常见塑性铰线图形

常见塑性铰线汇总

四边形辅助线专题训练

一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点， 且AE=AC，EF 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股

塑性设计和弯矩调幅法(for PPT)

塑性设计和弯矩调幅法 浙江大学 童根树 2013.10.18

对GB17-88,GB50017-2003塑性设计的疑虑：?(1)可靠度会不会降低？ (2)稳定设计方法是否合理: 计算长度系数与弹性设计有什么差别？ (3) 可操作性：如何计算？ (4)对使用极限状态的影响如何？ (5)宽厚比限制过严，影响了经济性，是否可以区别对待？

10.1 一般规定 ?10.1.1本章规定适用于不直接承受动力荷载的结构，包括（1）固端梁、连续梁； （2）实腹构件组成的单层框架结构； （3）水平荷载参与的荷载组合不控制设计的2层-6层框架结构； （4）采用双重抗侧力结构的多层和高层建筑钢结构中的框架部分，结构下部1/3楼层的框架部分承担的水平力不大于该层总水平力 20%，允许框架梁逐个进行塑性设计。此时宜避免在框架柱中形成塑性铰。 (5)双重抗侧力结构的支撑（剪力墙）系统能够承担所有水平力时， 其框架可以采用塑性设计 ?[本条极大地扩大了塑性设计的应用范围,并且有可能使得塑性设计实用化]

?10.1.2 采用塑性设计的结构或构件，按承载能力极限状态设计时，应采用荷载的设计值，考虑构件截面内塑性的发展及由此引起的内力重分配，用简单塑性理论进行内力分析。 ?进行正常使用极限状态设计时，采用荷载的标准值，并按弹性理论进行计算。 ?连续梁以及双重抗侧力结构中的框架梁，当能够确保仅形成梁式塑性机构时，允许对竖向重力荷载产生的梁端弯矩往下调幅10~30%、梁跨中弯矩相应增大的简化方法，代替塑性机构分析，此时柱端弯矩不因梁端弯矩调幅而修正。 水平荷载产生的弯矩不得进行调幅。

讲义 角平分线辅助线

人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.7 角平分线辅助线添加方法 教师： 学生： 时间： 教学目标：学会解平面几何题常用辅助线作法——题中有角平线的时。 重难点：根据平面几何题中有角平分线时——采用相对应的辅助作法。 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 角平分线的性质： 1、 2、 3、 【新知识】 角平分线辅助线添加1：角分线上点向角两边作垂线构全等 【知识要点】 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上 的点到两边距离相等的性质来证明问题。 【典型例题】 【例1】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD A B C D

1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 2、如图，已知∠B=∠C=90。，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。 【例2】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF. 举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG. 角平分线辅助线添加方法2------截取构全等 E B A C D B C M A D

【知识要点】 截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ， 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 【典型例题】 【例1 方法2】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 图1-1 O A B D E F C A B C D

