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补充练习

第一章:矩阵 补充练习(1)

2. 解矩阵方程:X A E AX +=+2,其中???

?

? ??=161020001A .

2. E A X E A X A E AX -=-?+=+22)(,

因为,00

610100

00==-E A ,所以E A -不可逆.

以下用待定系数法求解.

设???

?

?

??=3332

31

232221

131211x x x x x x x x x X ,则 ?-=-E A X E A 2)(

??????

??=????? ??-????? ??????? ??=????? ??????? ??0182030000100010001161020001161020001061010000333231232221131211

x x x x x x x x x

?????

?

??=?????

??+++01820300006660

00231322

122111

232221x x x x x

x x x x

22211==x x ,023211312====x x x x .

???

??

??=c b a X 030002,c b a ,,为任意的常数.

注:???

?

?

??=+=261030002E A X 是解,但不是全部解.

1.用初等变换求矩阵A 的逆.

????

? ??---=201013121A

1.????

? ??-----=52133614291

A

3.设2)(,34=?A R A ,???

?

? ??-=301020201B ,求)(AB R .

3.因为010≠=B ,B 可逆(满秩),2

)()(==A R AB R

1.用分块矩阵求A 的逆.

??

??

?

?

?

?

?-=11002100001200

25A 1.将A 分成4个2阶矩阵,即???? ??=21

0A A A ,则???

? ?

?=---121

11

00A A A . 其中????

??=12251A ,???

? ??-=11212A ,???? ??--=-522111A ,???? ??-=-1121311

2A , 故,???

?

??

? ??---=-3/13/1003/23/1000052002

11A .

2.已知矩阵n n A ?,062=-+E A A ,求:111)4(,)(,---++E A E A A . 2. (1)E E A A E A A 6)(062=+?=-+

E E A A E E A A =+?=+??)(61

)(61,或

A E A E A A 6

1

)()(6111=++=?--,或

(2)06)3)(4(062=+-+?=-+E E A E A E A A

E E A E A E E A E A =--+?-=-+?)]3(6

1

)[4(6)3)(4(

)3(6

1

)4(1E A E A --=+?-

第二章:线性空间 补充练习(4)

1.已知321,,ααα线性无关,求证:

32132212,23,ααααααα+-++线性无关.

1.设0)2()23()(3213322211=+-++++αααααααk k k

0)2()23()(3322321131=++-+++?αααk k k k k k k

??

?

??=+=-+=+?0

202303232131k k k k k k k 由0091

2

023*******===?≠=-=k k k D 所以,向量组线性无关.

第二章:线性空间 补充练习(5)

1.已知两个向量组:

??????? ??=32101α,??????? ??=21032α,????

??? ??=10

323α (Ⅰ)

??????? ??=21121β,??????? ??-=11202β,????

??

?

??=31443β (Ⅱ)

求证:向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示;

但向量组(Ⅰ)不能由向量组(Ⅱ)线性表示.

1.令),,(321ααα=A ,),,(321βββ=B .

??????

?

?

?----?????→?05740

352

000014001610

1301),(一系列初等行变换B A ?==3),()(B A R A R B 的列向量可由A 的列向量表示.

同理,??????

?

?

?---?????→?00100

10100002000111

0211

1),

(一系列初等行变换A B 2)(=B R ,?=3),(A B R A 的列向量不能由B 的列向量表示.

2.求向量组

??????? ??-=30211α,??????? ??--=63522α,??????? ??=03103α,??????

? ??--=74124α,???????

??-=21855α

的秩和一个极大线性无关组;并把其他向量表达为这个极大线性无关组的线性组合. 2. 设),,

,,(54321ααααα=A ,

??????

?

?

?-??→????????

?

?-?????→?011100

001000011002

0101250

001000311

0202

1行变换一系列初等行变换A 3)(=A R ;421,,ααα(构成标准形)可作一个极大线性无关组.

直接可写出:2132ααα-=,4215αααα++= (当然,你也可以以521,,ααα作极大无关组)

3.求由下列向量生成的向量空间的一个基及维数.

??????? ??-=11311α,??????? ??--=41122α,??????? ??-=71153α,??????

? ??--=32

624α

3.设),

,,(4321αααα=A .

??????

?

?

??????→?000

010000210

2521一系列初等行变换A 基:,,,421ααα 维数:3

第二章:线性空间 补充练习(6)

1.设R 3的两组基分别是:

????? ??=0111α, ????? ??=1102α, ?????

??=1003α

????? ??--=1111β,????? ??-=1112β,????

? ??-=0113β

(1)求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵; (2)求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵; (3)求向量32132αααα-+=在基321,,βββ下的坐标.

1.(1)设A ),,(),,(321321αααβββ=,

???

?

? ??----????? ??--==-011111111111011001

),,(),,(3211321βββαααA

????

? ??----=211202111 (2)1321321),,(),,(-=A βββααα

?????

??

?

?

?

-----

-=-111021

1

12311A ,这就是所求过渡矩阵. (3)????? ??-=321),,(321αααα,设???

