三垂线定理 周口市第三高级中学 王杰 教学目标 三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理,并据此 能够进行推理,论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点 三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程,实际问题的分析过程,启发学生寻求证明的途径,解决问题的 思路。 教学过程 引例: 如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=90°,求证:BC ⊥PB 。 证明:∵PA ⊥平面ABC ,BC 在平面ABC 内, ∴PA ⊥BC ,又∠ABC=90°, ∴BC ⊥AB ∴BC ⊥平面PAB ,PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB 思考: (1)证明线线垂直的方法有哪些? (2)三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 : (1)a ⊥? ,b 在?内,则a ⊥b (2)a ∥b ,m ⊥b ,则a ⊥m (3)三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系? ○ 1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理 直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么, 它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂直。 B
例1: 如图所示,已知PA ⊥平面ABC ,∠ACB= 90°, AQ ⊥PC ,AR ⊥PB ,试 证?PBC 、 ?PQR 为直角三角形。 证明:∵PA ⊥平面ABC ,∠ACB= 90°∴AC ⊥BC ∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC ∴?PBC 是直角三角形;∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内,∴BC ⊥AQ ,又PC ⊥AQ , ∴ AQ ⊥平面PBC ,∴QR 是AR 在平面PBC 的射影 又AR ⊥PB ,∴QR ⊥PB (三垂线逆定理), ∴?PQR 是直角三角形。 小结: 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论,都能由线面垂直的性质来证明, 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例2. 在四面体ABCD 中,已知AB ⊥CD ,AC ⊥BD 求证:AD 证明:作AO ⊥平面BCD 于点O ,连接BO ,CO ,DO 则BO ,CO ,DO 分别为AB ,AC ,AD 在平面BCD 上的射影。 ∵AB ⊥CD ,∴BO ⊥CD ,同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心, ∴DO ⊥BC ,于是AD ⊥BC. 小结:运用三垂线定理及逆定理,必然要找出斜线,及作出该斜线在平面内的射影. 例3 . 如图,已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面,,BC=EC=2DB , 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。 解:延长ED 、BC 交于F ,连AF ,则AF 为二面角的棱 由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ,∴ DB//EC 又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ,∴ ?FAC 为直角三角形,且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE (三垂线定理) 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角, 又EC=AC ,∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 思考:本题还可以用什么方法求二面角的平面角? ( 用 c o s ABC ADE s S θ??= ) 小结:求二面角往往是作出二面角的平面角,先确定二面角的棱,再设法过棱上一点在 二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角,从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有(1)定义法(2)三垂线定理法(3)作垂面法。 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等. 例4: 直角三角形ABC 中,∠B= 90°,∠C= 30°,D 是BC 的中点,AC=2, DE ⊥平面ABC 且DE=1,求E 到斜线AC 的距离? 解:过点D 作DF ⊥AC 于F ,连结EF , ∵DE ⊥平面ABC ,由三垂线定理知EF ⊥AC 即E 到斜线AC 的距离为EF 在Rt ?ABC 中, ∠B= 90°,∠C= 30°,C=2 A
二项式定理(第1课时) 一、内容和内容解析 内容:二项式定理的发现与证明. 内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、目标和目标解析 目标: (1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项式定理. (2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式定理的简单应用. (3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养. 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论,还能为证明二项式定理提供方法. (2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把其看成一个数列的和,引进数列的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通过一些特例,建立二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.(3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实.在二项式定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a -2b )4的展开式. 分析:直接利用二项式定理展开. 解:根据二项式定理得(a -2b )4=C 04a 4+C 14a 3(-2b )+C 24a 2(-2b )2+C 34a (-2b )3 +C 44(- 2b )4 =a 4-8a 3b +24a 2b 2-32ab 3+16b 4. 说明:运用二项式定理时要注意对号入座,本题易误把-2b 中的符号“-”忽略. 【例2】展开(2x - 223x )5 . 分析一:直接用二项式定理展开式. 解法一:(2x -223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-223x )+C 25(2x )3(-223x )2+C 35(2x )2(-2 23x )3+ C 4 5 (2x )(-223x )4+C 55(-2 23x )5 =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 解法二:(2x -223x )5=105 332)34(x x =10321x [C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(-3)+C 25(4x 3)3(-3)2+C 35(4x 3)2(-3)3+C 45(4x 3)(-3)4+ C 55(-3)5 ] = 10 321 x (1024x 15-3840x 12+5760x 9-4320x 6+1620x 3-243) =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 说明:记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是 . 解法一:根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二:(x -3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10- r (-3)r . 令10-r =6,即r =4,由通项公式可知含x 6项为第5项,即T 4+1=C 410x 6(-3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同,那么哪一个是正确的呢? 问题要求的是求含x 6这一项系数,而不是求含x 6的二项式系数,所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数,解法一就正确了,也即是C 4 10. 说明:要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项
三垂线定理及其逆定理 【学习内容分析】 “三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。 【课程目标】 一.知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二.过程与方法目标 1通过对定理的学习,培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。 三.情感、态度和价值观目标 3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。 【教学重点和难点】 一.教学重点 定理的理解和运用 二.教学难点 如何在具体图形中找出适合三垂线定理(或逆定理)的直线和平面。 【教学方法】 以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学,运用小组学习合作探究。 【教学过程】 一复习引入: 1.复习提问 1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念; 设计意图(因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新,作好新课的铺垫。) 2.有意设疑,引入新课。 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢 学生思考后,我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型(如图),使直尺与三角
板的斜边垂直,引导学生猜想发现规律。经过实验,发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来,表达成数学命题: 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直,那么就和平面的这条斜线垂直(板书) 设计意图(为了唤起学生学习的兴趣,把学生的注意力集中起来,调动学生的思维积极性,我通过提出问题,创设情景,引导学生观察、猜想,发现新的知识,培养学生的探索能力) 二、新课讲授: 由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α,PA与α斜交于点A,AO ⊥a,问PA与a所成的角; 显然PO⊥α?PO a ⊥ α ? a OA a ⊥?a⊥平面POA ?PA PO I OA=O PA?平面POA 即:PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”,抓住平面α的垂线PO, 才是抓住了定理的实质与关键,并启发学生猜想逆命题的真假,学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。(板书) 设计意图(1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证,加深学生对命题内容的认识,使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结,帮助学生理清证明的基本思路,培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换,培养学生思维的灵活性,进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法,强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。) 剖析命题 (1).三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系,平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价,本质就是线面垂直的定义。 (2).通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结: 一找垂面:即先确定平面及平面的垂线: 二找斜线:接着确定平面的斜线: 三定射影:由上面的垂足和斜足确定斜线的射影; 四证直线:即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。(板书) 设计意图(为了加深对定理的理解,为灵活应用定理奠定基础,帮助学生化解难点,揭示定理的应用方法。) 三讲解例题
