6第六讲 高斯函数及其应用 学生版

第六讲 高斯函数与整点

本讲概述

本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数][x y =. 实际上高斯函数就是取整函数，利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质:

定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==

由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：

（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.

（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图1；

}{x y =是以1为周期的周期函数，如图2.

图1 图2

（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*

∈∈N n R x ,. （6）1

1

[][][];

{}{}{};

[][],n n

i i i i i x y x y x y x y x x x R ==+≥++≥+≥∈∑∑；

特别地，].[][

b

a n

b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有1

1

[

][],n n

i

i

i

i i x x x R

+

==≥∈∏∏；

特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]]

[[

][n

x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x

∈=,][，则1+≤≤

m n

x

m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]]

[[,1][m n

x m n x m =+<≤

故 证毕.

上面（1）-（5）都很容易理解；而（6）-（7）一般只需掌握二元形式，多元的很难用上；(8)的证明方法是涉及高斯函数问题的一种典型方法，必须熟练掌握.

以下给出高斯函数相关的几个重要定理：

定理一：*

∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n

x 个是n 的倍数.

【证明】因n n

x

x n n x n x n x n x ?+<≤?+<≤

)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这

n

x ]

[个： .][,,2,n n

x

n n ?

定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是

.][][][)!(32 +++=p

n

p n p n n p

【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][

p n 个p 的倍数，有][2p

n

个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2 ++=p

n

p n n p

此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于

]7

2000

[]72000[)!2000(72+=+…=285+40+5=330，

则2000！=7330·M ，其中7M 宮

. 定理三：（厄米特恒等式）][]1

[]2[]1

[][,,nx n

n x n x n x x N n R x =-+

++++++∈∈ 则

高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式∑≤

t a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平

面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有

位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于

∑≤<+d

x c x b ax 且]([为整数）

； （2）奇数p,q 满足1),(=q p ，矩形域]2

,0;2,

0[p

q 内的格点数等于

.2121][][

2

/02/0∑

∑<<<<-?-=+q x p y q p y p

q x q p *注：利用上面的结果，我们可以证明关于初等数论中关于雅可比符号的二次互反律. *（3）0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于

∑<<-n

x n x n

02][][2

. 这些结论通过画图即可得到.

关于格点更深入的研究(如格点多边形面积等)往往涉及到组合几何的与数论的高级知识，有兴趣的同学可以参考闵嗣鹤的小丛书《格点与面积》，这些更高难度的问题一般只在冬令营及更高级别赛事中出现，本讲不涉及.一般来说，联赛中只涉及到中等难度的格点个数计数问题，其处理手段即利用定理4.

例题精讲

【例1】（1）试利用定理2给出34！的质因子分解形式；

abc def ghi，试确定最后9位数.

（2）若其展开式最后12位是643,,,

【例2】（1）证明当n=1,2,…时交错地取偶数与奇数值。

（2）证明,m=0,1,2,….

【例3】(1) 双曲线2

2

1x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点个数为：

(2)对任意自然数n ，连接原点与点(,3)n A n n +.用()f n 表示线段n OA 上除端点以外的整点个数，试求和：

(1)(2)(3)...(2011)f f f f ++++

【例4】解方程：22

[2]2[][]x x x x -+=.

【例5】求所有满足条件4[][[]]an n a an =+的实数a ，其中n 为任意正整数时皆成立.

【例6】求出2000010010103??

??

+??

的个位数字.

【例7】当n

遍历全体正整数时，证明1()2f n n ??

=+

???

?亦遍历全体正整数，但数列232n a n n =-中的项除外.

【例8】证明定理3（厄米特恒等式）,,x R n N ∈∈则

121

[][][][][]n x x x x nx n n n

-+++++++=

【例9】设非负整数咧

满足

对所有的i,j

，i+j

证明：存在唯一实数x ，使得对一切n=1,2,,1997,.

【例10】设,m n 为正整数，求等式1

[

][]0

(1)

0i i mn m n

i -+=-=∑成立的充要条件.

大显身手

练习1.整数??

????+310103193的末两位数是_______．

练习2.解方程：[]{}2005x x x ?=.

