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初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

初三数学九上压轴题难题提高题培优题

一.解答题(共8小题)

1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.

(1)求抛物线的表达式;

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;

(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

2.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)联结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

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3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(2,0),B (6,0)两点,交y轴于点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y 轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;

(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1:2两部分?

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,﹣4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;

(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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5.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)求tan∠ABO的值;

(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.

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6.如图1,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴交于点

B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

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7.如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半

轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

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8.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

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初三数学九上压轴题难题提高题培优题

参考答案与试题解析

一.解答题(共8小题)

1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.

(1)求抛物线的表达式;

(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;

(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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【解答】解:由题意可知.解得.

∴抛物线的表达式为y=﹣.

(2)将x=0代入抛物线表达式,得y=1.∴点M的坐标为(0,1).

设直线MA的表达式为y=kx+b,则.

解得.

∴直线MA的表达式为y=x+1.

设点D的坐标为(),则点F的坐标为().DF=

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=.

当时,DF的最大值为.

此时,即点D的坐标为().

(3)存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.设P(m,).

在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限.

①设点P在第二象限时,∵点P不可能在直线MN上,∴只能PN=3AN,

∴,即m2+11m+24=0.解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8.又

﹣3<m<0,故此时满足条件的点不存在.

②当点P在第三象限时,∵点P不可能在直线MA上,∴只能PN=3AN,

∴,即m2+11m+24=0.

解得m=﹣3或m=﹣8.此时点P的坐标为(﹣8,﹣15).

③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3,即m2+m﹣6=0.

解得m=﹣3(舍去)或m=2.

当m=2时,.此时点P的坐标为(2,﹣).

若PN=3NA,则﹣,即m2﹣7m﹣30=0.

解得m=﹣3(舍去)或m=10,此时点P的坐标为(10,﹣39).

综上所述,满足条件的点P的坐标为(﹣8,﹣15)、(2,﹣)、(10,﹣39).

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2.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)联结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

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【解答】解:(1)如图,过点A作AD⊥y轴于点D,

∵AO=OB=4,

∴B(4,0).

∵∠AOB=120°,

∴∠AOD=30°,

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∴AD=OA=2,OD=OA=2.

∴A(﹣2,2).

将A(﹣2,2),B(4,0)代入y=ax2+bx,得:

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,解得:,

∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x;

(2)过点M作ME⊥x轴于点E,

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∵y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣,

∴M(2,﹣),即OE=2,EM=.

∴tan∠EOM==.

∴∠EOM=30°.

∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°.

(3)过点A作AH⊥x轴于点H,

∵AH=2,HB=HO+OB=6,

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∴tan∠ABH==.

∴∠ABH=30°,

∵∠AOM=150°,

∴∠OAM<30°,

∴∠OMA<30°,

∴点C不可能在点B的左侧,只能在点B的右侧.

∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°,

∵∠AOM=150°,

∴∠AOM=∠ABC.

∴△ABC与△AOM相似,有如下两种可能:

①△BAC与∽△OAM,②△BAC与∽△OMA

∵OD=2,ME=,

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∴OM=,

∵AH=2,BH=6,

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∴AB=4.

①当△BAC与∽△OAM时,

由=得,解得BC=4.

∴C1(8,0).

②当△BAC与∽△OMA时,

由=得,解得BC=12.

∴C2(16,0).

综上所述,如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,则点C的坐标为(8,0)或(16,0).

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3.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(2,0),B (6,0)两点,交y轴于点.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y 轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;

(3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1:2两部分?