中梁放大系数的理解

对于待讨论的话题来说，用反诘解决不了问题！ 既然楼上认为那篇文章可以解读这个问题，为什么不能贴出来，让大家解惑呢？ 我搜到了“叶列平”先生的一篇发言稿《汶川地震建筑震害调查分析》，里面大概讲了一些楼板对柱铰形成的影响，但不够细致，可能和你掌握的那篇论文不一致。可能怕我理解能力有限读不懂吧，楼上不肯私下里给出这篇文章，但我还是建议楼上把论文亮出来，让理解能力更强的同仁看看！ 针对楼上质疑我回答两点： 一、为什么都不统一用真实结构计算，这样不更能反应变形协调吗？ 《高规》的变形控制是的前提是“刚性板”，和“梁刚度”没关系，我不清楚为什么两个问题总有人混淆？ 顺便说一句：《高规》要求的变形控制是种失真控制，而非真正的变形。问题不是出在程序应该如何设定上，更不是出在我这，要质疑变形和内力不协调只能质疑高规的“刚性板”，但和“梁刚度”没关系。 二、叶教授的关于《汶川地震建筑震害调查分析》的文章我读过了，有见地。但没见其指出过“柱铰”的出现和梁刚度放大有关，仅见指出“和填充墙的作用、现浇楼板参与造成梁端超强有关”。 下面说一点我对“柱铰机制”形成的理解： 梁超强（或强梁弱柱）的原因不是梁刚度的放大，而是楼板钢筋的参与。梁刚度放大是在内力分析阶段讨论的问题，是种客观存在（楼板不配筋也存在），而楼板钢筋参与负弯矩分配是承载力的节点分析阶段讨论的问题。 内力分析后应用于配筋的应该是：M 柱≥η（M 梁 +M 板 ）， 承载力阶段“梁”配筋时采用（M 梁+M 板 ）、板筋照配， 造成实际“广义梁端”承载力为（M 梁+M 板 +M 板2 ）， 形成M 柱<η（M 梁 +M 板 +M 板2 ），“柱铰机制”形成。 赵兵的论点错在：承载力阶段的问题转移到内力分析阶段解决。 内力分析阶段的梁刚度不放大，柱配筋的承载力ηM 梁1与梁刚度放大下的柱配筋的承载力ηM 梁2 比较是偏 大的， 但依然不能保证：ηM 梁1 ≥η（M梁2+M板） 即柱实际承载力≯理论强柱弱梁下柱承载力：弯矩放大*（放大梁刚度后梁端配筋+楼板参与钢筋）。 本想精心准备一下再论，但对于质疑只好草草回复了。附几篇论文及小刚架模型：《汶川地震建筑震害调查分析》、《板筋参与梁端负弯矩承载力问题的探讨》、《柱端弯矩增大系数取值对RC框架结构抗震性能影响的评估》，有关这方面的研究建议大家再看“白绍良”教授等人的文章，理解起来并不难，但愿对有心人有点帮助！ 附图为用《结构力学求解器 1.5》的两张弯矩图片，一为梁刚放大，二为梁刚不放大，顺便指出：梁刚不放大时，梁端弯矩大、跨中弯矩小。

一 遇角平分线常用辅助线

第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ． B E D C

练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ． 例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ． 练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异 A B C E D P A P C B E D A F B

于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．

例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ． 练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． A E F B C D G F A E B C G D

塑性铰的定义及概念

、适筋梁（或柱，当主要是梁）受拉纵筋屈服后，截面可以有较大转角，形成类似于铰一样地效果.称作塑性铰. 、塑性铰是一种特殊地铰，它能承受一定方向地弯矩，这是它区别于一般铰最本质地特征.在抗震设计中，做到强柱弱梁就是为了保证让梁出现塑性铰，此时梁地变形较大，但是还能受力.塑性铰对抗震设计来说，是一个重要地概念，因为在塑性铰形成地过程中能吸取大量地地震能量，所以在设计中恰到好处地设计塑性铰形成地位置（比如在梁端而不是柱），可有效降低震害，不至于出现迅速倒塌地后果（满足抗震设防要求）资料个人收集整理，勿做商业用途 、塑性铰与一般理想铰地区别在于：塑性铰不是集中在一点，而是形成一小段局部变形很大地区域；塑性铰为单向铰，仅能沿弯矩作用方向产生一定限度地转动，而理想铰不能承受弯矩，但可以自由转动；塑性铰在钢筋屈服后形成，截面能承受一定地弯矩，但转动能力受到纵筋配筋率、钢筋种类和砼极限压应变地限制. 配筋率越大或截面相对受压区高度越大，塑性铰地转动能力却越小.资料个人收集整理，勿做商业用途 对于直接承受动荷载地构件，以及要求不出现裂缝或处于侵蚀环境等情况下地结构，不应采用考虑塑性内力充分布地分析方法.资料个人收集整理，勿做商业用途 《高规》条指出，在竖向作用下，可考虑框架梁端塑性变形内力重分布，对梁端负弯矩乘以调幅系数进行调幅.资料个人收集整理，勿做商业用途 为什么要进行支座负弯矩调幅呢？ 弯矩调幅来源于受力全过程和截面地塑性特性.要理解弯矩调幅首先要知道塑性铰地概念，塑性铰主要来源于钢筋屈服以及混凝土塑性变形所产生地塑性，它地力学特征是在截面所承受地弯矩不变地情况下有一定地转动能力，（类似于铰，区别在于铰不能承受弯矩，而塑性铰可以承受弯矩）.塑性铰地地出现导致了连续梁地内力重分布，负弯矩地弯矩保持不变，而跨中弯矩增大，最终跨中也达到极限承载力而破坏！资料个人收集整理，勿做商业用途 所以考虑塑性内力重分布地受力过程是：第一阶段：首先荷载较小，跨中支座弯矩线形增加，支座弯矩大于跨中弯矩（支座弯矩始终是大于跨中弯矩地）.随着荷载增大，支座达到承载能力极限，形成塑性铰.进入第二阶段：此时支座弯矩不变（事实上还有小许增加），跨中弯矩继续增加，最后跨中也出现塑性铰，结构成为机动体系，结构破坏.资料个人收集整理，勿做商业用途 在工程设计中，每次按两阶段来设计不仅繁琐，而且增加难度；因此引入了弯矩调幅这个方法，弯矩调幅，通过调低支座弯矩，来实现内力重分布地目地，但是调幅地目地不是简单地调低弯矩，而是调整跨中和支座地负弯矩！因此可以不变支座配筋通过增加跨中配筋来提高构件地极限承载力，也可以通过减少支座配筋（同时可能要增加跨中配筋）来保持按弹性计算所需地承载力.资料个人收集整理，勿做商业用途 总结：弯矩调幅法是考虑塑性内力重分布地分析方法，是与弹性设计相对地.其目地是增加构件地承载能力，充分发挥材料（混凝土）地能力.所以用了弯矩调幅法，不一定要减少支座配筋.这里地关键是塑性铰和内力重分布.这跟抗震里地“强柱弱梁”没有本质地联系，千万不要再说强柱弱梁，事实上对负弯矩调幅后是有利于抗震地.对于弯矩调幅法也不是到处能用地，对于承受动力荷载，使用上要求不出现裂缝地以及处于腐蚀性环境地都不能用该方法.资料个人收集整理，勿做商业用途 支座负弯矩调幅地优点： 、求得结构地经济.充分挖掘混凝土结构地潜力和利用其优点.增加支座地配筋不如增加跨中地配筋来地经济，因为跨中还可以利用形截面地优势，而支座不能.资料个人收集整理，勿做商业用途

