高考数学概率与统计专题复习

高考复习专题之：概率与统计

、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值

１．随机事件 A 的概率 0 P （A ） 1，其中当 P （A ） 1时称为必然事件； 当 P （A ） 0 时称为不可能事件 注：求随机概率的三种方法： 一）枚举法

例 1 如图 1 所示， 有一电路 AB 是由图示的开关控制， 闭合 a ，b ， d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有

10 种，分别是 a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、 bd 、

其中能形成通路的有 6 种，所以 p （ 通路）= 6 =3 10

5

评注: 枚举法是求概率的一种重要方法 ,这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算

二）树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各

执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负， 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又 如，

两人同时出象牌，则两人平局．如果用 A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A 1、B 1、C 1 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

三）列表法 例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位

数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（ 1）组成的两位数是偶数的概率；（ 2）组成的两位数是 6 的倍数 的概率．

分析： 本题可通过列表的方法， 列出所有可能组成的两位数的可能情况， 然后再找出组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数 是 6 的倍数的可能情况。

分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结

果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果 有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有

3 种．所 1 以 P （一次出牌小刚胜小明） =1

3 点评: 当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结

果，通过画树形图的方法来计算概

率

P(A)=0 ；

be 、 cd 、 c e 、de ，

解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所

21 以( 1)两位数是偶数的概率为

．( 2)两位数是6 的倍数的概率为．

33 点评：当一事件要涉及两个或更多的因

素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概

2. 等可能事件的概率(古典概率) P(A)=

率

3、互斥事件： (A、B互斥，即事件A、B 不可能同时发生)。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B) 。

4、对立事件：( A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生)。计算公式是：P(A)+ P(B) ＝１；P( A)=1－P(A)；

5、独立事件： (事件A、B的发生相互独立，互不影响) P(A?B)＝P(A) ? P(B) 提醒：( 1)如果事件A、B独立，那么事件A与B 、A与B及事件A与B也都是独立事件；( 2)如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P(A B)＝1－

P(A)P(B) ；( 3)如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－

P( A B)＝1－P( A)P( B)。

6、独立事件重复试

事件A在n次独立重复试验中恰好．发．生．了．．k次．的概率P n(k) C n k p k(1 p)n k(是二项验：

展开式[(1 p) p]n的第k+1 项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

提醒： ( 1)探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解( 分类

或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为若干个互

斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。( 2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，

事件对立是事件互斥的充分非必要条件；( 3) 概率问题的解题规范：①先设事件A=“?”，B= “?”；②列

式计算；③作答。

二、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的. 试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验

2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则a b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f (x)是连续函数或单调函数，则f ( )也是随机变量. 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2, ,x i , ξ取每一个值x1(i 1,2, )的概率P( x i ) p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

x1 x2 x i

P p1 p2 p i

有性质：① p1 0,i 1,2, ；② p1 p2 p i 1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：[0,5] 即可以取0～

5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数 .

3. ⑴二项分布 ：如果在一次试验中某事件发生的概率是

P ，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生

k 次

的概率是： P(ξ k) C k n p k q n k [其中k 0,1, ,n,q 1 p] 于是得到随机变量 ξ的概率分布如下：我们称这样的 随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ～ B ( n ·p )，其中 n ， p 为参数，并记 C k n p k q n k b(k; n p) . ⑵二项分布的判断与应用 .

① 二项分布 ，实际是对 n 次独立重复试验 . 关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结 果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 .

② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小， 而每次抽取时又只有两种试验结果， 此时 可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列 .

4. 几何分布 ：“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时， 事件第一次发生， 如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A k ，

事 A 不发生记为

A k ,P(A k ) q ，那么 P(ξ k) P(A 1A 2 A k 1A k ) .根据相互独立事件的概率乘法分式： P(ξ k) P(A 1)P(A 2) P(A k 1 )P(A k ) q k 1p (k 1,2,3, ) 于是得到随

机变量 ξ的概率分布列 .

我们称 ξg(k, p) q k 1

p q 1 p. k 1,2,3

5. ⑴超几何分布 ：一批产品共有 N 件，其中有 M (M

一离散型随机变量，分布列为 k n k

P(ξ k) C

M C

n N M (0 k M,0 n k N M). 〔分子是从 M 件次品中取 k 件，从 C

N

N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m

一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成，今抽取 n 件( 1≤ n ≤ a+b )，则次品数 ξ的

k n k

分布列为 P(ξ

k) C a C n b

C

a b

k 0,1, ,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系 .