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【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,0),B(6,0),;

∴,

解得;

∴抛物线的解析式为:;

(2)易知抛物线的对称轴是x=4,

把x=4代入y=2x,得y=8,

∴点D的坐标为(4,8);

∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8;

连接DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M;

在Rt△MFD中,FD=8,MD=4,

∴cos∠MDF=;

∴∠MDF=60°,

∴∠EDF=120°;

∴劣弧EF的长为:;

(3)设直线AC的解析式为y=kx+b;

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∵直线AC经过点,

∴,

解得;

∴直线AC的解析式为:;

设点,PG交直线AC于N,则点N坐标为,

∵S

△PNA :S

△GNA

=PN:GN;

∴①若PN:GN=1:2,则PG:GN=3:2,PG=GN;

即=;

解得:m1=﹣3,m2=2(舍去);

当m=﹣3时,=;

∴此时点P的坐标为;

②若PN:GN=2:1,则PG:GN=3:1,PG=3GN;

即=;

解得:m1=﹣12,m2=2(舍去);

当m=﹣12时,=;

∴此时点P的坐标为;

综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1:2两部分.

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4.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,﹣4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c 经过点A、O、B三点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;

(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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【解答】解:(1)由OB=2,可知B(2,0),

将A(﹣2,﹣4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,

解得:

∴抛物线的函数表达式为.

答:抛物线的函数表达式为.

(2)由,

可得,抛物线的对称轴为直线x=1,

且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线,

连接AB交直线x=1于点M,M点即为所求.

∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB

作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=

∴MO+MA的最小值为.

答:MO+MA的最小值为.

(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线x=1对称,

由A(﹣2,﹣4),得P(4,﹣4),则得梯形OAPB.

②若OA∥BP,

设直线OA的表达式为y=kx,由A(﹣2,﹣4)得,y=2x.

设直线BP的表达式为y=2x+m,由B(2,0)得,0=4+m,即m=﹣4,

∴直线BP的表达式为y=2x﹣4

由,解得x1=﹣4,x2=2(不合题意,舍去)

当x=﹣4时,y=﹣12,∴点P(﹣4,﹣12),则得梯形OAPB.

③若AB∥OP,

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设直线AB的表达式为y=kx+m,则,

解得,∴AB的表达式为y=x﹣2.

∵AB∥OP,

∴直线OP的表达式为y=x.

由,得x2=0,解得x=0,

(不合题意,舍去),此时点P不存在.

综上所述,存在两点P(4,﹣4)或P(﹣4,﹣12)

使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.

答:在此抛物线上,存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形,点P的坐标是(4,﹣4)或(﹣4,﹣12).

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5.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)求tan∠ABO的值;

(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.

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【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),B (4,3),

∴,

解得,

所以,抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1;

(2)如图,过点B作BC⊥x轴于C,过点A作AD⊥OB于D,∵A(0,1),B (4,3),

∴OA=1,OC=4,BC=3,

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根据勾股定理,OB===5,

∵∠OAD+∠AOD=90°,∠AOD+∠BOC=90°,

∴∠OAD=∠BOC,

又∵∠ADO=∠OCB=90°,

∴△AOD∽△OBC,

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∴==,

即==,

解得OD=,AD=,

∴BD=OB﹣OD=5﹣=,

∴tan∠ABO===;

(3)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b是常数),则,

解得,

所以,直线AB的解析式为y=x+1,

设点M(a,﹣a2+a+1),N(a,a+1),

则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a,

∵四边形MNCB为平行四边形,

∴MN=BC,

∴﹣a2+4a=3,

整理得,a2﹣4a+3=0,

解得a1=1,a2=3,

∵MN在抛物线对称轴的左侧,抛物线的对称轴为直线x=﹣=,

∴a=1,

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∴﹣12+×1+1=,

∴点M的坐标为(1,).

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6.如图1,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

【解答】解:(1)将x=2,y=2代入抛物线的解析式得:﹣×4×(2﹣m)=2,

解得:m=4,

经检验:m=4是分式方程的解.

∴m的值为4.

(2)y=0得:0=﹣(x+2)(x﹣m),解得x=﹣2或x=m,

∴B(﹣2,0),C(m,0).

由(1)得:m=4,

∴C(4,0).

将x=0代入得:y=﹣×2×(﹣m)=2,

∴E(0,2).