遇角平分线常用辅助线

第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线，补得等腰现

练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC．

例3．已知如图，在△ABC中（AB≠AC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作

例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=2 1（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形． 练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ． 【homework 】 1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如 果BC=6，求△DEF 周长． 2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ． A D E C B A E D F G C B A D F E C B

B C A D

3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2 1(AB-AC)． 4．如图，ABC ?中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ． A B H D C A E C M B D A E B D C

8下四边形中常见辅助线

四边形中常用的辅助线 四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种： (1)连结对角线或平移对角线． (2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形． (3)涉及面积问题的，常构造直角三角形． (4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形． (5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线． 经典例题 1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( ) A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减少 C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长与点P的位置有关 2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6 cm，四边形ABCD的面积为24 cm2，则两条平行线间的距离为( ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 1 cm 3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则等于( )

A. B. C. D. 4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为________． 6．如图，P为?ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，?ABCD的面积记为S，试探究S ＋S2与S之间的关系． 1 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求： (1)∠A，∠C的度数． (2)AD，BC的长度． (3)四边形ABCD的面积．

什么是塑性铰

************************* * 什么是塑性铰* ************************* 1、适筋梁（或柱，当主要是梁）受拉纵筋屈服后，截面可以有较大转角，形成类似于铰一样的效果。称作塑性铰。 2、塑性铰是一种特殊的铰，它能承受一定方向的弯矩，这是它区别于一般铰最本质的特征。在抗震设计中，做到强柱弱梁就是为了保证让梁出现塑性铰，此时梁的变形较大，但是还能受力。塑性铰对抗震设计来说，是一个重要的概念，因为在塑性铰形成的过程中能吸取大量的地震能量，所以在设计中恰到好处地设计塑性铰形成的位臵（比如在梁端而不是柱），可有效降低震害，不至于出现迅速倒塌的后果（满足抗震设防要求） 3、塑性铰与一般理想铰的区别在于： 塑性铰不是集中在一点，而是形成一小段局部变形很大的区域；塑性铰为单向铰，仅能沿弯矩作用方向产生一定限度的转动，而理想铰不能承受弯矩，但可以自由转动；塑性铰在钢筋屈服后形成，截面能承受一定的弯矩，但转动能力受到纵筋配筋率、钢筋种类和砼极限压应变的限制。配筋率越大或截面相对受压区高度越大，塑性铰的转动能力却越小。 对于直接承受动荷载的构件，以及要求不出现裂缝或处于侵蚀环境等情况下的结构，不应采用考虑塑性内力充分布的分析方法。《高规》 5.23.3 条指出，在竖向作用下，可考虑框架梁端塑性变形内力重分布，对梁端负弯矩乘以调幅系数进行调幅。 为什么要进行支座负弯矩调幅呢？ 弯矩调幅来源于受力全过程和截面的塑性特性。要理解弯矩调幅首先要知道塑性铰的概念，塑性铰主要来源于钢筋屈服以及混凝土塑性变形所产生的塑性，它的力学特征是在截面所承受的弯矩不变的情况下有一定的转动能力，（类似于铰，区别在于铰不能承受弯矩，而塑性铰可以承受弯矩）。塑性铰的

