随机波动率模型的最小熵鞅测度和效用无差别定价

第26卷第1期2009年02月

工程数学学报

CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS

Vol.26No.1

Feb.2009

文章编号:1005-3085(2009)01-0043-08

随机波动率模型的最小熵鞅测度和效用无差别定价?

闫海峰1,2,刘利敏3杨建奇4

(1-东南大学数学系，南京211189;2-南京财经大学金融学院，南京210046;

3-河南师范大学数学与信息科学学院，新乡453007;4-上海理工大学管理学院，上海200093)

摘要:本文研究了随机波动率模型的最小熵鞅测度和效用无差别定价。利用动态规划方法，得到了效用无差别定价满足的偏微分方程以及效用无差别套期保值策略。利用指数效用函数的最优投资策略

与最小熵鞅测度之间的关系，证明了最小熵鞅测度的存在性，并利用偏微分方程给出了最小熵鞅

测度。

关键词:随机波动率模型；最小熵鞅测度；效用无差别定价；效用无差别套期保值策略

分类号:AMS(2000)90A09;60H20中图分类号:F830.9;O211.6文献标识码:A

1引言

考虑一个无摩擦的证券市场。投资者在给定的投资期限[0,T](T∈R+)内可连续进行交易。

市场上的所有随机现象用概率空间(?,F,P)来描述。假设在概率空间(?,F,P)上有一给定的滤子流F=(F t)t≤T满足通常条件，F T=F。F t表示市场参与者在t时刻所掌握的有关市场的全部信息。市场上有两种资产，一种是无风险资产(如债券)，其t时刻的价格S0

t

≡1，另一种是风险资产，其在t时刻的价格用S t表示，价格过程{S t:t≥0}满足如下随机微分方程。

d S t=S tμ(t,S t,Y t)d t+S tσ(t,S t,Y t)d W1t,(1)

d Y t=α(t,S t,Y t)d t+β(t,S t,Y t)d W1t+δ(t,S t,Y t)d W2t,(2)

其中Y t是二维扩散过程，W=(W1,W2)是定义在概率空间(?,F,P)上的二维标准Brown运动。F=(F t)0≤t≤T是由(W1,W2)生成的滤子流(满足通常条件)，上述模型即为随机波动率模型。

显然，随机波动率模型在刻画风险资产价格过程方面有较大的实际价值。因为经典的Black-Scholes模型是假定股票价格服从几何Brown运动，股票的收益的波动率为常数，并且许多研究者推广了Black-Scholes模型及其应用[1]，但是实证研究表明[2]，风险资产的波动率不是常数，可能是不同于风险资产随机源的另一Brown运动产生的随机过程。实证研究还表明[3,4]风险资产收益率的分布具有尖峰、厚尾、负偏斜等特征，而随机波动率模型较好地刻画了风险资产价格过程的以上特征。

随机波动率模型主要是用两个不同的Brown运动来分别刻画资产价格和波动率的随机源。

引起波动率随机变化的随机源(Brown运动)是一种隐藏的随机源，它不能通过市场信息来估计，而引起资产价格变化的随机源(另一Brown运动)是市场的内在随机源，其对风险资产价格收稿日期:2006-11-21.作者简介:闫海峰(1964年9月生)，男，博士，教授.研究方向：数理金融学，保险精算.

?基金项目:国家自然科学基金(70871058)；江苏省教育厅高校自然科学基础研究项目(07KJD110066)；江苏省博士后科研资助计划(苏人通[2005]354-355).

万方数据