2019中考数学圆试题解析

2019中考数学圆试题解析

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2015中考数学圆试题解析

一、选择题

1.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】

A.外离

B.内切c.相交D.内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，内含。因此，

∵两半径之差7-3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。

2.如图，AB是⊙o的直径，点c在⊙o上，若∠A=400，则∠B的度数为【】

A、800

B、600c、500D、400

【答案】c。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙o的直径，点c在⊙o上得∠c=900;根据三角形内角和定理，由∠A=400，得∠B=1800-900-400=500。故选c。

3.如图，已知BD是⊙o直径，点A、c在⊙o上，，∠AoB=60°，则∠BDc

的度数是【】

°°°°

【答案】c。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDc的度数：

∵，∠AoB=60°，∴∠BDc=∠AoB=30°。故选c。

4.若⊙o1，⊙o2的半径是r1=2,r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】

A.内切

B.相交c.外切D.外离

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，内含。因此，

∵r1+r2=6，r2-r1=2，d=5，∴r2-r1

5.如图，△ABc内接于⊙o，oD⊥Bc于D，∠A=50°，则∠ocD的度数是【】

°°°°

【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。

【分析】连接oB，

∵∠A和∠Boc是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，

∴∠Boc=2∠A=100°。

又∵oD⊥Bc，∴根据垂径定理，∠Doc=∠Boc=50°。

∴∠ocD=1800-900-500=400。故选A。

6.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是【】

ππcm2

【答案】D。

【考点】圆锥的计算。

【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：

圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π。故选D。

7.已知⊙o的半径为2，直线l上有一点P满足Po=2，则直线l 与⊙o的位置关系是【】

A.相切

B.相离c.相离或相切D.相切或相交

【答案】D。

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d

当oP垂直于直线l时，即圆心o到直线l的距离d=2=r，⊙o与l相切;

当oP不垂直于直线l时，即圆心o到直线l的距离d=2

故直线l与⊙o的位置关系是相切或相交。故选D。

8.如图，以m为圆心、4为半径的圆与x轴交于两点，P是⊙m 上异于的一动点，直线分别交y轴于，以cD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【】

A.等于4

B.等于4c.等于6D.随P点

【答案】c。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】连接NE，设圆N半径为r，oN=x，则oD=r﹣x，oc=r+x，∵以m为圆心、4为半径的圆与x轴交于两点，

∴oA=4+5=9，0B=5﹣4=1。

∵AB是⊙m的直径，∴∠APB=90°。

∵∠BoD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠oDB+∠oBD=90°。

∵∠PBA=∠oBD，∴∠PAB=∠oDB。

∵∠APB=∠BoD=90°，∴△oBD∽△ocA。∴，即，即r2﹣x2=9。

由垂径定理得：oE=oF，

由勾股定理得：oE2=EN2﹣oN2=r2﹣x2=9。∴oE=oF=3，∴EF=2oE=6。

故选c。

9.如图，A、B、c是⊙o上的点，若∠AoB=700，则∠AcB的度数为【】

【答案】D。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：∠AcB=∠AoB=×700=350。故选D。

10.已知⊙o1、⊙o2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙o1与⊙o2的位置关系是【】

A.外切

B.相交c.内切D.内含

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，内含。因此，

∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，∴两圆外切。故选A。

二、填空题

1.如图，⊙m与⊙N外切，mN=10cm，若⊙m的半径为6cm，⊙N 的半径为

▲cm。

【答案】4。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，内含。因此，

由⊙m与⊙N外切，m

N=10cm，⊙m的半径为6cm，得⊙N的半径=10cm-6cm=4cm。

2.如图，圆周角∠BAc=55°，分别过B，c两点作⊙o的切线，两切线相交与点P，则∠BPc= ▲°.

【答案】70。

【考点】切线的性质，圆周角定理。

【分析】连接oB，oc，

∵PB，Pc是⊙o的切线，∴oB⊥PB，oc⊥Pc。

∴∠PBo=∠Pco=90°，

∵∠Boc=2∠BAc=2×55°=110°，

∴∠BPc=360°-∠PBo-∠Boc-∠Pco=360°-90°-110°-90°=70°。

3.如图，在⊙o中，∠AoB=46o，则∠AcB=▲o.