沪科版八年级数学下册四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.

例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21 ∠AEB.

初中数学特殊四边形的辅助线做法及口决

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形. 在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线. 下面介绍一些辅助线的添加方法. 一、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 分析: 因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证. 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形， 所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点， 所以A0//ED，AO=ED, 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形. 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG， 因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形， 所以AC=BG， AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF， 所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4， 所以BF=BG=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

对结构抗震的理解

对结构抗震的新理解 摘要：我国地理位置处于地震多发地带，房屋结构的安全是现阶段建筑行业首要关心的问题。我国抗震设计对钢筋混凝土结构提出了高延性要求，也就是要求结构在较大的屈服后塑性变形状态下仍保持其竖向荷载和抗水平力的能力。如何实现这一要求还要进一步的探究抗震设计与结构设计的关系。 关键词：抗震设计；塑性变形；剪切破坏； 下面是我借阅资料找到的几种构造措施： （一）“强柱弱梁”措施 主要是通过人为增大相对于梁的抗弯能力，使塑性铰更多的出现在柱端而不是梁端，让结构在地震引起的动力反应中形成“梁铰机构”或“梁柱铰机构”，通过框架梁的塑性变形来耗散地震能量。 根据对构件在强震下非线线动力分析可知，强震下，由于构件产生塑性变形，因此可以耗散部分地震能量，同时根据杆系结构塑性力学的分析知道，在保证结构不形成机构的要求下，“梁铰机构”或“梁柱铰机构”相对与“柱铰机构”而言，能够形成更多的塑性铰，从而能耗散更多的地震能量，因此我们需要加强柱的抗弯能力，引导结构在强震下形成更优、更合理的“梁铰机构”或“梁柱铰机构”。 这一套抗震措施理念已被世界各国所接受，但是对于耗能机构却出现了以新西兰和美国为代表的两种不完全相同的思路。这两种思路都承认应该优先引导梁端出塑性铰，但是双方对柱端塑性铰出现的位置和数量有分歧。 新西兰追求理想的梁铰机构，规范中底层柱的弯距增大系数比其它柱的弯距增大系数要小一些，这么做的目的是希望在强震下，梁端塑性铰形成较为普遍，底层柱塑性铰的出现比梁端塑性铰迟，而其余所有的柱截面在大震下不出现塑性铰的“梁铰机构”。但是新西兰人也不认为他们的理想梁铰方案是唯一可用的方法，他们在规范中规定可以选用两种方法，一种是上述的理想梁铰机构法，另一种就是类似于美国的方法。 美国规范的做法则希望在强震下塑性铰出现较早，柱端塑性铰形成较迟，梁端塑性铰形成得较普遍，柱端塑性铰可能要形成得要少一些的“梁－柱塑性铰机构”（柱端塑性铰可以在任何位置形成，这一点是与新西兰规范的做法是不同的）。中国规范和欧洲EC8规范也是采用与美国类似的方法。 （二）“强剪弱弯”措施

角平分线辅助线专题练习

D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图， 2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC 针对性例题： 例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB 求证：DC ⊥AC

B 例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．： 思路一：利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形． 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ， 则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ， 连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ， BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的． 证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3

四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

初三数学平行四边形中常用辅助线的添法专题辅导

平行四边形中常用辅助线的添法 徐卫东 刘建英 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 一、连对角线或平移对角线： 例1 如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：CEF ABF S S △△=。 简证：连BD ，由图易得BCE BDE S S △△=（同底等高） ，BDF ABF S S =△（同底等高） 所以BEF BCE BEF BDE S S S S △△△△-=-， 所以ECF BDF S S △△=，即CEF ABF S S △△=。 例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （c b >）， AB=m ，求m 的取值范围。 简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形， 所以c a DB CE +==， m AB DC BE ===， 即m 2AE =，在△ACE 中， CE AC AE CE AC +<<-， 即 ()()c b a 22 1m c b 21 ++<<-。 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 例3 如图3，平行四边形ABCD 中，∠DBC=?30，DE ⊥DB 交BC 的延长线于E ，AD=a ，DE=b ，求DCE S △。

