,+∞上为减函数. 又()10h =，则当01x <<时，()()10h x h >=，从而()0g x '>； 当1x >时，()()10h x h <=，从而()0g x '<. 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数.

所以()()max 11g x g ==-，所以1a >-，即a 的取值范围为()1,-+∞. 30.

(1)由()1'f x x =

，()2'1b

g x x

=--. 得()()()()

'1'111f g f g ì=?í?=?，解得3a =-，2b =-.

(2)证明：设()()()ln b

h x f x g x x a x x

=-=+-+， 则()()222

1'10b x x b h x x x x x ++=++=>，

①当0b 3时，()'0h x >，函数()h x 在()0,+?上单调递增，

不满足()()f x g x 3恒成立.

②当0b <时，令20x x b ++=，由140b D=->，

得0x >

，或0x <(舍去)，

设0x ()y h x =在()00,x 上单调递减，在()0,x +?上单调递增，

故()()0min 0h x h x =?，即000ln 0b x a x x +-

+?，得000

ln b a x x x ?-.

又由2000x x b ++=，得200b x x =--， 所以()

2200000000

ln 1ln b

a b x x x x x x x x -?

----=---+，

令()2

1ln t x x x x =---+，()()()2211121'21x x x x t x x x x x

+---=--==. 当()0,1x ?时，()'0t x <，函数()t x 单调慈善 当()1,x ??

时，()'0t x >，函数()t x 单调递增；

所以()()min 11t x t ==-，1a b -?即1b a -?， 故当2a ?时，得1b ?. 31.

（1）()x

f x e a '=-，x R ∈

若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增 若0a >，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增 （2）由于1a =，所以

()11

k x

f x x -'时，

10x e ->

故()()

11x k x e x --<+11x x k x e +?<

+-，令()1

1

x x g x x e +=+-（0x >） 则()()

2

1

11x x

xe g x e

-+'=

+=

-()

()

2

21x x x

e e x e

---

函数()2x f x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()10h <，()20h >， 所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点. 故()g x '在()0,+∞上存在唯一的零点. 设此零点为0x ，则()01,2x ∈.

当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()0g x ，由于()00g x '=，可得0

02x e x =+

所以()()0012,3g x x =+∈，所以整数k 的最大值为2. 32.

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min ，记h （x ）=2ln x+x+，x ∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=2（ln x+1）， 令f′（x ）=0，得x=，当x ∈时，f′（x ）＜0，当x ∈时，f′（x ）＞0， 所以f （x ）在

上单调递减；在

上单调递增．

（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立， 即2xln x≤﹣x 2+ax ﹣3在x ∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x ∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min ．

记h （x ）=2ln x+x+，x ∈（0，+∞）， 则h′（x ）=+1﹣

=

=

．

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．

33.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1=ln（﹣1）+x n，从而证出结论即可；

（Ⅲ）得到b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．

【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，

则g′（x）=，

故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；

（Ⅱ）由f′（x）=+=，

故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），

令y=0，则x n+1=x n+f（x n）（﹣1），

则x n+1=ln（﹣1）+x n，

由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1＜（2x n）?（﹣1）+x n=x n3；

（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），

∵x n+k＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），

∴log a x n+k＞log a，

从而b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，

∴log a+log a+…+log a

=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，

要证log a+log a+…+log a＜?（）n﹣2（n∈N*），

只需b0＜，

即证b0＜?a＜?x n＜，

由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，

故原结论成立．

34.

【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．

【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由

x∈[2，3]?x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．

当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）= [（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．

（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，

则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立?k≥（x2﹣x3）max，

令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，

当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，

∴h（x）max=h（）=；

②当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，所以f （x ）=﹣ [（x ﹣1）﹣（x ﹣1）2]≤恒成立

?k≥

（x 3﹣3x 2+2x ），x ∈（1，2]．

令t （x ）=x 3﹣3x 2+2x ，x ∈（1，2]．则t′（x ）=3x 2﹣6x+2=3（x ﹣1）2﹣1， 当x ∈（1，1+

）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1+

，2]时，t （x ）单调递增，

t （x ）max =t （2）=0，

∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；

③当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，令x ﹣2=t ∈（0，1]， 则k≥（t+2）（t ﹣t 2）=g （t ），在t ∈（0，1]恒成立．

g′（t ）=﹣（3t 2+2t ﹣2）=0可得，存在t 0∈[，1]，函数在t=t 0时取得最大值． 而t 0∈[，1]时，h （t ）﹣g （t ）=（t 2﹣t 3）+（t+2）（t 2﹣t ）=t （1﹣t ）（2t ﹣1）＞0，

所以，h （t ）max ＞g （t ）max ， 当k≥

时，k≥h （t ）max ＞g （t ）max 成立，

综上所述，k≥0，即k min =0． 35.见解析

（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴

x

(0,1) 1 (1,3) ()f x ' -

+

()f x

↓ 极小 ↑

∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，

而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -??--> ??

?，

∵1120a a a a

-+-

=>，

∴

1

2a a

-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -?

， 0a <时，1(2)0a x x a -?

?--< ??

?．

①10a -<<，则12a a

-<

， ()0f x >解集为1|2a x x a -?

?<

．

②1a =-，无解．

③1a <-，解集为1|2a x x a -??<

． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -?

<

??

． 10a -<<，1|2a x x a -?

?<

1a =-，?．

1a <-，12a x a -??

<

． 36.