【答案】23°。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，

∵∠AoB和∠AcB是同⊙o中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AoB=46o，∴

∠AcB=∠AoB=×46°=23°。

4.如图，AB是⊙o的直径，cD是弦，且cD⊥AB，Ac=8，Bc=6，则sin∠ABD=

▲。

【答案】。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】∵AB是⊙o的直径，∴∠AcB=900。

又∵cD⊥AB，∠AcD=∠ABc。

又∵∠ABD和∠AcD是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠AcD。∴∠ABD=∠ABc。

又∵Ac=8，Bc=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABc=。

5.已知与的半径分别是方程的两根,且,

若这两个圆相切,则t=▲.

【答案】2或0。

【考点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。

【分析】先解方程求出⊙o1、⊙o2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解：∵⊙o1、⊙o2的半径分别是方程的两根，解得⊙o1、⊙o2的半径分别是1和3。

①当两圆外切时，圆心距o1o2=t+2=1+3=4，解得t=2;

②当两圆内切时，圆心距o1o2=t+2=3-1=2，解得t=0。

∴t为2或0。

6.如图，PA、PB是⊙o的切线，切点分别为A、B两点，点c在⊙o上，如果AcB=70°，那么∠P的度数是▲.

【答案】40°。

【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角与外角。

【分析】如图，连接oA，oB，

∵PA、PB是⊙o的切线，∴oA⊥AP，oB⊥BP。

∴∠oAP=∠oBP=90°，

又∵∠AoB和∠AcB都对弧所对的圆心角和圆周角，且∠AcB=70°，

∴∠AoB=2∠AcB=140°。

∴∠P=360°-=40°。

三、解答题

1.在平面直角坐标系xoy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m。以点P为圆心，为半径的圆交x轴于A、B 两点，交y轴于c、D两点。点E为平行四边形DoPE的顶点。

写出点B、E的坐标;

连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

连接Bc，求∠DBc-∠DBE的度数。

【答案】解：B，E。

线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由知B，E，

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D。

∴，，

。

∴。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B，E得G。

过点G作GI⊥DG于点I，则I。

根据垂径定理，得DI=IQ，∴Q。

∴。

∴BQ=EQ。

延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

根据垂径定理，得AH=BH=2m，Ao=m。

根据圆的对称性，oc=oA=m。

又∵oB=3m，，，

∴。。

又∵∠coB=∠EDB=900，∴△coB∽△EDB。∴∠oBc=∠DBE。

∴∠DBc-∠DBE=∠DBc-∠oBc=∠DBo。

又∵oB=oc，∴∠DBo=450。∴∠DBc-∠DBE=450。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】过点P作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接oE，BP。

∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m，

∴P，H，F，oH=oF=HP=m。

∵PB=，∴。

∴oB=3m。∴B。

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D。

∵四边形DoPE是平行四边形，∴PE=oD=3m，HE=4m。∴E。

由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。

求出有关线段的长，可得，从而证得△coB∽△EDB，得到∠oBc=∠DBE。因此∠DBc-∠DBE=∠DBc-∠oBc=∠DBo=450。

2.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为xcm，

①用含x的代数式表示扇形的半径;

②若和扇形两个区域的制作成本分别为元和元，当的半径为多少时，该玩具成本最小?

【答案】解：连接o1A。

>∵⊙o1与o2c、o2D分别切一点A、B，

∴o1A⊥o2c，o2E平分∠co2D。

∵，∴∠Ao2o1=∠co2D=30°。

在Rt△o1Ao2中，，∴o1o2=Ao1sin∠Ao2o1=xsin30°=2x。

∵EF=24cm，∴Fo2=EF-Eo1-o1o2=24-3x，即扇形o2cD的半径为

cm。

3.如图，A、B为⊙o上的两个定点，P是⊙o上的动点，我们称∠APB为⊙o上关于A、B的滑动角。

已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。

①若AB为⊙o的直径，则∠APB=

②若⊙o半径为1，AB=，求∠APB的度数

已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB 为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点m、N，连接AN，试探索∠APB与∠mAN、∠ANB之间的数量关系。

【答案】解：①900。

②如图，连接AB、oA、oB.

