第三讲 弦图线图与几何模型

第三讲弦图与几何模型

知识点睛

（1）勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形两直角边平方后的和等于斜边的平方。

（2）三国时期的赵爽注释道：勾股各自乘，并之为玄实，开方除之，即弦，案：玄图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差之，亦成玄实。

（3）学习应用勾股定理计算长度与面积。

例题精讲

【问题1】下列各数中，不能作为直角三角形三边上的是______。

A.9，12，15

B.7，24，25

C.6，8，10

D.3，5，7

【问题2】将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形______。

A.可能是锐角三角形

B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形

D.可能是钝角三角形

【问题3】在测量旗杆的方案中，若旗杆高为m

21，目测点到杆的距离为m

15，则目测点到杆顶的距离为（设目高为m

1）_________。

A.m

20 B.m

25 C.m

30 D.m

35

【问题4】一等腰三角形底边长为cm

10，腰长为cm

13，则腰上的高为_______。

A.cm

12 B.

cm

13

60

C.

cm

13

120

D.

cm

5

13

【问题5】如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是________。

【问题6】直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为_____。

【问题7】甲乙两人从同一地点同时出发，已知甲往东走了km 4，乙往南走了km 3，这时甲乙两人相距______。

【问题8】一个长方形的长为cm 12，对角线长为cm 13，则该长方形的周长为______。

【问题9】以直角三角形的三边长为边向外作正方形P 、Q 、K ，若9,4==Q P S S ，则=K S ________。

【问题10】一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长_________。

【问题11】已知：△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积________。

【问题12】如图，两个正方形的面积分别为64,49，求AC的长为________。

【问题13】如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507平方厘米，试着求最大的正方形的边长为________。

【问题14】假期中小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏的距离是________千米?

【问题15】如图，已知在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AB ，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别为21S S ，，则21S S +的值为________?

【问题16】已知：如图，以ABC Rt ?的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为________?

【问题17】图甲是我国古代著名的“赵爽玄图”的示意图，它是由四个全等的三角形围成的，在ABC Rt ?中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中得实线）是________。

【问题18】智能机器猫从平面上的O 点出发，按下列规律行走：由O 向东12厘米到1A ，由1A 向北走24厘米到2A ，由2A 向西走36厘米到3A ，由3A 向南走48厘米到4A ，由4A 向东走60厘米到5A ……，问：智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是________厘米?

【问题19】在直线l 上依次摆放着七个正方形，如图所示，已知斜放着的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放着的四个正方形的面积依次是4321,,,S S S S ，则4321S S S S +++为________?

【问题20】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为dm dm dm 2,3,20，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________?

课后作业

1、如图所示，直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米，9厘米，问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大______。

2、直角三角形一直角边长为12，另两条边均为自然数，则其周长为________。

A.30

B.28

C.56

D.不能确定

3、直角三角形的斜边比一直角边长cm

6，则它的斜边长

2，另一直角边长为cm

为__________。

A.cm

12

10 D.cm

4 B.cm

8 C.cm

4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是______。

A.25

B.14

C.7

D.7或25

5、等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为______。

6.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是________。

7.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米。

8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为________。

9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为cm 7，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为_____平方厘米。

10.11世纪的以为阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边上长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20尺，两棵树的树干间的距离是50尺，每棵树的树顶上都停有一只鸟，忽然，两只鸟同时看见两棵树之间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标，问这条鱼出现的地方离比较高的树根有______尺

。

11.如图所示的一块地，?=∠90ADC ，m BC m AB m CD m AD 36,39,9,12====，求这块地的面积_________。

12.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向km

100的B处有一台风中心，沿BC方向以h

20的速度向D移动，已知城市A到C的距离

km/

AD=km

30的60，那么台风中心经过______小时从B移动到D？如果在台风中心km

圆形内都有接受到台风破坏的危险，为了让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的_______小时内撤离？

(完整版)中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》

专题18《弦图模型》 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．

证明因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为QB＝BL． 所以△QBM≌△BLK． 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE ＝1，求BF的长． G 解如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K． 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝． 5． 所以BF

用旋转法………作辅助线证明平面几何题

用旋转法………作辅助线证明平面几何题 旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。 1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条 件。 2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； 3、旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。 例1： 例2 已知，在Rt ABC中 B=AC；∠BAC=90?； D为BC边上任意一点，求证：2AD2=BD2+CD2. 证明：把ABD绕点A逆时钍方向旋转90?，得?ACE，则ABD??ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE； ∠BAD=∠CAE， AD=AE。 又∠BAC=90?；∴∠DAE=90? 所以： D E2=AD2+AE2=2AD2。 因为：∠B+∠ACB=90? 所以：∠DCE=90? CD2+CE2=DE2=2AD2 即： 2AD2=BD2+CD2。 注：也可以把ADC顺时针方向旋转90?来证明。 注 E C D