练习3对任意整数(2)n n >，证明：(1)1424n n n n ++????

=????-????

.

练习4.证明：2

1()224n n n n N ??

+????=∈????????????

.将n 换为正实数x ，等式是否仍成立？

练习5..][3]3[2]2[1][][:,,n

nx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*

证明

练习6.设n 是一个固定的正整数，b(n)是关于所有正整数k 的最小值。证明[b(n)]=[.

练习7.设S(x)表示数列，证明方程有两相异实根,使得中

有无穷多个正整数。

练习8.求最大的实数c ，使得对任意的*

n N ∈

，均有c

n

>

.

练习9.求满足下式的所有自然数a,b:

.

练习10.确定所有的实数对(a,b)使得a[bn]=b[an]对一切正整数n 成立。

练习11.证明对每个自然数k ，存在无理数，使得对任一自然数m ，

练习12.设为方程

的最大正根。证明

被17整除。

练习13.（Beatty 定理）设

为正无理数，并且

，则数列

，n=1,2,…,都是

严格递增的，并且

练习14. 求所有正整数m,n使得不等式

对任意实数都成立。

数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc

数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。

指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数

函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)

x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x

指数函数与对数函数的应用(人教版A必修一)

2.2指数函数与对数函数的应用 目标认知：学习目标： 能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题． 学习重点： 运用函数有关理论，解决综合问题． 学习难点： 指数函数与对数函数综合应用． 典型例题：例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A．B．2C．D．4 【解读】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( ) A．B．(1，9]C．(0，1)D． 【解读】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]， ∴选B． 例3．若，则下列结论正确的是( ) A．B．C． D． 【解读】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确． 例4．函数的值域为 A．B．C．D．

答案：A 例5．若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A．B．C．D． 答案：A 【解读】函数的反函数是，又，即 ， 所以，a=2，故，选A． 例6．设，，，则 A．B．C．D． 答案：A 【解读】∵，∴ ∴，∴． 例7．设则________ 答案：． 【解读】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算． 例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是 A．B．C．D． 答案：C 【解读1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以

又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令， 由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数， 所以，即a+b的取值范围是． 【解读2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题， ，过点(1，1)时z最小为2， ∴C 例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 A．B．C． D． 答案：A 【解读】的零点为，的零点为， 的零点为，的零点为． 现在我们来估算的零点，因为，， 所以的零点， 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A．

3.2.2对数函数教案学生版

3.2.2 对数函数 【学习要求】 1.理解对数函数的概念; 2.掌握对数函数的性质; 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 【学法指导】 通过画函数y ＝log 2x 和y ＝log x 的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数函数的概念: 函数 y ＝log a x (a>0,a ≠1,x>0) 叫做对数函数. 2.a : (1)对数函数的定义域是 正实数集 ,即 (0,＋∞) ,值域是实数集R; (2)在定义域内,当 a>1 时是增函数, 当 00,a≠1)叫做对数函数,但习惯上自变量用x 表示,所以这个函数就写成y ＝log a x.这样一来,你能给对数函数下一个定义吗？ 问题4你能说出在指数函数y ＝2x 和对数函数x ＝log 2y 中,x,y 两个变量之间的相同点及不同点吗？ 问题5函数y ＝log a x 与函数y ＝a x (a>0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？ 例1求下列函数的定义域(a>0,a≠1): (1)y ＝log a x 2; (2)y ＝log a (4－x). 跟踪训练1 求下列函数的定义域(a>0,a≠1): (1)y ＝log a (9－x 2); (2)y ＝log 2(16－4x ). 探究点二 对数函数的图象及性质 问题1如何作出函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象？ 问题2观察作出的函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象,指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？ 问题3 从描出的点及作出的图象中能看出函数y ＝log 2x 及y ＝log 1 2x 的图象的对称关系吗？

高一数学函数模型及其应用练习题2

函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大．

高中数学—16—对数反函数—学生版

一、对数 1、对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。 实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系： a b =N ?log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。 3、对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m n a M = n m log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =b N a a log log （0

高中数学例题：对数函数性质的综合应用

高中数学例题：对数函数性质的综合应用 例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数， 即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3） 132 ． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2?? ??? ，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只

需2C 过点1124?? ???，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211 log ()22a =即可，解得132 a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 举一反三： 【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. (1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1． 【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ； 当a ≠0时，有???<-=?>0 440a a ? a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数? a=0或? ??≥-=?>0440a a ?0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1.

