高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编含答案解析

【最新】数学高考《计数原理与概率统计》专题解析

一、选择题

1．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形

BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）

A ．

16

B ．

15

C ．

14

D ．

13

【答案】B 【解析】 【分析】

五边形ABEFD 的面积5

2S =，阴影Ω的面积为12

，得到概率. 【详解】

不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222

S =

+=，阴影Ω的面积为1

2，

故所求概率为112

1

5

22

P =

=

+， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ．

18

B ．

35

C ．

58

D ．

78

【答案】C 【解析】 【分析】

设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】

设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，

试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200

A 表示某生等车时间不超过5分钟，

所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008

S S === 故选C

【点睛】

解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．

3．下列等式不正确的是（ ）

A ．111

m m

n

n m C C n ++=+ B ．121

11m m m n n n A A n A +-+--=

C ．1

1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k

n n n nC k C kC +=++

【答案】A 【解析】 【分析】

根据排列和组合公式求解即可. 【详解】

根据组合公式得1

1!1(1)!1!()!1(1)!()!1

m

m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++=

=?=-++-+，则A 错误；

根据排列公式得

1221

11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!

m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=

-=+-=?=----，则B 正

确；

根据排列公式得1

1!(1)!()!()!

m

m n n n n A n nA n m n m ---=

=?=--，则C 正确；

根据组合公式得()()1

!!

(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+?

=+-+-+????????

[]!!

()!()!!(1)!

k k

n n n n nC kC n k k n k k n k -?

=--+-=

即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；

故选:A 【点睛】

本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.

4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．

110

B ．

35

C ．

310

D ．

25

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255

= 故答案为D ．

5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．

112

B ．

115

C ．

118

D ．

114

【答案】D 【解析】 【分析】

先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】

由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，

随机选取两个不同的数，共有2

828C =种，

其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814

P ==. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6．设*N n ∈，n a 为()()41n

n

x x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈，

1222555n n n na a a b ??????

=+++????????????

L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则

()()

22

n n t b c -++的最小值为( )

A ．

12

B ．

2

C ．

D ．【答案】A 【解析】 【分析】

令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，

2)(*)2

n n

n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】

令1x =可得，52n

n

n a =-，2[][]55

n

n n n na n n =-g ，

设25n n n n c =g ，所以1+11(1)22223

()()055555

n n n n n n n n n c c n +++-=

-=-

n

n n n -g 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）

当n →+∞时，20,5n n n →g 且20,5n

n n >g 所以2[][]155

n n n n na n n n =-=-g .

21222[][][]12(1)5552

n n n na a a n n

b n -=++?+=++?+-=，

则2

2

()()n n t b c -++的几何意义为点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方， 即求点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈到7y t =-的距离d 的最小值，

所以222|7|

157|14||()|4424n n n d n n n -+-==+-=+-， 当1n =

时，957||=4444d =-； 当2n =

时，2557||=4444d =- 当3n =

时，4957||=2=

44442d =-； 当4n =

时，8157||6=

44d =

-； 由函数的图象可知当5,6,7,n =L

时，d >

所以点(n ，2)(*)2

n n

n N -∈为(3,3)时，它到7y t =-的距离d 最小，

2

d =

=Q ，

∴

2

．

∴()()2

2

n n t b c -++的最小值为12

. 故选：A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

7．已知()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

()

20121n

n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则

()0121n

n a a a a -+-+-L 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

【答案】B

【解析】 【分析】

由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】

Q ()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

∴23

n n C C =，∴5n =，

令0x =，则05

1a =，

令1x =，则()015

5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，

∴2λ=，

令1x =-，则()0525

1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1

表2

表3

表4

A ．成绩

B ．视力

C ．智商

D ．阅读量

【答案】D 【解析】 【分析】

根据公式()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.

【详解】

根据公式()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：

A.2

2

52(6221014):0.00916363220

A K ?-?=≈???;

2

2

52(4201216): 1.76916363220

B K ?-?=≈???;

2

2

52(824812): 1.316363220

C K ?-?=≈???;

2

2

52(143062):23.4816363220

D K ?-?=≈???