（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-?<-++， ∴1

2

x <-．

（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++， 记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x

-'=

-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．

∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0． ②120n ->， 由①得：

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1．（2014大纲理）曲线1x y xe- =在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A．2e B．e C．2 D．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示， 则该函数的图象是(B) 4．（2012陕西文）设函数f（x）= 2 x +lnx 则（ D ） A．x= 1 2 为f(x)的极大值点B．x= 1 2 为f(x)的极小值点 C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在，若 :()0 p f x=： :q x x =是() f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】C 6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则 【答案】-1 8．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则． 【答案】 1 2 9．(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得

，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+

高考数学——导数大题精选

高考数学——导数大题精选 6.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 例2 求下列函数的导数： (1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++= (4)1 1-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x y cos sin 2cos -= 1.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围 2.设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1. 3.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ； （Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈， 恒成立，求实数m 的取值范围 4.设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144??-???? ，的最大值和最小值 6.已知函数2221()()1 ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．

高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练 1. 已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设12x x ，是()f x 的两个零点，证明：12 2.x x +< 2. (I)讨论函数2()2 x x f x e x -= +的单调性，并证明当0x >时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 3. 设设函数()()()cos21cos +1f x x x αα=+-，其中0α>，记()f x 的最大值为A . （Ⅰ）求'f x （）； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明()'2f x A ≤. 4. 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为()14y e x =-+， （I ）求,a b 的值； (I I) 求()f x 的单调区间。 5. 已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设1 22 a b == ，. ① 求方程()=2f x 的根; ②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞ ，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 6. 已知()221 ()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3 ()'2 f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立

(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一).doc

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（一） 1.已知函数f (x) x2 ax ln x(a R) . （1）函数f (x)在 [1,2] 上的性； （2）令函数g( x) e x 1 x2 a f (x) ，e=2.71828?是自然数的底数， 若函数 g (x) 有且只有一个零点m，判断 m 与 e 的大小，并明理由 . 2.已知函数 f (x) x3ax2bx c 在x 2 与x 1都取得极. 3 （1）求 a， b 的与函数f( x)的区； （2）若x [ c,1] ，不等式 f (x) c 恒成立，求 c 的取范 . 2 3.已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1x) . （1）明 f '(x) 2 ； （2）如果 f (x) ax x [0,1) 恒成立，求 a 的范 .

x 1 4.已知函数f (x) （ e 自然数的底数） . e x （1）求函数f (x)的区； （2）函数(x) xf (x) tf '(x) 1 x1， x2 [0 ，1] ，使得 2 ( x1 )(x2 ) x ，存在数 e 成立，求数t 的取范 . 5.已知函数 f ( x) kx a x，其中k R，a 0且a 1 . （1）当 a e （ e=2.71 ?自然数的底），f(x)的性；（2）当k 1，若函数f(x)存在最大g(a)，求g(a)的最小. 6.已知函数 f x x2ax ln x a R （1）当a 3 ，求函数f(x)在 1 , 2 上的最大和最小； 2 （2）函数 f(x)既有极大又有极小，求数 a 的取范 .

7.已知 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 1 x 3 ax a R ，且曲线 f(x)在 3 x 1 处的切线与直线 y 3 x 1平行 2 4 （1）求 a 的值及函数 f(x)的解析式； （2）若函数 y f x m 在区间 3, 3 上有三个零点，求实数 m 的取值范围 . 8.已知函数 f x x 0 ax, a ln x （1）若函数 y f x 在 1, 上减函数，求实数 a 的最小值； （2）若存在 x 1 , x 2 e,e 2 ，使 f x 1 f x 2 a 成立，求实数 a 的取值范围 . 9.已知函数 f (x) x 3 ax 2 bx 1， a ， b R ． （ 1）若 a 2 b 0 ， ①当 a 0 时，求函数 f(x)的极值（用 a 表示）； ②若 f(x)有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试 求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （ 2）函数 f( x)图象上点 A 处的切线 l 1 与 f(x)的图象相交于另一点 B ，在点 B 处的切线为 l 2 ，直线 l 1， l 2 的斜率分别为 k 1， k 2 ，且 k 2 =4k 1 ，求 a ，b 满足的关系式．

高考数学导数专题

2013届高考数学（理）一轮复习——导数及其应用 一、选择题 1、若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋2 2、设函数x x x f 6)(2-=，则)(x f 在0=x 处的切线斜率为（ ） （A ）0 （B ）-1 （C ）3 （D ）-6 3 ．（2012陕西理）设函数()x f x xe =,则 （ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点 D ．1x =-为()f x 的极小值点 4．（2012厦门市高三上学期期末质检）函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区是（ ） A.(－∞,0) B. (0,＋∞) C. (－∞,－3)和(1,＋∞) D. (－3,1) 5 ．（2012新课标理）已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 6 ．（2012浙江理）设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a

A.32- B.2- C.2-或3 2- D. 不存在 8 ． 6．函数1()f x x x =+的单调递减区间是（ ） A.(1,1)- B.(1,0) -(0,1) C.(1,0)-,(0,1) D.(,1)-∞-,(1,)+∞ 9、已知函数(),()f x g x ''分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数()()()h x f x g x =-，则（ ） A ．(1)(0)(1)h h h <<- B ．(1)(1)(0)h h h <-< C ．(0)(1)(1)h h h <-< D ．(0)(1)(1)h h h <<- 10．曲线y ＝13x 3＋x 在点? ????1，43处的切线与坐标轴围成的三 角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23 11、定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数 (),)1g x x x ==-3()ln(1),()1h x x x x ?=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系 为（ ） A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>> 12．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12 ，b ＝log 32， 则下列关系正确的是( ) A ．f (a )>f (b ) B ．f (a ).若曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面 积为2a ,则a =______. 16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 三、17．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．