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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷理科)

数学(理工农医类)

一、选择题

1.已知复数z 的共轭复数z =1+2i(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限

2.已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ?B ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

3.双曲线x 24-y 2

=1的顶点到其渐近线的距离等于( )

A.25

B.45

C.255

D.455

4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )

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A .588

B .480

C .450

D .120

5.满足a ,b ∈{-1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的有序数对(a ,b )的个数为( )

A .14

B .13

C .12

D .10

6.阅读如图所示的程序框图,若编入的k =10,则该算法的功能是( )

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A.计算数列{2n-1}的前10项和

B.计算数列{2n-1}的前9项和

C.计算数列{2n-1}的前10项和

D.计算数列{2n-1}的前9项和

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7.在四边形ABCD中,则该四边形的面积为()

A. 5 B.25C.5 D.10

8.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是() A.?x∈R,f(x)≤f(x0)

B.-x0是f(-x)的极小值点

C.-x0是-f(x)的极小值点

D.-x0是-f(-x)的极小值点

9.已知等比数列{a n}的公比为q,记b n=a m(n-1)+1+a m(n-1)+2+…+a m(n-1)+m,c n=a m(n-

·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是()

1)+1

A.数列{b n}为等差数列,公差为q m

B.数列{b n}为等比数列,公比为q2m

C.数列{c n}为等比数列,公比为qm2

D.数列{c n}为等比数列,公比为qm m

10.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(ⅰ)T ={f(x)|x∈S};(ⅱ)对任意x1,x2∈S,当x1

A .A =N *,

B =N

B .A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0

C .A ={x |0

D .A =Z ,B =Q 二、填空题

11.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则事件“3a -1>0”发生的概率为________.

12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是________.

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13. 如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC ,sin ∠BAC =22

3,AB =32,

AD =3,则BD 的长为________.

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14.椭圆Γ:x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2

c ,若直线y =3(x

+c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________.

15.当x ∈R ,|x |<1时,有如下表达式: 1+x +x 2+…+x n +…=

11-x

. 两边同时积分得:∫1201d x +∫120x d x +∫120x 2d x +…+∫120x n d x +…=∫1201

1-x d x ,

从而得到如下等式:

1×12+12×????122+13×????123+…+1n +1×

????12n +1+…=ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

C 0n ×12+12C 1n ×????122+13C 2n ×????123+…+1n +1C n n ×????12n +1=________.

三、解答题

16.(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,

方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为2

5,中奖可以获得3分;未中奖

则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X ,求X ≤3的概率;

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

17.(本小题满分13分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ). (1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )的极值.

18.(本小题满分13分)如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2,…,A 9和B 1,B 2,…,B 9连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).

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(1)求证:点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程; (2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ,N ,若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1,求直线l 的方程.

19.(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AA 1=1,AB =3k ,AD =4k ,BC =5k ,DC =6k (k >0).

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(1)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;

(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6

7

,求k 的值;

(3)现将与四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f (k ),写出f (k )的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)

20.(本小题满分14分)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图像的一个对称中心为????

π4,0.将函数f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图像向右平移π

2

个单位长度后得到函数g (x )的图像.

(1)求函数f (x )与g (x )的解析式;

(2)是否存在x 0∈????

π6,π4,使得f (x 0),g (x 0),f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x 0的个数,若不存在,说明理由;

(3)求实数a 与正整数n ,使得F (x )=f (x )+ag (x )在(0,n π)内恰有2 013个零点. 21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.

(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 已知直线l :ax +y =1在矩阵A =?

??

??1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′:x +by =1.

①求实数a ,b 的值;

②若点P (x 0,y 0)在直线l 上,且A ? ????x 0y 0=? ??

??x 0y 0,求点P 的坐标. (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为????2,π4,直线l 的极坐标方程为ρcos ???

?θ-π

4=a ,且点A 在直线l 上. ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程;

②圆C 的参数方程为?

????

x =1+cos α,

y =sin α(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系.

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设不等式|x -2|

2?A .

①求a 的值;

②求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.

答案

1.解析:选D 本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识,意在考查考生对概念的理解与应用能力.∵z =1+2i ,∴z =1-2i ,∴复数z 在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.

2.解析:选A 本题考查集合与充分必要条件等基础知识,意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力.因为A ={1,a },B ={1,2,3},若a =3,则A ={1,3},所以A ?B ;若A ?B ,则a =2或a =3,所以A ?B ?/ a =3,所以“a =3”是“A ?B ”的充分而不必要条件.