选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】

本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于

中档题.

9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）

A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.

B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.

C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.

D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】

由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】

本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．

10．若52345

012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为

（） A ．－233 B ．10

C ．20

D ．233

【答案】A 【解析】 【分析】

对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】

对等式两边进行求导，得：

2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，

∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．

11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种

【答案】B 【解析】 【分析】

首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】

从7名党员选3名去甲村共有3

7C 种情况，3名全是男性党员共有3

4C 种情况，

3名全是女性党员共有3

3C 种情况，

3名既有男性，又有女性共有333

74330C C C --=种情况.

故选：B 【点睛】

本题主要考查组合的应用，属于简单题.

12．已知()8

12x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b

a

的值（ ） A ．

126

5

B ．

128

5

C ．

125

3

D ．26

【答案】B 【解析】 【分析】

根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得b

a

的值． 【详解】

由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r r

r r T C x +=，

设第1r +项的系数最大，则118811

88·2?2·

2?2r r r r r r r r C C C C ++--???……，即56r r ???…

?， 求得=5r 或6，此时，872b =?，∴128

5

b a =， 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．

13．

若实数2a =，则101922810

1010222a C a C a -+-+L 等于( )

A ．32

B ．－32

C ．1 024

D ．512

【答案】A 【解析】 由题意可得：

(

)

()

1019222

10

101010

10

22222232.

a C a C a a -+-+=-==L

本题选择A 选项.

14．设01p <<，随机变量ξ的分布列是

则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，

()2

21331321

222228

D t t t ξ??=-++=--+ ???，利用函数的单调性，判断充分必要条件.

【详解】

由题意可知：()()2

21210p p p p -+-+= ， 且()2

011p <-<，()0211p p <-<，201p <<

解得：01p <<，

()()()2

211121341E p p p p p ξ=-?-+?-+?=-，

()()()()()()2

2

2

2

2141114121341D p p p p p p p ξ=----+--?-+--?????????????

288p p =-+，

设()411,3E p t ξ=-=∈-，

2

21113884422t t D t t ξ++??=-?+?=-++ ?

?? ()2

1122

t =-

-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2

880,2D p p t ξ=-+=∈，

2

1822p t ?

?--+= ???，

2

1228t p -??-= ??

?，

当102p <<时，12p =，此时1412E ξ?=- ?，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，

当112p ≤<时，12p =+1412E ξ?=+- ?，当D t ξ=增加时，E ξ减小，

所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.

综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】

本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.

15．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小

球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．

827

B ．

56

C ．

23

D ．

13

【答案】D 【解析】 【分析】

列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】

以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，

其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，

因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163

=. 故选：D. 【点睛】

本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.

16．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r

，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．

2

3

B ．

12

C ．

13

D ．

14

【答案】B 【解析】 【分析】

推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =1

2

S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】

以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r

，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，

∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的

12

．

∴S △PBC =

1

2

S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：

P=PBC ABC S S V V =12

． 故选B ． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

17．已知()9

29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1

【答案】B 【解析】 【分析】

求出二项式()9

13x -展开式的通项为()193r

r

r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当

r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值.

【详解】

二项式()9

13x -展开式的通项()193r

r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数

时，0r a >，

因此，()9

9

0191314a a a ??++?+=-?-=??

. 故选：B. 【点睛】

本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18．()()5

112x x ++的展开式中4x 的系数为（ ） A ．100 B ．120

C ．140

D ．160

【答案】D 【解析】 【分析】

利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】

()()

5

112x x ++的展开式中4x 的系数为3344

55C 2C 2160?+?=.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.

19．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 【详解】

根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为

12

， 假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率11113

2224

P =+?=， 乙获取96枚金币的概率2111224

P =?=， 则甲应该获得396724?=枚金币；乙应该获得1

96244

?=枚金币； 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.

20．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为

3

5

，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．

611

B ．

511

C ．

59

D ．

49

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】

如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，

所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，

当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6

11

AD BC p AD CD BC +==++.

故选：A.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.