已知，P 为等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求 ∠BPC 的度数。 证明：把 ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90 ?，得?CBD ，则 ABP ??CBD ，∴BP=BD AP=CD=5， ∠ABP=∠CBD ，所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60?，所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60? PD=PB=4所以： C D 2=PD 2+PC 2。因为： ∠DPC=90?所以： ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60?+90?=150? 注：也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60?来证明。 D C 例3： 如图：在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证：BE=CF+AE 证明：把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90?得BCN 。则：ABE ?BCN ，所以： ∠ABE=∠CBN ，BE=BN ，AE=CN 。因为：四边形ABCD 是正方形，所以：CD AB ，∠NFB=NBF 因为：∠ABF=∠ABE+∠EBF ，∠NBF=∠NBC+∠CBF ，而：∠EBF=∠FBC ；∠NBF=∠NFB 所以：BN=NF=CN+CF 所以：BE=AE+CF 。注：也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90?来证明。

(完整word版)几何模型：一线三等角模型.docx

一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC901 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

弦图在全等中的应用

弦图模型 1.弦图基本模型 模型一： c b a 模型二： 1. 弦图模型之变形 ααα 探究重难点： 例1. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且BE=CF, 连接AE 、BF 交于点H 。 （1）求证：AE=BF (2)求证： AE ⊥ BF c a b

变式练习1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点， 连接AE、BF交于点H，且AE⊥BF. 求证：AE=BF 变式练习2 如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC的度数． 例2. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D 为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为为多少？ 例3.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

变式练习1．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4， 则B、C两点的坐标分别是（） A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4） C.（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4） 变式练习2.： 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4为 变式练习3. 如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，CE，若△ADE的面积为3，那么BC的长为多少？ 变式练习4. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M.下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

几何模型：一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等 角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用

中考数学压轴题专项汇编专题弦图模型

专题18 弦图模型 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．

E H B A 证明 因为∠BLK ＝90°，QM ⊥BK ， 所以∠KBL ＋∠QMB ＝∠KBI 十∠K ＝ 90° 所以∠QMB ＝∠K ， 又因为QB ＝ BL ． 所以△QBM ≌△BLK ． K Q E 例题讲解 例1 四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点D ，F 在直线CE 的同侧），连结BF ．当点E 在线段AD 上时，AE ＝1，求BF 的长． G F E D 解 如图，过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， 延长FH 交BC 的延长线于点K ． 因为四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH ，所以FH ＝ED ＝AD －AE ＝3，EH ＝ CD ＝4． 因为CDHK 为矩形，所以HK ＝CD ＝4，CK ＝DH ＝EH －ED ＝1． 所以FK ＝ FH 十HK ＝7，BK ＝BC ＋CK ＝．5． 所以BF 22 FK BK 74

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动， 每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟 如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②

如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。 如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？

练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF

交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，

中考模型解题 之 弦图模型

中考模型解题 之 弦图模型 一、 知识提要 1. 弦图基本模型 模型一： c b a 模型二： 2. 弦图模型之变形 60°60°60° ααα 二、 专项训练 【板块一】弦图基本模型 1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AE BC CE ． E D C B A 2. 如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ．若 c a b

BC =12，DC =7，BE ：EC =1：2，则AB 的长为____________． E D C B A 3. 在△ABC 中，AB =25，AC =4，BC =2，以AB 为边向△ABC 外作△ABD ， 使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长. 【板块二】弦图模型之变形 4. （2011）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1， 点D 为AC 边上一点，若∠APD =60°，则CD 的长为 . 5.（2011）如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B =∠AMD = ∠C =45°，AB =8，CD =9，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 A B C D M

6.（2011荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ） P G F E D C B A A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 7. 在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点， 求证：MC ：NC =AP ：PB ．

几何辅助线之手拉手模型初

手拉手模型教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用 知识梳理： 1、等边三角形 条件：△OAB，△OCD均为等边三角形 结论：；； 导角核心： 2、等腰直角三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形 结论：；； 导角核心： 3、任意等腰三角形 条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形： 核心条件：；； 典型例题： 例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC； （3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°； （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？ 例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分∠AHC？ 例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ， AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探 索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______°； （2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG． （1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明； （2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论； （3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF⊥CD，求BE的长．

【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型和半角模型专题(Word版,无答案)

一 ) 弦图模型 基本图形】已知正方形 ABCD,过 B,D 两点分别向过点 C 的直线作垂线 , 垂足分别为点 E,F, 则△ BCE ≌△ CDF h, 正方形 ABCD 的四 个顶点分 (1) 当 a=45 °时, 求△EAD 的面积 (2) 当 a=30 °时, 求△EAD 的面积 (3) 当0°

变式训练 】如图，分别以 ABC 的AC 和BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l 于点P. 求证:2EP+AD=2CD 二）半角模型 半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】基本结论：在正方形ABCD中，若M、N 分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+ DN，则有以下基本结论（需记忆）：① . ∠MAN4=5°；② . C CMN 2AB；③ . AM、AN分别平分 ∠BMN和∠DNM. 同样，在正方形ABCD中,若已知∠MAN4=5°，则会有：① . MN=B+MD N; ②C CMN 2AB;③.AM、AN分别平分∠BMN 和∠DNM④; 若继续作AH⊥MN于点H, 则有AH=AB. F