3.解析:选C 本题考查双曲线的图像与性质,点到直线的距离等基础知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力.双曲线x 24-y 2

=1的渐近线方

程为y =±x 2,即x ±2y =0,所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25

=25

5.

4. 解析:选B 本题考查频率分布直方图等基础知识,意在考查考生数形结合能力、运算求解能力.由频率分布直方图可得,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为600-(0.005+0.015)×10×600=480.

5.解析:选B 本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识,意在考查考生的综合能力.因为a ,b ∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当a =0时,b 可能为-1或1或0或2,即b 有4种不同的选法;②当a ≠0时,依题意得Δ=4-4ab ≥0,所以ab ≤1.当a =-1时,b 有4种不同的选法,当a =1时,b 可能为-1或0或1,即b 有3种不同的选法,当a =2时,b 可能为-1或0,即b 有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,(a ,b )的个数共有4+4+3+2=13.

6.解析:选A 本题考查含有直到型循环结构的程序框图和等比数列的前n 项和等基础知识,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.由程序框图可知:输出S =1+2+22+…+29,所以该算法的功能是计算数列{2n -

1}的前10项和.

7.

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建理)

8.解析:选D 本题考查函数的极值点、导数等基础知识,意在考查考生的数形结合能力.取函数f (x )=x 3-x ,则x =-

33为f (x )的极大值点,但f (3)>f ???

?-3

3,排除A.取函数f (x )=-(x -1)2,则x =1是f (x )的极大值点,但-1不是f (-x )的极小值点,排除B ;-f (x )=(x -1)2,-1不是-f (x )的极小值点,排除C.故选D.

9.解析:选C 本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n 项和的公式等基础知识,意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力.等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n -

1,所以c n =a m (n -1)+1·a m (n -1)+2·…·a m (n -1)+m =a 1q m (n

-1)

·a 1q m (n

-1)+1

·…·a 1q m (n

-1)

+m -1

=a m 1q

m (n

-1)+m (n -1)+1+…+m (n -1)+m -1

=a m 1qm 2

(n -1)+

(m -1)(1+m -1)2

=a m 1qm 2

(n -1)+(m -1)m 2,因为c n +1

c n =a m 1qnm 2+(m -1)m 2a m 1qm 2

(n -1)+(m -1)m 2

=qm 2,所以数列{c n }为等比数列,公式为qm 2. 10.解析:选D 本题考查新定义知识与集合、函数的单调性等基础知识,意在考查考生对新定义的理解与应用能力、数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.对选项A ,取f (x )=x -1,x ∈N *,所以A =N *,B =N 是“保序同构”,应排除A ;对选项B ,取f (x )=????

?

-8,x =-1,x +1,-1

所以A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |x =-8或0

应排除B ;对选项C ,取f (x )=tan ????πx -π

2(0

11.解析:本题考查了几何概型与随机模拟等知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.

因为0≤a ≤1,由3a -1>0得1

30”发生的概

率为1-131=2

3

.

答案:23

12. 解析:本题考查三视图、球的表面积、正方体的对角线长与其外接球的直径的关系等基础知识,意在考查考生的空间想象能力、转化和化归能力、运算求解能力.依题意得,该几何体是球的一个内接正方体,且该正方体的棱长为 2.设该球的直径为2R ,则2R =22+22+22=23,所以该几何体的表面积为4πR 2=4π(3)2=12π. 答案:12π

13. 解析:本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.

因为sin ∠BAC =223

,且AD ⊥AC ,

所以sin ????π2+∠BAD =223,所以cos ∠BAD =223,在△BAD 中,由余弦定理得, BD =AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD =

(32)2+32-2×32×3×223

= 3.

答案: 3

14.解析:本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.直线y =3(x +c )过点F 1,且倾斜角为60°,所以∠MF 1F 2=60°,从而∠MF 2F 1=30°,所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中,|MF 1|=c ,|MF 2|=3c ,所以该椭圆的离心率e =2c 2a =2c c +3c

=3-1.

答案:3-1

15.解析:本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、类比推理能力和运算求解能力.

法一:设f (x )=C 0n x +12×C 1n x 2+13×C 2n x 3+…+1n +1

×C n n x n +1

, 所以f ′(x )=C 0n +C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n =(1+x )n ,

所以f ????12=∫120f ′(x )d x =∫120(1+x )n d x =1n +1(1+x )n +1120=1n +1????1+12n +1-1n +1

(1+0)n +1

1n +1????

???

?32n +1-1.

法二:C 0n ×12+12C 1n ×????122+13C 2n ×????123+…+1n +1C n n ×???