在△AoB中，∵oA=oB==，∴oA2+oB2=AB2。

∴∠AoB=90°。

当点P在优弧AB上时，∠APB=∠AoB=45°;

当点P在劣弧AB上时，

∠APB==135°。

根据点P在⊙o1上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在⊙o2外，且点A在点P与点m之间，点B 在点P与点N之间，如图3，

∵∠mAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠mAN-∠ANB。

第二种情况：点P在⊙o2外，且点A在点P与点m之间，点N

在点P与点B之间，如图4，

∵∠mAN=∠APB+∠ANP=∠APB+，

∴∠APB=∠mAN+∠ANB-180°。

第三种情况：点P在⊙o2外，且点m在点P与点A之间，点B 在点P与点N之间，如图5，

∵∠APB+∠ANB+∠mAN=180°，

∴∠APB=180°-∠mAN-∠ANB。

第四种情况：点P在⊙o2内，如图6，

∠APB=∠mAN+∠ANB。

【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。

②根据勾股定理的逆定理可得∠AoB=90°，再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论即可。

根据点P在⊙o1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠mAN、∠ANB之间的数量关系。

4.如图，⊙o的半径为17cm，弦AB∥cD，AB=30cm，cD=16cm，圆心o位于AB、cD的上方，求AB和cD间的距离.

【答案】解：分别作弦AB、cD的弦心距，设垂足为E、F，连接oA，oc。

∵AB=30，cD=16，∴AE=AB=15，cF=cD=8。

又∵⊙o的半径为17，即oA=oc=17。

∴在Rt△AoE中，。

在Rt△ocF中，。

∴EF=oF-oE=15-8=7。

答：AB和cD的距离为7cm。

【考点】垂径定理，;勾股定理。

【分析】分别作弦AB、cD的弦心距，设垂足为E、F;由于AB∥cD，则E、o、F三点共线，EF即为AB、cD间的距离;由垂径定理，易求得AE、cF的长，可连接oA、oDc在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出oE、oF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、cD 间的距离。

5.如图，已知半径为2的⊙o与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为c，Pc与⊙o交于点D，连接PA、PB，设Pc的长为.

⑴当时，求弦PA、PB的长度;

⑵当x为何值时，的值最大?最大值是多少?

【答案】解：∵⊙o与直线l相切于点A，AB为⊙o的直径，∴AB⊥l。

又∵Pc⊥l，∴AB∥Pc.∴∠cPA=∠PAB。

∵AB为⊙o的直径，∴∠APB=90°。

∴∠PcA=∠APB.∴△PcA∽△APB。

∴，即PA2=Pc?PD。

∵Pc=，AB=4，∴。

∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。

过o作oE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙o的弦，oF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形oEcA中，cE=oA=2，∴PE=ED=x-2。

∴cD=Pc-PD=x-2=4-x。

∴。

∵

∴当时，有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又Pc垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与Pc平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PcA与△PAB相似，由相似得比例，将Pc及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

过o作oE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到oAcE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出Ec=oA=2，用Pc-Ec的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由Pc-PD表示出cD，代入所求的式子中，整理

后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。

6.如图，在四边形ABcD中，∠DAE=∠ABc=90°，cD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，Bc=b。

求cD的长度;

求EG的长度;

试判断EG与FG是否相等，并说明理由。

【答案】解：∵∠DAE=∠ABc=90°，∴DA⊥AB，cB⊥AB。

又∵AB为⊙o的直径，∴DA、cB为⊙o的切线。

又∵cD是⊙o的切线，AD=a，Bc=b，

∴DE=AD=a，cE=Bc=b。∴cD=DE+cE=a+b。

∵EF⊥AB，cB⊥AB，∴EF∥cB。∴△DEG∽△DcB。

∴，即。&there4

;。

相等。理由如下：

∵EF⊥AB，cB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥cB。

∴，且△BGF∽△BDA。∴，即。∴。

∴EG=FG。

【考点】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】由已知可得DA、cB和cD都要为⊙o的切线，根据切线

长定理即可得出结果。

由EF⊥AB，cB⊥AB可得EF∥cB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。

由DA∥EF∥cB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。

7.如图，已知直线l与⊙o相离，oA⊥l于点A，oA=5，oA与⊙o 相交于点

P，AB与⊙o相切于点B，BP的延长线交直线l于点c.

