(精品)《复变函数》习题及答案
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《复变函数》习题及答案
一、 判断题
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ）
2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( )
4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ）
5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ）
6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
7、若)(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。（ ）
9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ）
10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ）
11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ）
12、有界整函数必为常数。（ ）
13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( )
14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。（ ）
15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。（ ）
17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ）
18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ）
19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ）
20、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。（ ）
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21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。（ ）
22、若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续。（ ）
23、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ ）
24、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。（ ）
1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ ）
7、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ ）
8、存在一个在零点解析的函数f (z )使011(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n
n f 。（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ）
二、填空题
1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞=0n n nz
的和函数为__________。
3、设1
1)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞=0n n nz
的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n z
z
e _____________。 6、=-?=-1||00)(z z n z z dz __________。
7、设1
1)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________。 8、若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________。
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9、=+z z 22cos sin _________。
10、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。
11、设C iy x y x i xy x z f ∈+?+-++=),sin(1()2()(222，则)(lim 0
z f z z →__________。 13、幂级数∑∞=0n n nx
的收敛半径为__________
14、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点。
15、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
16、=)0,(Res n
z
z e ____________，其中n 为自然数。 17、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________.
18、若n n n
i n n z 11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________。 19、若C 是单位圆周，n 是自然数，则
=-?C n dz z z )(10__________。 20、函数z sin 的周期为___________。
21、若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n
z z z n n ...lim 21______________。 22、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。
23、函数211)(z z f +=
的幂级数展开式为_________。
三、计算题
1、.))(9(2||2?=+-z dz i z z z