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<

?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式． N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ． H G A D B E M C F N 则S 1S 2＝ 1 2 MG AD 12 NH BD ＝ 14 AD AM sin A BD BN sinB ． 由题意可知∠A ＝∠B ＝60o，所以sin A ＝sin B ＝32 ． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴ AM AD BD BN ，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

(完整版)几何模型(word版)

【模型1】倍长 1、倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行线延长相交 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，/ ABC = 60° G是DF的中点，连接GC、GE . (1)如图1，当点E在BC边上时，若AB = 10, BF = 4，求GE的长； (2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明； (3)如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 易证明△ CHG CEG，贝U GE =涣羌 中点模型 【解答】 (1)延长EG交CD于点H 注意G的两端点D、E 所在的直线DC // FE A C E

易证明△ BCE ◎△ FIE，则△ CEI是等边三角形，GE = . 3 GC,且GE丄GC 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE= AF，/ DAE =Z BAF. (1)求证：CE= CF; (2)若/ ABC = 120°点G是线段AF的中点，连接DG、EG,求证：DG丄EG. 【解答】 (1) 证明△ ABEADF 即可； (2) 延长DG与AB相交于点H，连接HE，证明△ HBE◎△ EFD即可 (2)延长CG交AB于点I,

【例3】如图，在凹四边形 CD交EF于H点，求证：/ ABCD中，AB= CD, E、F分别为BC、AD的中点，BA交EF延长线于G点, /_ BGE=Z CHE. 【解答】 取BD中点可证，如图所示: E

(完整版)弦图在全等中的应用

弦图模型 1.弦图基本模型 模型一： c b a 模型二： 1.弦图模型之变形 60°60°60° α αα探究重难点：例1.如图，在正方形 ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且BE=CF, 连接AE 、BF 交于点H 。 （1）求证：AE=BF (2)求证：AE ⊥BF c a b

变式练习 1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点， 连接AE、BF交于点H，且AE⊥BF. 求证：AE=BF 变式练习 2 如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC的度数． 例2. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D 为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为为多少？ 例3.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

变式练习1．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4， 则B、C两点的坐标分别是（） A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4） C.（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4） 变式练习 2.： 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4为 变式练习 3. 如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE，CE，若△ADE的面积为3，那么BC的长为多少？ 变式练习 4. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M.下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是

初中：数学几何模型大全

全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中考模型解题之弦图模型

中考模型解题之弦图模型 一、知识提要 1.弦图基本模型 模型一： a c b 模型二： a c b 2.弦图模型之变形 α 60°60°60°αα 二、专项训练 【板块一】弦图基本模型 2 1. 如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，求证：AC2AE． BC CE C E A D B 2. 如图，梯形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若

BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，则AB的长为____________． D A B E C 3.在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD， 使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长. 【板块二】弦图模型之变形 4.（2011）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1， 点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为. 5.（2011）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD= ∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 A D B M C

6.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠ B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（） D C E F G A P B A．1对B．2对C．3对D．4对 7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点， 求证：MC：NC=AP：PB．

用旋转法--作辅助线证明平面几何题《总结》

用旋转法………作辅助线证明平面几何题 旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等 邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。 1、 旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条 件。 2、 旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； 3、 旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。 例1： 已知，在Rt ABC 中；∠BAC=90?； D 为BC 边上任意一点，求证：2AD 2=BD 2+CD 2.证明：把 ABD 绕点A 逆时钍方向旋转90 ?，得?ACE ，则 ABD ??ACE ，∴BD=CE ， ∠B=∠ACE ； ∠BAD=∠CAE ， AD=AE 。又 ∠BAC=90?；∴∠DAE=90?所以： D E 2=AD 2+AE 2=2AD 2。因为： ∠B+∠ACB=90?所以： ∠DCE=90? CD 2+CE 2=DE 2=2AD 2即： 2AD 2=BD 2+CD 2。注：也可以把ADC 顺时针方向旋转90?来证明。注 E C D

例2

已知，P 为等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求 ∠BPC 的度数。 证明：把 ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90 ?，得?CBD ，则 ABP ??CBD ，∴， ∠ABP=∠CBD ，所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60?，所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60 ?所以： C D 2=PD 2+PC 2。因为： ∠DPC=90?所以： ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60?+90?=150? 注：也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60?来证明。 D C 例3： 如图：在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证：BE=CF+AE 证明：把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90?得BCN 。则：ABE ?BCN ，所以： ∠ABE=∠CBN ，BE=BN ，AE=CN 。因为：四边形ABCD 是正方形，所以：CD AB ，∠NFB=NBF 因为：∠ABF=∠ABE+∠EBF ，∠NBF=∠NBC+∠CBF ，而：∠EBF=∠FBC ；∠NBF=∠NFB 所以：BN=NF=CN+CF 所以：BE=AE+CF 。注：也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90?来证明。