试判断线段AB与Ac的数量关系，并说明理由;

若Pc=，求⊙o的半径和线段PB的长;

若在⊙o上存在点Q，使△QAc是以Ac为底边的等腰三角形，求⊙o的半径r的取值范围.

【答案】解：AB=Ac。理由如下：

连接oB。

∵AB切⊙o于B，oA⊥Ac，∴∠oBA=∠oAc=90°。

∴∠oBP+∠ABP=90°，∠AcP+∠cPB=90°。

∵oP=oB，∴∠oBP=∠oPB。

∵∠oPB=∠APc，∴∠AcP=∠ABc。

∴AB=Ac。

延长AP交⊙o于D，连接BD，

设圆半径为r，则由oA=5得，oP=oB=r，PA=5-r。

又∵Pc=，

∴。

由AB=Ac得，解得：r=3。

∴AB=Ac=4。

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAc。

∵∠DPB=∠cPA，∴△DPB∽△cPA。∴，即，解得。

作线段Ac的垂直平分线mN，作oE⊥mN，

则oE=Ac=AB=。

又∵圆o要与直线mN交点，∴oE=≤r，

∴r≥。

又∵圆o与直线l相离，∴r=60°。

∵0°

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2015中考数学圆试题解析

一、选择题

1.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】

A.外离

B.内切c.相交D.内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，

内含。因此，

∵两半径之差7-3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。

2.如图，AB是⊙o的直径，点c在⊙o上，若∠A=400，则∠B的度数为【】

A、800

B、600c、500D、400

【答案】c。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙o的直径，点c在⊙o上得∠c=900;根据三角形内角和定理，由∠A=400，得∠B=1800-900-400=500。故选c。

3.如图，已知BD是⊙o直径，点A、c在⊙o上，，∠AoB=60°，则∠BDc

的度数是【】

°°°°

【答案】c。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDc的度数：

∵，∠AoB=60°，∴∠BDc=∠AoB=30°。故选c。

4.若⊙o1，⊙o2的半径是r1=2,r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】

A.内切

B.相交c.外切D.外离

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切，内切，相离，相交，内含。因此，

∵r1+r2=6，r2-r1=2，d=5，∴r2-r1

5.如图，△ABc内接于⊙o，oD⊥Bc于D，∠A=50°，则∠ocD的度数是【】

°°°°

【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。

【分析】连接oB，

∵∠A和∠Boc是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，

∴∠Boc=2∠A=100°。

又∵oD⊥Bc，∴根据垂径定理，∠Doc=∠Boc=50°。

∴∠ocD=1800-900-500=400。故选A。

6.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是【】

ππcm2

【答案】D。

【考点】圆锥的计算。

【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：

圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π。故选D。

7.已知⊙o的半径为2，直线l上有一点P满足Po=2，则直线l 与⊙o的位置关系是【】

A.相切

B.相离c.相离或相切D.相切或相交

【答案】D。

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：d

当oP垂直于直线l时，即圆心o到直线l的距离d=2=r，⊙o与l相切;

当oP不垂直于直线l时，即圆心o到直线l的距离d=2

故直线l与⊙o的位置关系是相切或相交。故选D。

8.如图，以m为圆心、4为半径的圆与x轴交于两点，P是⊙m 上异于的一动点，直线分别交y轴于，以cD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【】

A.等于4

B.等于4c.等于6D.随P点

【答案】c。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】连接NE，设圆N半径为r，oN=x，则oD=r﹣x，oc=r+x，∵以m为圆心、4为半径的圆与x轴交于两点，

∴oA=4+5=9，0B=5﹣4=1。

∵AB是⊙m的直径，∴∠APB=90°。