?12n +1

=1×12+12×n ×????122+13×n (n -1)2×????123+…+1n +1×n (n -1)×…×2×1n (n -1)×…×2×1×???

?12n +1

1n +1(n +1)×12+(n +1)n 2×????122+(n +1)n (n -1)3×2×????123

+…+

(n +1)n (n -1)×…×2×1(n +1)n (n -1)×…×2×1

×????12n +1

=1n +1?

???C 1n +1×12+C 2n +1×????122+…+C n +1n +1×????12n +1 =1n +1????????1+12n +1-C 0n +1 =

1n +1????

???

?32n +1-1.

答案:

1n +1????

???

?32n +1-1

16.解:本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.

法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为2

5,且两人中奖与否互不

影响.

记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A , 则事件A 的对立事件为“X =5”,

因为P (X =5)=23×25=415,所以P (A )=1-P (X =5)=11

15,

即这两人的累计得分X ≤3的概率为11

15

.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2).

由已知可得,X 1~B ????2,23,X 2~B ????2,2

5, 所以E (X 1)=2×23=43,E (X 2)=2×25=4

5,

从而E (2X 1)=2E (X 1)=83,E (3X 2)=3E (X 2)=12

5.

因为E (2X 1)>E (3X 2),

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为2

5,且两人中奖与否互不

影响.

记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ,

则事件A 包含有“X =0”,“X =2”,“X =3”三个两两互斥的事件,

因为P (X =0)=????1-23×????1-25=15,P (X =2)=23×????1-25=25,P (X =3)=????1-23×25=215, 所以P (A )=P (X =0)+P (X =2)+P (X =3)=11

15,

即这两人的累计得分X ≤3的概率为11

15

.

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1,都选择方案乙所获得的累计得分为X 2,则X 1,X 2的分布列如下:

X 1 0 2 4 P

19

49

49

X 2 0 3 6 P

9

25

1225

425

所以E (X 1)=0×19+2×49+4×49=83,E (X 2)=0×925+3×1225+6×425=12

5.

因为E (X 1)>E (X 2),

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

17.解:本小题主要考查函数、导数的几何意义、函数的极值等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-a

x .

(1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2

x (x >0),

因而f (1)=1,f ′(1)=-1,

所以曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1), 即x +y -2=0.

(2)由f ′(x )=1-a x =x -a

x

,x >0知:

①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f (x )无极值; ②当a >0时,由f ′(x )=0,解得x =a ,

又当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,

从而函数f (x )在x =a 处取得极小值,且极小值为f (a )=a -a ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值;

当a >0时,函数f (x )在x =a 处取得极小值a -a ln a ,无极大值.

18.解:本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.

法一:(1)依题意,过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x =i , B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =i

10x .

设P i 的坐标为(x ,y ),由????

?

x =i ,y =i

10x , 得y =1

10

x 2,即x 2=10y .

所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y . (2)依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +10.

由?

????

y =kx +10,x 2=10y ,得x 2-10kx -100=0, 此时Δ=100k 2+400>0,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ,N .

设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则?

????

x 1+x 2=10k , ①x 1·x 2=-100. ②

因为S △OCM =4S △OCN ,所以|x 1|=4|x 2|. 又x 1·x 2<0,所以x 1=-4x 2,

分别代入①和②,得?????

-3x 2=10k ,-4x 22=-100,

解得k =±3

2. 所以直线l 的方程为y =±3

2x +10,即3x -2y +20=0或3x +2y -20=0.

法二:(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E :x 2=10y 上.

证明如下:过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x =i , B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =i

10

x .

由?????

x =i ,y =i 10x ,解得P i 的坐标为????i ,i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2=10y ,

所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y . (2)同法一.

19.解:本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想.

(1)证明:取CD 的中点E ,连接BE .

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建理)

∵AB ∥DE ,AB =DE =3k , ∴四边形ABED 为平行四边形, ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k .

在△BCE 中,∵BE =4k ,CE =3k ,BC =5k , ∴BE 2+CE 2=BC 2,

∴∠BEC =90°,即BE ⊥CD .又BE ∥AD , ∴CD ⊥AD .

∵AA 1⊥平面ABCD ,CD ?平面ABCD , ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD =A , ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.

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(3)共有4种不同的方案.

f (k )=???

72k 2+26k ,0

18,36k 2

+36k ,k >5

18

.

20.解:本小题主要考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、三角函数的图像与性质、函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想.

法一:(1)由函数f (x )=sin(ωx +φ)的周期为π,ω>0, 得ω=2π

T

=2.

