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中考压轴考题

中考压轴考题

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1.如图,已知抛物线经过点A (﹣1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点. (1)求抛物线的解析式.

(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ,C 重合),过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ,

若点M 的横坐标为m ,请用m 的代数式表示MN 的长.

(3)在(2)的条件下,连接NB 、NC ,是否存在m ,使△BNC 的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,

说明理由.

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2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;

(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,

使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在, 请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标. 3.如图,抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),

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与y 轴相交于点C ,顶点为D .

(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;

(2)连接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,

过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m ; ① 含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,

四边形PEDF 为平行四边形?

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② 设BCF △的面积为S ,求S 与m 的函数关系式

4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2+mx +n 经过点A (3,0)、B (0,﹣3),

点P 是直线AB 上的动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M , 设点P 的横坐标为t .

(1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式.

(2)若点P 在第四象限,连接AM 、BM ,当线段PM 最长时,求△ABM 的面积.

(3)是否存在这样的点P ,使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P 的横

坐标;若不存在,请说明理由.

1页

5.如图,在矩形ABCD 中,AB =m (m 是大于0的常数),BC =8,E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合). 连结DE ,作EF ⊥DE ,EF 与射线BA 交于点F ,设CE =x ,BF =y . (1)求y 关于x 的函数关系式;

(2)若m =8,求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少? (3)若12

y m

,要使△DEF 为等腰三角形,m 的值应为多少?

6.如图,已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象与x 轴的一个交点为B (5,0),另一个交点为A ,且与y 轴交于点C (0,5). (1)求直线BC 与抛物线的解析式;

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(2)若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点M 作MN ∥y 轴

交直线BC 于点N ,求MN 的最大值;

(3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点P 是抛物线在x 轴下方

图象上任意一点,以BC 为边作平行四边形CBPQ ,设平行四边形CBPQ 的面积为S 1,△ABN 的面积为S 2,且S 1=6S 2,求点P 的坐标.

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7.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限, 斜靠在两坐标轴上,且点A (0,2),点C (﹣1,0), 如图所示:抛物线y =ax 2+ax ﹣2经过点B . (1)求点B 的坐标; (2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标; 若不存在,请说明理由.

8.在△ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,CD 是斜边AB 上的高,点E 在斜边AB 上,过点E 作直线 与△ABC 的直角边相交于点F ,设AE =x ,△AEF 的面积为y . (1)求线段AD 的长;

(2)若EF ⊥AB ,当点E 在线段AB 上移动时,

①求y 与x 的函数关系式(写出自变量x 的取值范围) ②当x 取何值时,y 有最大值?并求其最大值;

(3)若F 在直角边AC 上(点F 与A 、C 两点均不重合),点E 在斜边AB 上移动,试问:是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线EF ,求出x 的值;若不存在直线EF ,请说明理由.

A B

C

D

E

F

2页

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10.如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边

形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;

如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:

(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;

拓展探究:

(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.

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3页

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11.如图所示,已知点(10)A -,,(30)B ,,(0)C t ,,且0t >,tan 3BAC ∠=,抛物线 经过A 、B 、C 三点,点(2)P m ,是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点. (1)求抛物线的解析式;

(2)对于动点(1)Q n ,,求PQ QB +的最小值;

(3)若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动,求AMP △的边AP 上的高h 的最大值.

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12.如图,已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ,和点(04)E ,.动 点C 从点(50)M ,出发,以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动,

与此同时,动点P 从点D 出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动.设运动时间为t 秒. (1)请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标; (2)以点C 为圆心、

1

2

t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点 (点A 在点B 的左侧),连接PA 、PB .

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① C ⊙与射线DE 有公共点时,求t 的取值范围; ② 当PAB △为等腰三角形时,求t 的值.

13.如图13,二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为4

5。 (1)求值该二次函数的关系式;

(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆

有公共点,求m 的取范围;

图15-2

A D O B

C 2

1

M

N

图15-1

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N

图15-3 A

D O

B

C 2

1

M

N

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存

在,请说明理由。

于点O ,∠1 = ∠2 = 45°.

(1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD

的数量关系和位置关系;

(2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到

图15-2,其中AO = OB .

求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ;

(3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3,求

AC

BD

的值.

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16.如图,已知Sin ∠ABC=

1

3

,⊙O 的半径为2,圆心O 在射 线BC 上,⊙O 与射线BA 相交于E 、F 两点,EF

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= (1) 求BO 的长;

(2) 点P 在射线BC 上,以点P 为圆心作圆,

使得⊙P 同时与⊙O 和射线BA 相切, 求所有满足条件的⊙P 的半径.

17.如图1,已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上,连接AE 、 G C 。

(1) 试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论。

(2) 将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转,使点E 落在BC 边上,如图2,连接AE 和 GC 。你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由。

D

C

F

A

B

O

第16题

E G

B

C

D

E F

G A

圖1 B

C

D

E

F

G

A

圖2