塑性铰的定义及概念

塑性铰得定义及概念 1、适筋梁(或柱,当主要就是梁)受拉纵筋屈服后,截面可以有较大转角,形成类似于铰一样得效果。称作塑性铰。 2、塑性铰就是一种特殊得铰,它能承受一定方向得弯矩,这就是它区别于一般铰最本质得特征。在抗震设计中,做到强柱弱梁就就是为了保证让梁出现塑性铰,此时梁得变形较大,但就是还能受力。塑性铰对抗震设计来说,就是一个重要得概念,因为在塑性铰形成得过程中能吸取大量得地震能量,所以在设计中恰到好处地设计塑性铰形成得位置(比如在梁端而不就是柱),可有效降低震害,不至于出现迅速倒塌得后果(满足抗震设防要求) 3、塑性铰与一般理想铰得区别在于:塑性铰不就是集中在一点,而就是形成一小段局部变形很大得区域;塑性铰为单向铰,仅能沿弯矩作用方向产生一定限度得转动,而理想铰不能承受弯矩,但可以自由转动;塑性铰在钢筋屈服后形成,截面能承受一定得弯矩,但转动能力受到纵筋配筋率、钢筋种类与砼极限压应变得限制。配筋率越大或截面相对受压区高度越大,塑性铰得转动能力却越小。 对于直接承受动荷载得构件,以及要求不出现裂缝或处于侵蚀环境等情况下得结构,不应采用考虑塑性内力充分布得分析方法。

《高规》5、23、3条指出,在竖向作用下,可考虑框架梁端塑性变形内力重分布,对梁端负弯矩乘以调幅系数进行调幅。 为什么要进行支座负弯矩调幅呢？ 弯矩调幅来源于受力全过程与截面得塑性特性。要理解弯矩调幅首先要知道塑性铰得概念,塑性铰主要来源于钢筋屈服以及混凝土塑性变形所产生得塑性,它得力学特征就是在截面所承受得弯矩不变得情况下有一定得转动能力,(类似于铰,区别在于铰不能承受弯矩,而塑性铰可以承受弯矩)。塑性铰得得出现导致了连续梁得内力重分布,负弯矩得弯矩保持不变,而跨中弯矩增大,最终跨中也达到极限承载力而破坏！ 所以考虑塑性内力重分布得受力过程就是:第一阶段:首先荷载较小,跨中支座弯矩线形增加,支座弯矩大于跨中弯矩(支座弯矩始终就是大于跨中弯矩得)。随着荷载增大,支座达到承载能力极限,形成塑性铰。进入第二阶段:此时支座弯矩不变(事实上还有小许增加),跨中弯矩继续增加,最后跨中也出现塑性铰,结构成为机动体系,结构破坏。 在工程设计中,每次按两阶段来设计不仅繁琐,而且增加难度;因此引入了弯矩调幅这个方法,弯矩调幅,通过调低支座弯矩,来实现内力重分布得目得,但就是调幅得目得不就是简单得调低弯矩,而就是调整跨中与支座得负弯矩！因此可以不变支座配筋通过增加跨中配筋来提高构件得极限承载力,也可以

一遇角平分线常用辅助线

邦德点拨：过点 D 作 DEL AB 」DE=CD AE=AC 再利用方程思想、勾股定理解 AC. 练习1:已知如图，P ABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证: ?角边相等，可造全等 在角的两边取相等线段，可得全等三角形. 如图，若 0P 为/ AOB 角平分线，可在 0B 上取OF=OE 则可用结论有：（1）证得△ 0卩瞪厶OPE 第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: ?点在平分线，可作垂两边 ?角边相等，可造全等 ?平分加平行，可得等腰形 四?平分加垂线，补得等腰现 ?点在平分线，可作垂两边 例1 ?已知如图, O 在厶 ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求 AC . AP 平 C . BA D A A B D E C C