设一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 ξ服从超几何分布 . 若放回式抽取，则 其中次品数 的分布列可如下求得： 把

a b 个产品编号， 则抽取 n 次共有 (a b) n 个可能结果， 等可能： ( η k) 含

k k n k

C k n a k b n k 个结果，故 P(η k) C n a b n C k

n ( a )k

(1 a )nk

,k 0,1,2, ,n ，即 ～B(n a

).[ 我们先为 k 个次

(a b) a b a b a b

品选定位置，共 C k n 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 ] 可以证明：当产品总数 很大而抽取个数不多时， P(ξ k) P(η k) ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放 回抽样 .

1.

则称E x1p1 x2p2 x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量a b 的数学期望：E E(a b) aE b

①当a 0 时，E(b) b ，即常数的数学期望就是这个常数本身

②当a 1 时，E( b) E b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和

③当b 0 时，E(a ) aE ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积

⑵单点分布：E c 1 c其分布列为：P( 1) c .

⑶两点分布：E 0 q 1 p p ，其分布列为：( p + q = 1 )

⑷二项分布： E k n!p k q n k np 其分布列为～k!(n k)!

B(n, p) .(P为发生的概率)

1

⑸几何分布：E 1其分布列为～q(k,p). (P为发生的概率)

p

3. 方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P( x k) p k(k 1,2, ) 时，则称

D (x1

E )2p1 (x2 E )2p2 (x n E )2p n 为ξ的方差. 显然D 0 ，故D . 为ξ的根方差或标准差. 随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度动．越．小．.．

4. 方差的性质.

a b的方差D( ) D(a b) a2D .(a、

b 均为常数)

D q2

2

p2

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E 和E 都存在，则E( ) E E

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E( ) E E ,D( ) D D

⑶期望与方差的转化：D E 2(E )2⑷ E( E ) E( ) E(E )(因为E 为一常数) E E 0.

四、正态分布. (基本不列入考试范围)

1. 密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，

直线x a 与直线x b所围成的曲边梯形的面积

(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

ξ

1 P q

p

. D 越

．小

．

，

．

稳

．

定

．

性

．

越

．

高

．

，

．

波

．

⑴随机变量

⑵单点分布： D 0 其分布列为P( 1) p

⑶两点分布： D pq 其分布列为：( p + q = 1 )

⑷二项分布： D npq ξ0 1

P

q p

⑸几何分布：

ξ落在任一区间[a, b)内的概率等于它与x 轴. ▲

y

a b

图像的函数 f(x)叫做 ξ的密度函数，由于“ x ( , ) ” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.

1

( x )2

2. ⑴正态分布与正态曲线 ：如果随机变量 ξ的概率密度为： f (x) 1 e 2

2

. ( x R, , 为常数，且

0 )，

2

称ξ服从参数为 , 的正态分布， 用 ～ N( , 2) 表示 . f(x) 的表达式可简记为 N( , 2) ，它的密度曲线简称为正 态曲线 . ⑵正态分布的期望与方差 ：若 ～ N( , 2) ，则 ξ的期望与方差分别为： E ,D 2. ⑶ 正态曲线的性质 .

①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交 . ②曲线关于直线 x 对称 .

③ 当 x 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲 线.

④ 当 x < 时，曲线上升；当 x > 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线， 向 x 轴无限的靠近 .

⑤ 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖” . 表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中 .

2 1x

3. ⑴标准正态分布 ：如果随机变量 ξ的概率函数为 (x) e 2 ( x ) ，则称 ξ服从标准正态分布 . 即 2

～ N(0,1) 有 (x) P( x) ， (x) 1 ( x) 求出，而 P (a < ξ≤b )的计算则是 P(a b) (b) (a) . 注意：当标准正态分布的 (x) 的 X 取 0 时，有 (x) 0.5当 (x) 的 X 取大于 0的数时，有 (x) 0.5 .比如

(0.5 ) 0.0793 0.5

则 0.5

必然小于 0，如图

⑵ 正态分布与标准正态分布间的关系 ：若 ～ N( , 常用 F(x) 表示，且有 P(ξ x) F(x) (x μ

) .

a

σ 标准正态分布曲线 S 阴 =0.5 Sa=0.5+S

4. ⑴“ 3 ”原则 .

假设检验是就正态总体而言的， 进行假设检验可归结为如下三步： ①提出统计假设， 统计假设里的变量服从正态 分布

N( , 2

). ②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( 3 , 3 ). ③做出判断：如果 a ( 3 , 3 )，接 受统计假设 . 如果 a ( 3 , 3 ) ，由

于这是 小概率事件 ，就拒绝统计假设 .

⑵“3 ”原则的应用： 若随机变量 ξ服从正态分布 N( , 2)则 ξ落在 ( 3 , 3 )内的概率为 99.7 ％ 亦即落 在 ( 3 , 3 ) 之外的概率为

0.3 ％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格(即

ξ 不

服从正态分布) .