?? ??=321321),,(y y y βββα,则

=????? ??-321),,(321ααα???

??

??321321),,(y y y βββ

1321),,(-A βββ=????? ??-321???

?

?

??321321),,(y y y βββ

=????? ??321y y y =????? ??--3211A ??????

?

?

??

-----

-1110211

1231=????? ??-321????

? ??-021

第三章:线性方程组 补充练习(7)

1.齐次线性方程组0=AX 只有零解A ?的__(行、列)向量组线性____(相关、无关) 1.列;无关.

即02211=+++n n x x x ααα 只有0解,021====n x x x ,从而A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关.

3.设A 是n 阶方阵,3)(-=n A R ,321,,ααα是齐次线性方程组0=AX 的3个线性无关的解向量,则0=AX 的基础解系是( ). A. 133221,,αααααα+++ B. 312312,,αααααα--- C.

312312,21

,

2αααααα---

D. 31233212,,ααααααα---++ 3. 选A

基础解系所含向量个数3)3(=--=n n (个),

321,,ααα是3个线性无关的解向量,

133221,,αααααα+++满足:①是解向量;②线性无关;③3个,

故也可作为基础解系.

第三章:线性方程组 补充练习(8)

1.设???

?

? ??--=11334221m A ,B 为3阶非零矩阵,且0=AB ,则=m __.

1.3-=m .

B 的列向量是0=AX 的解,又0≠B ,方程组有非0解,

则30)3(70-=?=+=?=m m A A .

4.已知方程组????

? ??--=???????

??????? ??-11111315341114321x x x x b a 有3个线性无关的解.

(1)求证:2)(=A R .

(2)求b a ,的值,及方程组的通解.

4. 证明(1):设321,,ξξξ是β=AX 的3个线性无关的解, 则 3

221,ξξξξ--是0=AX 的两个线性无关的解,

即0=AX 的基础解系中向量的个数≥2,

2)(2)(4≤?≥-A R A R .

又A 中存在一个2阶子式2)(013

41

1≥?≠-=A R ,

所以,2)(=A R .

解(2):???

?

? ??--+----??→?a b a a A 2454352

4240011020

1行

变换

, 由??

?-==???

?=-+=-?=3

20540242)(b a b a a A R .

此时,????

?

??---??→?00

3524000110201行变换

A 在0=AX 中,令???

?

??-???

? ??-=???? ??????? ?????

?

??=???? ??54,1210,012143x x x x , 得基础解系是:?

?

?????

??-=01121ξ,????

??? ??-=10542ξ.

找到β=AX 的一个特解:????

??

? ??-=00320η,

则β=AX 的通解为:

????

??

? ??-+-+-=++=21

21212211053422k k k k k k k k ξξηη. 第四章 矩阵的特征值与特征向量 补充练习(9)

1.设A 是3阶方阵,且0322=+=+=-E A E A E A . 则=-E A 32*____. 1. 126.

023

20322=--

=--=-?=+=+=-A E A E A E E A E A E A , 则A 的特征值分别为2

3

,2,1--,且3)2

3()2(1=-?-?=A . 于是,E A 32*-的特征值分别为7,6,3--,

126)7()6(332*=-?-?=-E A .

4.设矩阵

??

??? ??---=5334111y x A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征值,试求可逆矩阵P ,使得AP P 1

-为对角矩阵.

4.????? ??--=310201111P ,????

? ??=-6000200021AP P .

由已知,A 的属于2=λ的线性无关的特征向量应有2个,即 特征方程的系数矩阵的秩123)2(=-=-A E R .

???

?

? ??----→????? ??-----=-000201113332111

2y x x y x A E ,

则2,

2-==y x ,???

?

?

??----=533242

111A . 6,20)6()2(03212===?=--?=-λλλλλλA E .

(1)221==λλ时,00000001110)(=???

??

??-?=-x x A E λ,

得特征向量:????? ??-=0111ξ,???

?

?

??=1012ξ.

(2)63=λ时,0000321

031010)(=????

??

??

??

-?=-x x A E λ, 得特征向量:???

?

?

??-=3213ξ.

由(1)(2)得???

? ?--==310201),,(321ξξξP ,

????

? ??=????? ?

?=-6000200020

000

00

32

1

1

λλλAP P .

第四章 矩阵的特征值与特征向量 补充练习(10) 1.下列各组矩阵相似的是( ).

A.????? ??333222111和????? ??000020001

B.????? ??311021001和?????

??300120111 C.????? ??211121112和????? ??200020002 D.????? ??211121112和????

? ??200010001 1. B

A 的秩不等,则不相似;C 的行列式值不等,则不相似;D 的迹不等,则不相似.

3.设

??

???

??---=221010241A ,求2013A .

3.A .

0,)1()1()2(2-=?+=-λλλλA E ,

1-=λ时,由???

? ?=???? ?=?=--10,010)(21ξξx A E ,

0=λ时,由??

?

?

? ??=?=-1020)0(3ξx A E ,

令),(32

1ξξξ=P ,则???

?

? ??--==-0111B AP P , 120132013

2013

1

2013201310)1()1(---????

