充分条件与必要条件的解题技巧
充分条件与必要条件的解
题技巧
The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p 则q ”形式的命题：
①若p
q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p
q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
③若q p ?且p ≠>q ，则p 是q 成立的必要不充分条件；
④若既有p
q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.
⑤若p ≠>q 且q ≠>p ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．
从集合的观点上
关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p 、q 相应的集合关系．
建立与p 、q 相应的集合，即(){:p A x p x =成立}，(){:q B x q x =成立}．
若A B ?，则p 是q 的充分条件，若A
B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；
若B A ?，则p 是q 的必要条件，若B
A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；
若A B =，则p 是q 成立的充要条件；
若A ?/B 且B ?/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．
例1已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的
[ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根∴x1，x2的值分别为
1，－6，
∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
变式1 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
[ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2 p是q的充要条件的是
[ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解
解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件；
对B ．p
q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件；
对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ???
说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解
例3（2009年北京）“2()6k k Z παπ=
+∈”是“1cos 22α=”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 分解：当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ??=+== ??
?，即p q ?．反之，当1cos 22α=时，有()2236
k k k Z ππαπαπ=+?=+∈， 或()2236
k k k Z ππαπαπ=-?=-∈，即q ≠>p ． 综上所述，“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22
α=”的充分不必要条件，故选A ．
变式3 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A ．0＜a ≤1
B ．a ＜1
C ．a ≤1
D ．0＜a ≤1或a ＜0
例4（2008福建)设集合01x A x x ??=
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断．
解：∵{}01A x x =<<，
∴A B .
故选A ．
例5．已知p ：40x m +<，q ：220x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围
解：由p ：40x m +<得4
m x <-；由q ：220x x -->得1x <-或2x > ∵p 是q 的一个充分不必要条件，∴只有p ?q 成立，∴14
m -≤-，∴4m ≥
变式5 已知命题p ：1123x --
≤，命题q ：()222100x x m m -+-≤>，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
例6 已知命题p ：210x mx ++=有两个不等的负根，命题q ：()2442x m x +-+10无实数根．若命题p 与命题q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围．
分析：对命题p 和命题q 的条件进行化简可得m 的范围，再对p 、q 的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出m 的取值范围．
解：∵方程210x mx ++=有两个不等的负根，
∴2400
m m ?->?-. ∵方程()2442x m x +-+10=无实数根，
∴()2
162160m --<，解得13m <<. 若命题p 为真，命题q 为假，则213
m m m >??≤≥?或，得3m ≥. 若命题p 为假，命题q 为真，则213m m ≤??<
，得12m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围为12m <≤或3m ≥．
变式6 命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；
命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增
若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。
【解释】
变式1 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．
∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5
∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．
变式3 解：用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0
时，x ＝
－．故排除、、选．12
A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12
当a ≠0时
1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．
?---?-?24422a a 2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．?
-+-???2442a a
综上所述a ≤1．
即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．
变式5 解：记{}1122103x A x x x ?-?=-≤=-≤≤????
， (){}(){}222100110B x x x m m x m x m m =-+-≤>=-≤≤+> ∵￢p 是￢q 的充分不必要条件，
∴q 是p 的充分不必要条件，即B A .
∴012110m m m >??->-??+
，解得03m <<.
所以实数m 的取值范围是03m <<
变式6． 解：命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立；
pT ?()22240a ?=-<，即22a -<<
命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增；qT ?1a > ∵p q ∨为真，而p q ∧为假，∴pq 一真一假
p 真q 假时，pT ?22a -<<；qF ?1a ≤;∴21a -<≤ p 假q 真时，pF ?22a a ≤-≥或；qF ?1a >;∴2a ≥