九、 平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容
一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程 的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩 形式。
1．二力矩形式的平衡方程
在力系作用面内任取两点 A 、B 及 X 轴，如图 4－13 所示，可以证明 平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即
X =0
M A = 0
M B = 0
式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明：首先将平面一般力系向A 点简化，
一般可得到过A 点的一个力 和一个力偶。若M A = 0成立，则力系只能简化为通过 A 点的合力R 或成平 衡状态。如果M B = 0又成立，说明 R 必通过 B 。可见合力 R 的作用线必
为AB 连线。又因 X = 0成立，则R X =X =0，即合力R 在X 轴上的投
影为零，因 AB 连线不垂直 X 轴，合力 R 亦不垂直于 X 轴，由 R X =0可推 得R = 0 。可见满足方程（4－6）的平面一般力系，若将其向 A 点简化，其 主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。
2．三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A 、B 、C ，如图 4－14 所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即
（4－6）
M A = 0
M B = 0 M = 0 式中，A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样，若M A =0和M B = 0成立，则力系合成结果只能
是通过A 、B 两点的一个力（图4－14）或者平衡。如果
M C = 0也成立， 则合力必然通过 C 点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除 非合力为零，M C = 0才能成立。因此，力系必然是平衡力系。
综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4－5）、 式（4－6）、式（4－7），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论 采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第 四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。
【例 4－7】 某屋架如图 4－15（a ）所示，设左屋架及盖瓦共重
P 1 = 3kN ，右屋架受到风力及荷载作用，其合力P 2 =7kN ，P 2与BC 夹角
轴，如图 4－15（b ）所示，列出三个平衡方程
X = 0 X -P cos70 = 0
X =P cos70 = 7 0.342= 2.39kN
M =0
Y 16-4P -P sin 7012 + P cos70 4 tan30 =
0 4－7）
为80 ，试求 A 、B 支座的反力。
4P +12P sin70-4P cos70tan30
Y B =
16
43+1270.94- 4 7 0.342 0.577 =16
= 5.34kN
M B= 0
-16 Y +12P +P sin704+P cos 70 4 tan 30
= 0
12P +4P sin70+4P cos70tan30
16
= 4.24kN 校
核
Y =Y +Y -P - P sin 70 = 4.24+ 5.34- 3- 70.94 =0
【解】取AC梁为研究对象，画其受力图，如图4－16（b）所示。列平衡方程时，为避免解联立方程组，最好所列的方程中只有一个未知力，因此，取R A 和R B的交点O １为矩心列平衡方程
Y A =
说明计算无误。
【例4－8】梁AC用三根支座链杆连接，受一力P = 50kN作用，如图4
－16 （ a ）所示。不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。
M = 0 R 6- P cos602-P sin60
4 = 0 2P cos60+ 4P sin60 2500.5+ 4500.866 6 = 6
= 37.2kN
取R B 与R C 的交点 O 2为矩心列平衡方程
M O 2 =0 -R A cos 645+P cos604-P sin602=0 (4500.5+ 2500.866)0.707 6 = 21.99kN 取
X = 0 R cos45 - R cos45 - P cos60 = 0 R cos45 - P cos60 21.99 0.707 - 50 0.5
A = = -13.37kN 校核 Y =R sin 45 + R sin45+ R - P sin 60
= 21.99 0.707 - 13.37 0.707 + 37.2 - 50 0.866
=0
说明计算无误。
3．平面力系的特殊情况
平面一般力系是平面力系的一般情况。除前面讲的平面汇交力系，平面 力偶系外，还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况，它们的 平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。
(1)平面汇交力系
对于平面汇交力系，可取力系的汇交点作为坐标的原点，图 4－17(a) 所示，因各力的作用线均通过坐标原点 O ，各力对 O 点的矩必为零，即恒 有
M O = 0 。因此，只
剩下两个投影方程 X =0
Y =0
即为平面汇交力系的平衡方程。
(2)平面力偶系 平面力偶系如图 4－17(b)所示，因构成力偶的两个力在任何轴上的投 影必为零，则恒有 X =0和Y = 0 ，只剩下第三个力矩方程，但因为力 偶对某点的矩等于力偶矩，则力矩方程可改写为
(4P cos60 + 2P sin
60)
6
0.707
cos45
m = 0 Y = 0 M O = 若采用二力矩式（4－6），可得
M A = 0
M B = 0
式中A 、B 两点的连线不与各力作用线
平行。 平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。
【例 4－9】 图 4－18 所示为塔式起重 机。已知轨距b = 4m ，机身重G = 260kN ， 其作用线到右轨的距离e =1.5m ，
起重机平 衡重Q = 80kN ，其作用线到左轨的
距离 a = 6m ，荷载 P 的作用线到右轨的距离
l =12m ，（ 1）试证明空载时（ P = 0 时）起
重机时否会向左倾倒？（2）求出起重机不 向右
倾倒的最大荷载 P 。
解】 以起重机为研究对象，作用于起重
机上的力有主动力 G 、P 、Q
及约束力N A 和N B ，它们组成一个平行力系（图4－18）。
(1) 使起重机不向左倒的条件是N B 0 ，当空载时，取P = 0 ，列
4－8）
4－9）
即平面力偶系的平衡方程。
（3）平面平行力系 平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系，如图 4－17（Ｃ）所示，选OY 轴与力系中的各力平行，则各力在X 轴上的投影 恒为零，则平衡方程只剩下两个独立的方程
平衡方程
M =0 Q a+ N b-G(e+b) =0
N B = 1G(e+b)-Q a
b
= 1260(1.5 + 4) - 806
= 237.5kN 0
所以起重机不会向左倾倒
(2) 使起重机不向右倾倒的条件是N A 0，列平衡方程
M =0 Q(a+b)-N b-G e-P l =0
N = 1Q(a + b) - G e - P l
A b
欲使N A 0，则需
Q(a+b)-G e-P l0
P1Q(a +b) -G e
= 180(6 + 4) - 260 1.5
= 34.17kN
当荷载P34.17kN时，起重机是稳定的。
二、物体系统的平衡
前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统。这种系统称为物体系统。例如，图示4－19(a)所示的组合梁，就是由梁AC和梁CD通过铰C连接，并支承在A、B、D 支座而组成的一个物体系统。
在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体受力又与局部紧密相关的。物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。
在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。例如图4－19（b）的组合梁的受力图，荷载及A、B、D 支座的反力就是外力，而在铰C处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力。
应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，例如图4－19 组合梁在铰C 处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说，就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。
当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而，对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。如果该物体系统有n个物体，而每个物体又都在平面一般力系作用下，则就有3n个独立的平衡方程，可以求出3n 个未知量。但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用，则独立的平衡方程将相应减少，而所能求的未知量数目也相应减少。当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目，则未知量可由平衡方程全部求出，这样的问题称为静定问题。当未知量的数目超过了独立平衡方程数目，则未知量由平衡方程就不能全部求出，这样的问题，则称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。
在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某部分物体（一个物体或几个物体组合）作为研究对象，以建立平衡方程。由于物体系统的未知量较多，应尽量避免从总体的联立方程组中解出，通常可选取整个系统为研究对象，看能否从中解出一或两个未知量，然后再分析每个物体的受力情况，判断选取哪个物体为研究对象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。
下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。
【例4－10】组合梁受荷载如图4－20（a）所示。已知
P =16kN, P = 20kN ，m = 8kN m ，梁自重不计，求支座A、C的反力。