(2) 证得PF=PE OF=OE (3)证得/ PFO=Z PEO / OPF=/ OPE 例2.已知如图，AB//CD , BE平分/ ABC, CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD 邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD 练习2.已知如图，AD是厶ABC的内角平分线，P是AD上异于点与AC- AB的大小，并说明理由. 三?平分加平行，可得等腰形 1?过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相 似； 则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形； 1 （2）证得/ E=^ / AOB A B F C P A 的任意一点，E，试 如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，

平行四边形有关的常用辅助线

PART A 知识讲解 六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111<

【结构设计】学习静力弹塑性分析方法总结

学习静力弹塑性分析方法总结 静力弹塑性分析（Push-over）方法最早是1975年由Freeman等提出的,以后虽有一定发展,但未引起更多的重视.九十年代初美国科学家和工程师提出了基于性能（Performance-based）及基于位移（Displacement-based）的设计方法,引起了日本和欧洲同行的极大兴趣,Push-over方法随之重新激发了广大学者和设计人员的兴趣,纷纷展开各方面的研究.一些国家抗震规范也逐渐接受了这一分析方法并纳入其中,如美国ATC-40、FEMA-273&274、日本、韩国等国规范.我国2001规范提出“弹塑性变形分析,可根据结构特点采用静力非线性分析或动力非线性分析”,这里的静力非线性分析,即主要即是指Push-over分析方法. 1、Push-over方法的基本原理和实施步骤 （1）基本原理 Push-over方法从本质上说是一种静力分析方法,对结构进行静力单调加载下的弹塑性分析.具体地说即是,在结构分析模型上施加按某种方式模拟地震水平惯性力的侧向力,并逐级单调加大,构件如有开裂或屈服,修改其刚度,直到结构达到预定的状态（成为机构、位移超限或达到目标位移）.其优点突出体现在：较底部剪力法和振型分解反应谱法,它考虑了结构的弹塑性特性；较时程分析法,其输入数据简单,工作量较小. （2）实施步骤 (a)准备结构数据：包括建立结构模型、构件的物理参数和恢复力模型等； (b)计算结构在竖向荷载作用下的内力（将与水平力作用下的内力叠加,作为某一级水 平力作用下构件的内力,以判断构件是否开裂或屈服）；

(c)在结构每层的质心处,沿高度施加按某种分布的水平力,确定其大小的原则是：水平力产生的内力与（b）步计算的内力叠加后,恰好 使一个或一批件开裂或屈服； (d)对于开裂或屈服的杆件,对其刚度进行修改后,再增加一级荷载,又使得一个或一批杆件开裂或屈服； (e)不断重复（c）、（d）步,直到结构达到某一目标位移（对于普通Push-over方法）、或结构发生破坏（对于能力谱设计方法）. 2、Push-over方法研究进展 （1）Push-over方法对结构性能评估的准确性 许多研究成果表明,Push-over方法能够较为准确（或具有一定的适用范围）反映结构的地震反应特征.Lawson和Krawinkler对6个 2~40层的结构（基本周期为0.22~2.05秒）Push-over分析结果与动力时程分析结果比较后,认为对于振动以第一振型为主、基本周期在2秒以内的结构,Push-over方法能够很好地估计结构的整体和局部弹塑性变形,同时也能揭示弹性设计中存在的隐患（包括层屈服机制、过大变形以及强度、刚度突变等）.Fajfar通过7层框剪结构试验结果与Push-over方法分析结果的对比得出结论,Push-over方法能够反映结构的真实强度和整体塑性机制,因此适宜于实际工程的设计和已有结构的抗震鉴定.Peter对9层框剪结构的弹塑性时程分析结果与Push-over方法分析结果进行了对比,认为无论是框架结构还是框剪结构,两种方法计算的结构最大位移和层间位移均很一致.Kelly考察了一幢17层框剪结构和一幢9层框架结构分别在1994年美国Northridge地震和1995年日本神户地震中的震害,并采用Push-over方法对两结构进行分析,发现Push-over方法能够对结构的最大反应和结构损伤进行合理地估计.Lew对一幢7层框架结构进行了非线性静力分析和非线性动力分析,发现非线性静力分析估计的构件的变形与非线性动力分析多条波计算结果的平均值大致相同.笔者曾对6榀框架（层数为3~16,基本周期为0.59~2.22秒）进行了Push-over分析与动力时程分析,发现两