∴BC=6,OE=2.

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

∴S

=BC?OE=×6×2=6.

△BCE

(3)如图1所示:连接EC交抛物线的对称轴于点H,连接BH,设对称轴与x 轴的交点为P.

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∵x=﹣,

∴抛物线的对称轴是直线x=1.

∴CP=3.

∵点B与点C关于x=1对称,

∴BH=CH.

∴BH+EH=EH+HC.

∴当H落在线段EC上时,BH+EH的值最小.

∵HP∥OE,

∴△PHC∽△EOC.

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

∴,即.解得HP=.

∴点H的坐标为(1,).

(4)①如图2,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.

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∵BF∥EC,

∴∠BCE=∠FBC.

∴当,即BC2=CE?BF时,△BCE∽△FBC.

设点F的坐标为(x,﹣(x+2)(x﹣m)),由,得.

解得x=m+2.

∴F′(m+2,0).

∵∠BCE=∠FBC.

∴,得,解得:.

又∵BC2=CE?BF,

∴,整理得:0=16.此方程无解.

②如图3,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

∵OE=OB,∠EOB=90°,

∴∠EBO=45°.

∵∵∠CBF=45°,

∴∠EBC=∠CBF,

∴当,即BC2=BE?BF时,△BCE∽△BFC.

在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得(x+2)(x﹣m)=x+2,解得x=2m.

∴F′(2m,0).

∴B F′=2m+2,

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∴BF=2m+2.

由BC2=BE?BF,得(m+2)2=2×(2m+2).解得.

∵m>0,

∴m=2+2.

综上所述,点m的值为2+2.

7.如图,已知抛物线y=x2﹣(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0,)(用含b的代数

式表示);

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

【解答】解:(1)令y=0,即y=x2﹣(b+1)x+=0,

解得:x=1或b,

∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,

∴点B的坐标为(b,0),

令x=0,

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

解得:y=,

∴点C的坐标为(0,),

故答案为:(b,0),(0,);

(2)存在,

假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

设点P的坐标为(x,y),连接OP.

=S△PCO+S△POB=??x+?b?y=2b,

则S

四边形PCOB

∴x+4y=16.

过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.

∴四边形PEOD是矩形.

∴∠EPD=90°.

∴∠EPC=∠DPB.

∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y.

由解得

由△PEC≌△PDB得EC=DB,即﹣=b﹣,

解得b=>2符合题意.

∴P的坐标为(,);

(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,

∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.

∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴.

∵b>2,

∴AB>OA,

∴∠Q0A>∠ABQ.

∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°,

由QA⊥x轴知QA∥y轴.

∴∠COQ=∠OQA.

∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.

(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA.

∴AQ=CO=.

由AQ2=OA?AB得:()2=b﹣1.

解得:b=8±4.

∵b>2,

∴b=8+4.

∴点Q的坐标是(1,2+).

(II)当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,

∴=,即OQ2=OC?AQ.

又OQ2=OA?OB,

初三年级数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

∴OC?AQ=OA?OB.即?AQ=1×b.

解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意,

∴点Q的坐标是(1,4).

∴综上可知,存在点Q(1,2+)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB 中的任意两个三角形均相似.

初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)
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初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题含问题详解解析汇报
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初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题含答案解析
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九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
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九年级上册上册数学压轴题培优测试卷
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年级数学一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)
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初一数学有理数难题提高练习和培优综合题压轴题(含解析)
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新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题培优题压轴...
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最新九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word 版 含解析) 一、压轴题 1.如图 1:在 Rt△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 边上一点(不与点 B,C 重合),试......
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九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word 版 含解析) 一、压轴题 1.点 ...
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九年级数学上册 几何模型压轴题(培优篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.探究:如图①和②,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°,......
初二数学勾股定理提高练习与常考难题培优题压轴题(含解析)
初二数学勾股定理提高练习与常考难题培优题压轴题(含解 析) 一.选择题(共 8...
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