2016高考_一中一轮-数理-作业2 (4)

第4讲 二次函数与幂函数

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是

( )

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2 解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4.

答案 A

2．(2014·郑州检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x ) ( )

A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增

B ．在(－∞，3)上递增

C ．在[1，3]上递增

D ．单调性不能确定

解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．

答案 A

3．若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a 的大小关系是

( ) A ．5－a ＜5a ＜0.5a

B ．5a ＜0.5a ＜5－a

C ．0.5a ＜5－a ＜5a

D ．5a ＜5－a ＜0.5a 解析 5－a ＝? ??

??15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .

答案 B

4．(2015·蚌埠模拟)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于

( ) A ．－b 2a

B ．－b a

C ．c D.4ac －b 2

4a

解析 ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－b a .

∴f (x 1＋x 2)＝f ? ??

??－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c . 答案 C

5．(2014·山东师大附中期中)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的

( ) A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

解析 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴 －－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．

答案 B

二、填空题

6．二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．

答案 y ＝12(x －2)2－1

7．当α∈????

??－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限． 解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y

＝x α的图象经过第一象限．

答案 二、四

8．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析 令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .

结合图象有???Δ≥0，f （5）>0，

∴0

答案 ? ??

??0，14 三、解答题

9．(2015·绵阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .

(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 解 (1)由题意有f (－1)＝a －b ＋1＝0，

且－b 2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.

∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，

单调增区间为[－1，＋∞)．

(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，

转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．

设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，

则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.

∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．

10.(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R

上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已

画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，

请根据图象：

(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间；

(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；

(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值．

解 (1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．

(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，

∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，

∴f (x )＝???x 2－2x （x ＞0），x 2＋2x （x ≤0）.

(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴为x ＝a ＋1，

当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；

当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．

综上，g (x )min ＝???1－2

a （a ≤0），－a 2－2a ＋1 （0＜a ≤1），2－4a （a ＞1）.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是

( ) A ．(0，1)

B ．(0，1]

C ．(－∞，1)

D ．(－∞，1] 解析 用特殊值法．令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13适合，排除A ，B.令m ＝1，

由f (x )＝0得x ＝1适合，排除C.

答案 D

12．(2014·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是

( ) A ．f (x 1)＜f (x 2)

B ．f (x 1)＞f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定

解析 f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3，

则－2＜1－a ＜0，若x 1＜x 2≤－1，则x 1＋x 2＜－2，

不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x 1＜－1，

x 2≥－1时，|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)， 此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)＞f (x 1)；

若－1≤x 1＜x 2，则此时x 1＋x 2＞－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)＜f (x 2)．

答案 A

13．(2015·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是________．

解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意．

答案 (－∞，1)

14．(2015·雅安模拟)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0.

(1)求证：－2

(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．

(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，

则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，

则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0

即? ????b a ＋1? ??

??b a ＋2<0，从而－2

则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ，

那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝? ????－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·? ????b a 2＋4b 3a ＋43 ＝49? ??

??b a ＋322＋13. ∵－2