九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 重点解读判定三角形相似素材 北师大版 精

判定三角形相似

1．平行线型：在图1、图2中，若DE//BC ，则△ADE∽△ABC.我们称这两种图形为平行线型的基本图形.更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.

例1 如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR 为等腰三角形．

解：本题中出现的比例式中有三条线段OM 、MP 、ON 构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过N 作NS//MP 交OR 的延长线于S ，这样就构成图1的平行线型相似三角形，即△OMP∽△ONS，则NS ON MP OM =.由已知得NR ON MP OM =，所以NR

ON NS ON =，故NS=NR.同理，由图2可判定△RNS∽△RQP，所以QP

NS QR NR =.故QR=QP ，所以△PQR 为等腰三角形. 2.相交线型：在图4、图5、图6中，若∠1=∠B，则△ADE∽△ABC.我们称这三种图形为相交线型的基本图形.它们的特点是有一个公共角或等角.

例2 如图7，已知△ABC 中，∠C＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 上的两点，且AD·AB=AE·AC，则ED⊥AB，为什么？

解：由于△ABC 和△AED 有一对公共角∠A，且AD·AB=AE·AC，即

AB

AE AC AD =，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB.

3．旋转型：在图8中，若∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC.我们称这种图形为旋转型的基本图形.

例3 如图9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？

分析：本题的条件只有角之间的关系，所以可考虑运用“两角对应相等的两个三角形相似”来判定．

解：因为∠BAD＝∠CAE，

所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE．

因为∠ODC＝∠CAE，∠D OC＝∠EOA，

所以180°－（∠ODC＋∠DOC）＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．

所以△ABC∽△ADE.

小结：解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于排除干扰、抓住本质，从复杂的图形中分解出上述基本图形.