二项式定理 1. 知识精讲: (1)二项式定理:()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110(* ∈N n ) 其通项是=+1r T r r n r n b a C - (r=0,1,2,……,n ),知4求1,如:555 156b a C T T n n -+== 亦可写成:=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ(*∈N n ) 特别地:()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101(* ∈N n ) 其中,r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解:设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ,于是: n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解:(1)7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==, ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280. (2)∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-, ∴923r -=,3r =, ∴3x 的系数339(1)84C -=-,3 x 的二项式系数3984C =. (2)二项展开式系数的性质:①对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等,即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果
二项式定理经典习题及答案
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二项式定理 1. 求()x x 2 9 12- 展开式的: (1)第6项的二项式系数; (2)第3项的系数; (3)x 9 的系数。 分析:(1)由二项式定理及展开式的通项公式易得:第6项的二项式系数为C 95 126=; (2)T C x x x 392 27 2 12129=??-=()(),故第3项的系数为9; (3)T C x x C x r r r r r r r +--=??- =-?192991831212 ()()(),令1839-=r ,故r =3,所求系数是()-=- 1 2 212 393 C 2. 求证:51151 -能被7整除。 分析:5114921494924922151 51 5105151150515150515151 -=+-=+?++?+-()C C C C Λ, 除C 5151 51 2 1-以外各项都能被7整除。 又C C C C C 5151 51 31717170171711617161717 2 1217117771?-=-=+-=++++-()()Λ 显然能被7整除,所以51151 -能被7整除。 3. 求9192 除以100的余数。 分析:91 90190909092 92920929219192919292=+=++++()C C C C Λ 由此可见,除后两项外均能被100整除,而C C 9291 9292 9082818210081+==?+ 故9192 除以100的余数为81。 4.(2009北京卷文)若4 (12)2(,a b a b +=+为有理数),则a b += A .33 B . 29 C .23 D .19 【答案】B .w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵() () ()() () ()4 1 2 3 4 012344 4 4 4 4 12 22222C C C C C +=++++ 1421282417122=++++=+, 由已知,得171222a b +=+,∴171229a b +=+=.故选B . 5.(2009北京卷理)若5 (12)2(,a b a b +=+为有理数),则a b += ( ) A .45 B .55 C .70 D .80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵
二项式定理 一.二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项,它是二项展开式的第1r +项,即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点:共1r +项;按字母a 的降幂排列,次数从n 到0递减;二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增,与b 的次数相同;每项的次数都是.n 二.二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中,除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和,即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中,所有二项式系数的和等于2n ,即012.n n n n n C C C ++ += (令1a b ==即得,或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释) 性质4 ()n a b +的二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和,即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = (令1,1a b ==-即得) 性质5 ()n a b +的二项展开式中,当n 为偶数时,中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值;当n 为奇数时,中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等,且同时取得最大值.(即中间项的二项式系数最大)
三垂线定理及其逆定理例题 知识点: 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.综合应用; 教学过程: 1.三垂线定理:平面内一条直线,如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直; 已知:,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证:a PO ⊥; 证明: 说明: (1)线射垂直(平面问题)?线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直的方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定理; (3)三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 (4)直线a 与PO 可以相交,也可以异面。 (5)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证:PC BC ⊥。 例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,O 为对角线BD 的中点。 求证:,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中,求证:1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥; 2.写出三垂线定理的逆命题,并证明它的正确性; 命题: 已知: 求证: 证明: 说明: 例2.在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证:(1)AD BC ⊥; (2)点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心; P D A B C 1 A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知: 求证: 说明:可以作为定理来用。 例5.已知:Rt ABC ?中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3 PAB PAc π ∠=∠=。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候,点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上; B
二项式定理 主标题:二项式定理 副标题:为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:二项式定理,二项式系数,项系数 难度:2 重要程度:4 考点剖析: 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向: 1.二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度: (1)求二项展开式中的第n项; (2)求二项展开式中的特定项; (3)已知二项展开式的某项,求特定项的系数. 规律总结: 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点: (1)C r n a n-r b r是第r+1项,而不是第r项; (2)通项公式中a,b的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有a,b,n,r,T r+1五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第五个,即“知四求一”. 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.
知 识 梳 理 1.二项式定理 二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r +1=C r n a n -r b r ,它表示第r +1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ,C 1n ,…,C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时,C k n 与C n -k n 的关系是C k n =C n -k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时,第n 2 +1项的二项式系数最大,最大值为2n n C ;当n 为奇数时,第n +1 2项和n +3 2项的二项式系数最大,最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和:C 0 n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n , C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2 n -1.