又曲线y =f (x )的一个对称中心为????

π4,0,φ∈(0,π), 故f ????π4=sin ????2×π4+φ=0,得φ=π2

,所以f (x )=cos 2x . 将函数f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y =cos x 的图

像,再将y =cos x 的图像向右平移π

2个单位长度后得到函数g (x )=cos ????x -π2的图像,所以g (x )=sin x .

(2)当x ∈????π6,π4时,12

2, 所以sin x >cos 2x >sin x cos 2x .

问题转化为方程2cos 2x =sin x +sin x cos 2x 在????

π6,π4内是否有解. 设G (x )=sin x +sin x cos 2x -2cos 2x ,x ∈????π6,π4, 则G ′(x )=cos x +cos x cos 2x +2sin 2x (2-sin x ).

因为x ∈????π6,π4,所以G ′(x )>0,G (x )在????π6,π

4内单调递增. 又G ????π6=-14

<0,G ????π4=22>0, 且函数G (x )的图像连续不断,故可知函数G (x )在????

π6,π4内存在唯一零点x 0, 即存在唯一的x 0∈????π6,π4满足题意.

(3)依题意,F (x )=a sin x +cos 2x ,令F (x )=a sin x +cos 2x =0.

当sin x =0,即x =k π(k ∈Z )时,cos 2x =1,从而x =k π(k ∈Z )不是方程F (x )=0的解, 所以方程F (x )=0等价于关于x 的方程a =-cos 2x sin x ,x ≠k π(k ∈Z ).

现研究x ∈(0,π)∪(π,2π)时方程a =-cos 2x

sin x 的解的情况.

令h (x )=-cos 2x

sin x

,x ∈(0,π)∪(π,2π),

则问题转化为研究直线y =a 与曲线y =h (x ),x ∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况. h ′(x )=cos x (2sin 2x +1)sin 2

x ,令h ′(x )=0,得x =π2或x =3π

2. 当x 变化时,h ′(x ),h (x )的变化情况如下表:

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建理)

当x >0且x 趋近于0时,h (x )趋向于-∞, 当x <π且x 趋近于π时,h (x )趋向于-∞,

当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,

当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.

故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,

在(π,2π)内有2个交点;

当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,

在(π,2π)内无交点;

当-1

在(π,2π)内有2个交点.

由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;

又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.

综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.

法二:(1)、(2)同法一.

(3)依题意,F(x)=a sin x+cos 2x=-2sin2x+a sin x+1.

现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况.

设t=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1),

则函数p(t)的图像是开口向下的抛物线,

又p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1.

当a>1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0)(另一个零点t2>1,舍去),

F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(π,2π);

当a<-1时,函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2<-1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(0,π);

当-1

由正弦函数的周期性,可知当a≠±1时,函数F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点,从而不存在正整数n满足题意.

当a=1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0),另一个零点t2=1;

当a=-1时,函数p(t)有一个零点t1=-1,另一个零点t2∈(0,1),

从而当a =1或a =-1时,函数F (x )在(0,2π]上有3个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3×671,所以依题意得n =671×2=1 342.

综上,当a =1,n =1 342或a =-1,n =1 342时,函数F (x )=f (x )+ag (x )在(0,n π)内恰有2 013个零点.

21.解:本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.

(Ⅰ)设直线l :ax +y =1上任意点M (x ,y )在矩A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′,y ′). 由?

????x 'y ′=? ????1

201

? ????

x y =? ???

?x +2y y ,得?

????

x ′=x +2y ,y ′=y . 又点M ′(x ′,y ′)在l ′上,所以x ′+by ′=1,即x +(b +2)y =1,

依题意得????? a =1,b +2=1,解得?????

a =1,

b =-1.

(Ⅱ)由A ? ????x 0y 0=? ????x 0y 0,得?????

x 0=x 0+2y 0,y 0=y 0

,解得y 0=0. 又点P (x 0,0)在直线l 上,所以x 0=1. 故点P 的坐标为(1,0).

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

①由点A ????2,π4在直线ρcos ????θ-π

4=a 上, 可得a = 2.

所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0.

②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x -1)2+y 2=1, 所以圆C 的圆心为(1,0),半径r =1, 因为圆心C 到直线l 的距离d =12=2

2

<1, 所以直线l 与圆C 相交.

(3)本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.

①因为32∈A ,且1

2

?A ,所以????32-2

且????12-2≥a ,

解得12

2.又因为a ∈N *,所以a =1.

②因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,

当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号. 所以f (x )的最小值为3.