人教新课标版数学高一必修1导学案 对数函数及其性质(二)学生版

2.2.2 对数函数及其性质(二) 学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. 4.了解反函数的概念及它们的图象特点. 学习过程 一、自主学习 1.一般地，形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法：①先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a 大于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间；③当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反. 2.一般地，对数不等式的常见类型： 当a ＞1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0可省略，g x ＞0，f x ＞g x ； 当0＜a ＜1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0，g x ＞0可省略，f x ＜g x . 3.一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0

指数函数对数函数应用题

与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.

三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.

函数模型及其应用

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型f(x)＝ k x＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使0x a 0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B ．结余最高的月份是7月 C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D ．前6个月的平均收入为40万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1 6 ×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．

高一《对数与对数函数》讲义【解析版】

对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+-

2021届高考数学二轮经典深度解读专题6 函数模型及其应用(解析版)

专题6 函数模型及其应用考点剖析 1．几类常见的函数模型 2.三种函数模型的性质

1．a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 b a ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m b a m a +>+(0a b >>，0m >).若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则（ ） A ．123x x x << B ．132x x x << C ．312x x x << D ．321x x x << 【答案】B 【解析】因为13log 2x =，215log 10x =，345log 20x = 所以1lg 2lg 3x = ，2lg10lg 2lg 5lg15lg 3lg 5x +==+，32lg 2lg 5 2lg 3lg 5 x += + 根据题意当0a b >>，0m >时 b m b a m a +>+成立， 又lg3lg 20,lg50>>>， 所以lg 2lg 5lg 2lg 3lg 5lg 3+>+， 2lg 2lg 52lg 2 2lg 3lg 52lg 3 +>+ 即：1213,x x x x >>， 又23lg 2lg52lg 2lg5lg5(lg3lg 2) 0lg3lg52lg3lg5(lg3lg5)(2lg3lg5) x x ++-= -=>++++- 所以23x x >， 所以132x x x <<， 故选：B. 例题赏析

2．若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL 之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09mg /mL ，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【解析】 设x 小时后才能开车, 则有()0.310.250.09x ?-≤, 即30.34x ??≤ ??? , 由于没有对数参考值， 根据选项代入验证，当3,4x =时不等式不成立，当5x =时，不等式成立， 故x 最小为5. 故选：C 3．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为()cosh x f x a a =，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2x x e e x -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2 x x e e x --= .若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 分别相交于点A ，B ，曲线1C 在点A 处的切线与曲线2C 在点B 处的切线相交于点P ，则（ ） A ．sinh cosh y x x =是偶函数 B ．()cosh cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=- C ．BP 随m 的增大而减小 D ．PAB △的面积随m 的增大而减小 【答案】D

对数函数 -(学生用)

对数与对数函数 对数运算 1．(教材习题改编)计算： (1)log 35－log 315＝______； (2)log 23·log 32＝______. 2．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 3．计算：(1)42log 3＝________. (2)log 225·log 34·log 59＝________. 4．计算? ?? ?? lg 14－lg 25÷100-1 2＝______. 5.12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245＝________. 6．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－? ????12－1 ＝________. 7．计算：lg 0.001＋ln e ＋221log 3－＋＝________.