? ?

?--==?=P P P PB A PBP A A PBP P P ==????

?

??--=--11

011. 第五章 Euclid 空间与二次型 补充练习(11)

1.已知向量组(Ⅰ):????? ??=1111α,????? ??=1102α,???

?

?

??=1002α.

(1)求2α,3α; (2)求>=<32,ααθ;

(3)将向量组(Ⅰ)标准正交化.

1.(1)2,1;(2)4π

;(3)????? ??11131,????? ??-11261,?

???

?

??-11021.

(1)2110),(222222=++==ααα,

1100),(222333=++==ααα;

(2)4

21arccos ),(arccos

,323232πααααααθ==?>==<;

(3)①正交化 令11αβ=,

????

?

??-=?

???

? ??-????? ??=-

=1123111132110),(),(1111222ββββααβ,

????

?

??-=????? ??-?-????? ??-????? ??=--

=1102111231963111131100)

,()

,(),(),(2

22231111333ββββαββββααβ

②标准化(单位化)

?

???

? ??==11131111ββε,

?

??

?? ??-=????? ??-?==112611123163

11222ββε, ???

??

??-=????? ??-?==110211102122

11333ββε. 321,,εεε即为标准正交组.

3.设A 是n 阶实sh í对du ì称ch èn 矩j ǔ阵zh èn

,且0342

=+-E A A .

求证:E A 2-是正交矩阵.zh èn ɡji āoj ǔzh èn

3. 0342=+-E A A E E A E A =--?)2)(2(E E A E A T T =--?)2)(2(

E E A E A T =--?)2()2(E A 2-?是正交矩阵.

第五章 Euclid 空间与二次型x ín ɡ

补充练习(12) 1.二次型X X x x f T ???

?

??=1312),(21对应的矩阵是_____. 1.???

? ??1222 ???

? ?????? ??=++=???

? ?????? ??=21212

221212*********),(421312),(),(x x x x x x x x x x x x x x f 2. 二次型2

3

322

231212

1321246),,(ax x x x x x x x x x x x f +++++=,若

2)(=f R ,则=a ( ). A. 0 B. 2 C. 87

D. 1

2.(C )

????? ??----→????? ??=45058023

112113231a a A , 8

7

45582)()(=?--=--?

==a a A R f R .

3.用y ?n ɡ配p èi 方f ān ɡ法f ǎ化hu à下xi à列li è二èr

次c ì型x ín ɡ为w éi 标bi āo 准zh ǔn 形x ín ɡ

,并b ìn ɡ写xi ě出ch ū所su ǒ用y ?n ɡ非f ēi 线xi àn 性x ìn ɡ替t ì换hu àn 的de

矩j ǔ阵zh èn

. 3231213212),,(x x x x x x x x x f ++=

3. 2322212z z z f --=,???

??

??---=100111211C .

令Y C Y X y x y y x y y x 133212211000011011=?

???

? ??-=????

??=-=+=, 322

2312132132122213)(2)(y y y y y y y y y y y y y y f --+=-+++-=

2

32322312)2

1()23(y y y y y -+-+

=,

令Z C Z Y z y z z y z z y y z y y z y y z 23

3322311332122111002110230121232123=??

?????? ??--=??????

????=-=-=??????????=+=+=,

2

3

2

22

12z z z f --=,

CZ Z Z C C X =???

?

?

??---==100111211)(1,????? ??---=100111211C .

第五章 Euclid 空间与二次型 补充练习(13)

1.A 是3阶实对称矩阵,022=+A A ,若E kA +是正定矩阵,则k 的取值范围是_____. 1.2

1

2,0020222-=?=+?=+λλλA A ,

则k kA 2,0-→;k E kA 21,1-→+, 又A 正定2

1

021-?k k .

2. 下列矩阵中是正定矩阵的是( ).

A.????? ??-301052121

B.???

?

? ??624293431 C. ????? ??1073752321 D.????

?

??----210152022 2.选(D )

(A )中,0333<-=a ;(B )中,09

33

12==P ;

(C )中,0=A .都不是正定的.

3. 设A 是n 阶实对称矩阵,若E A -是正定矩阵,求证:A ,1--A E 是正定矩阵.

3.(1)设n A λλλ,,,21 →, 则1,,1,121---→-n E A λλλ ,

E A -是正定矩阵101>?>-?i i λλ,n i ~1=

所以,A 是正定的.

(2)1111)()(-----?-=-=-A E A E A E A E T T 是实对称的.

01

11>-

→--i

A E λ,

(因为1>i λ),n i ~1=. 所以,1--A E 是正定的.

4.矩阵????

??=2001A ,???

? ??=4001B 的关系是( ). A.等价、合同、相似 B. 等价、合同、不相似 C.等价、相似、不合同 D. 合同、相似、不等价 4.选(B )

B A B R A R ,)()(?=等价;

2,1=→λA ,4,1=→λB ,特征值不同,B A ,不相似;

22212x x A +→,?+→2

2214x x B B A ,有相同的正负惯性指数?B A ,合

同.