1．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________． 定义域 1．函数y ＝log 0.54x －3的定义域为______． 2．函数f (x )＝ 1log 2x 2 －1 的定义域为( ) A.? ????0，12 B ．(2，＋∞) C.? ????0，12∪(2，＋∞) D.? ? ???0，12∪[2，＋∞) 3．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6 x －3的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,4] C ．(2,3)∪(3,4] D ．(－1,3)∪(3,6] 反函数 1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.1 2x C ．log 12 x D ．2x －2

对数函数的图象变换及在实际中的应用苏教版

对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式， 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的 2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 ? 解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x)，所以 2 2 y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。当x 0时，y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像 之间的关系? 解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像，所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到

第13讲 对数函数(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第13讲：对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质 2、反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三、自主热身、归纳总结 1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ????－∞，32 B . ?? ??－∞，32 C . ????32，＋∞ D . ????32，＋∞ 2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 3、函数2 2()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2 -∞- C ．3(,)2 +∞ D ．(4,)+∞ 4、（2019秋?菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 四、例题选讲 考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ） A ． B ．

《对数函数的应用》导学案.doc

《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.11时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9 ∴loga5.10，lnл>0，logл0.51， log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。 板书：略。 师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函 数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数 函数图象的位置关系来比大小。 2 函数的定义域, 值域及单调性。 例2 ⑴求函数y=的定义域。

3.2.3指数函数与对数函数的关系习题课学生版

1 / 1 习题课 一、基础过关 1．函数f(x)＝3x 1－x ＋lg(2x －1)的定义域为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1) D ．(0，＋∞) 2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 的值为 ( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1 2，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( ) A ．y ＝2|x| B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－ x D ．y ＝lg 1x ＋1 5．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则a ＝________. 6．已知函数f(x)＝? ???? log 2x ， x>0，2x ， x≤0若f(a)＝1 2，则a ＝________. 7．已知f(x)＝log a x (a ＞0，a≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较f(x 1＋x 22)与1 2[f(x 1)＋f(x 2)]的大小． 8．已知f(x)＝log a (3－ax)在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围． 二、能力提升 9．函数f(x)＝log a |x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有 ( ) A ．f(2)>f(－2) B ．f(1)>f(2) C ．f(－3)>f(－2) D ．f(－3)>f(－4) 10．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a)x 的图象只可能是 ( ) 11．已知函数f(x)＝lg ax ＋a －2 x 在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 12．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a>1，求使f(x)>0的x 的解集． 三、探究与拓展 13．已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求y ＝f(x)的定义域； (2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时， f(x) 在(1，＋∞)上恒取正值．

指数函数与对数函数的实际应用.doc

指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年）

【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半．

第2章第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用 基础知识整合 1．常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0) 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 □01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与□04y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与□05x轴平行 随n值变化而各有 不同值的比较 存在一个x0，当 x>x0时，有 log a x

上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private －Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1 256 ”，解密后得到的明文是( ) A ．12 B ．14 C ．2 D ．18 答案 A 解析 由已知，可得当x ＝4时，y ＝2，所以2＝k ·43，解得k ＝243＝1 32，故y ＝132x 3.令y ＝132x 3＝1256，即x 3＝18，解得x ＝1 2.故选A ． 2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝log 2x 答案 D 解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D ． 3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，

3.2.3指数函数与对数函数的关系学生版

1 / 1 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 一、基础过关 1．函数y ＝3x (－1≤x<0)的反函数是 ( ) A ．y ＝log 13x(x>0) B ．y ＝log 3x(x>0) C ．y ＝log 3x(13≤x<1) D ．y ＝log 13x(13 ≤x<1) 2．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则 ( ) A ．f(2x)＝e 2x (x ∈R ) B ．f(2x)＝ln 2·ln x (x>0) C ．f(2x)＝2e x (x ∈R ) D ．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0) 3．已知函数y ＝log a x 与其反函数的图象有交点，设交点的横坐标为x 0，则有 ( ) A ．a>1且x 0>1 B ．01且01 4．已知a>0且a≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象可能是 ( ) 5．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x ，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1____Δy 2.(填“>”，“＝” 或“<”) 6．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，x ∈(－∞，－1]．则其反函数f －1(x)的定义域为________． 7．若函数y ＝log 2x ＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)．求此函数的定义域． 8．已知y ＝12 x ＋a 与函数y ＝3－bx 互为反函数，求a ，b 的值． 二、能力提升 9．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大 小关系是 ( ) A ．d2时恒有|y|>1，则a 的取值范围是________． 12．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值． 三、探究与拓展 13．已知函数f(x)＝log a (2x －1)(a>1)． (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f －1(x)； (3)判断函数f － 1(x)的单调性．