薄膜反射率和透射率的一种求解方法_特征矩阵法
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 —一 .幂法 1. 幕法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幕法计算其主特征值 (按模最大) 及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： ⑴I 1 I I 2|n |- 0, i 为A 的特征值 (2)存在n 个线性无关的特征向量，设为 X i ,X 2，…，X n 1.1计算过程： n 对任意向量x (0)，有x (0)八：-M —不全为0,则有 i 4 X (k 岀)=Ax (k)= = A k 岀乂。) n n A k 1 aq a 扌1 5 i =1 i =1 ■k 1 2 可见，当 1 — 1 越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有 ? "1 2算法实现 ⑶.计算x Ay,… max(x); ⑷若| ?一十：；,输出-,y,否则,转(5) (5)若N ,置k 「k 1^ -,转3,否则输出失败信息，停机. 3 matlab 程序代码 (冲1 %叫 x (k 1) [x (k) k 二 u x (k) > (k+1) 1，对应的特征向量即是 x (1).输入矩阵A ，初始向量X ，误差限 最大迭代次数N (k) 0; y (k) max(abs(x (k ))
k=1; z=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y; % z相当于■ %规范化初始向量%迭代格式 b=max(x); % b相当于： if abs(z-b)
用QR算法求矩阵的特征值
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1
幂法求矩阵主特征值
!程序说明：幂法求矩阵主特征值 !日期：2010年11月30日 PROGRAM Matrix_EigenValue PARAMETER(N=3) REAL ARR(N,N) CALL INPUT(ARR,N) CALL MATEV(ARR,N) END PROGRAM SUBROUTINE INPUT(ARR,N) REAL ARR(N,N) OPEN(1,FILE='MAT.TXT') READ(1,*)((ARR(I,J),J=1,N),I=1,N) END SUBROUTINE SUBROUTINE MATEV(ARR,N) PARAMETER(EPS=1E-7) REAL :: ARR(N,N),X(N),X1(N),MAX=0 INTEGER :: K=0,P=0 X=RESHAPE((/1,1,1/),(/3/)) WRITE(1,*) ' 迭代次数 U（规范化向量） & & MAX(V)（主特征值）' DO WHILE(P/=N) WRITE(1,'(I6,A, ENDDO K=K+1 ENDDO END SUBROUTINE 输出结果： 1 1 0.5 1 1 0.25 0.5 0.25 2 迭代次数 U（规范化向量） MAX(V)（主特征值） 0 ( 1.000000 1.000000 1.000000 ) 0.000000 1 ( 0.909091 0.81818 2 1.000000 ) 2.750000 2 ( 0.837607 0.743590 1.000000 ) 2.659091 3 ( 0.799016 0.703035 1.000000 ) 2.604701 4 ( 0.77741 5 0.680338 1.000000 ) 2.575267 5 ( 0.765108 0.66740 6 1.000000 ) 2.558792 6 ( 0.758025 0.659963 1.000000 ) 2.549406 7 ( 0.753925 0.655655 1.000000 ) 2.544003 8 ( 0.751544 0.653153 1.000000 ) 2.540876 9 ( 0.750158 0.651697 1.000000 ) 2.539060 10 ( 0.749351 0.650848 1.000000 ) 2.538003 11 ( 0.748880 0.650354 1.000000 ) 2.537387 12 ( 0.748606 0.650065 1.000000 ) 2.537028 13 ( 0.748445 0.649897 1.000000 ) 2.536819 14 ( 0.748352 0.649799 1.000000 ) 2.536697 15 ( 0.748298 0.649741 1.000000 ) 2.536626 16 ( 0.748266 0.649708 1.000000 ) 2.536584 17 ( 0.748247 0.649688 1.000000 ) 2.536560 18 ( 0.748236 0.649677 1.000000 ) 2.536546 19 ( 0.748230 0.649670 1.000000 ) 2.536537 20 ( 0.748226 0.649667 1.000000 ) 2.536533 21 ( 0.748224 0.649664 1.000000 ) 2.536530 22 ( 0.748223 0.649663 1.000000 ) 2.536528 23 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 24 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 25 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536526 26 ( 0.748221 0.649661 1.000000 ) 2.536526 关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。 本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中 数值分析 幂法求矩阵A按模最大的特征值及其 特征向量 幂法的主要思想 设 n n ij R a A ?∈=)( ,其特征值为i λ ,对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i =，且 x 1，······，x n 线性无关。求矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v 0 ∈R n 且v 0≠0， 由矩阵A 的乘幂构造一向量序列： 称{ v k }为迭代向量， A 特征值中 λ1为强占优，即▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏, {x 1，x 2，······，x n }线性无关，即{x 1，x 2，······，x n }为R n 中的一 个基，于是对任意的初始向量v 0 ∈R n 且 v 0≠0有展开式。 (v 0 用{x i } 的线性组合表示) （且设01≠α） 则 当k =2,3,… 时，v k = A v k-1 = A k v ? ?? 1Av v =0 212v A Av v ==01 1 v A Av v k k k ++==) ,,1,0(n k =∑==n i i i x v 1 α)(221101n n x x x A v A v ααα+++==n n x A x A x A ααα+++=2211n n n x x x λαλαλα+++=222111) (111 +≡x k αλk ε 其中 由假设▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏，得 ，从而 即,0lim =∞→k k ε且收敛速度由比值||12λλ=r 确定。 所以有 说明，当k 充分大时，有1 11 x v k k αλ≈，或 k k v 1λ 越来越接近特征 向量 规范化幂法的算法 ①输入矩阵 A 、初始向量v (0)，误差 eps ，实用中一般取 v (0)=（1，1，···，1）T ； ②k ←1； ③计算 v (k) ←Au (k-1)； ④m k ←max{ v (k) }，m k-1 ←{ v (k-1) }； ⑤u (k) ←v (k)/ m k ； ⑥如果▕ m k - m k-1▕＜eps ，则显示特征值λ1←和对应的特征 向量x (1)，终止； ⑦k=k+1，转③。 n k n n k k x x )()(1 2122λλαλλαε++=),,2(1||1 n i i =<λλ ),,,2(0)(lim 1n i k i k ==∞→λλ111 lim x v k k k αλ=∞ →。 11x α 本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者：高英 学号： 2010012491 所属学院：金融与数学书院 专业班级：应数1002班 指导教师：赵建中职称：院长 完成时间： 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名：日期：年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月 目录 摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21) 数学建模作业 计算机学院信计1102班姜圣涛 （1）幂法求矩阵最大特征值及特征向量： 程序为： #include while(1){ max=X[0]; for(i=0;i 1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置 幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代 POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration 幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21 ≥≥≥> (2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程： i n i i i u x x αα,1 ) 0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 1 11111221 12111 1 1 11 1 011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k n i i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈? ? ????+++======∑∑ 可见，当||1 2 λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)11 11)11111λαλαλ=??????==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。 2 算法实现 . ,, 3,,1 , ).5() 5(,,,,||).4();max(,).3() (max(;0,1).2(,).1()() () (停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←= ←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k 3 matlab 程序代码 一、计算 1.求齐次线性方程组 x x x x x x x x x x x x --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 42420 33320 75740 的一个基础解系 2.求齐次线性方程组 --+= ? ? --+= ? ?--+= ? 1234 1234 1234 44420 34320 78740 x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系 3.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 32420 3390 2570 x x x x x x x x x x x x +-+= ? ? --+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 4.求4元齐次线性方程组 1245 1245 1245 42430 4330 42470 x x x x x x x x x x x x ---= ? ? +-+= ? ?+--= ? 的一个基础解系 5.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 220 320 220 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+++=? 6.解齐次线性方程组 12345 1345 12345 20 30 20 x x x x x x x x x x x x x x ++-+=? ? ++-=? ?--+-+=? 7.已知实对称矩阵 141 411 114 A ?? ? = ? ? ?? ，计算A的全部特征值，并求最大特征值相应 的一个特征向量。 8.已知实对称 453 543 332 A - ?? ? =- ? ? ?? ，计算A的全部特征值，并求最大特征值相应的 一个特征向量。 9.已知实对称 331 151 117 ?? ? = ? ? ?? A，计算A的特征值，并求最大特征值相应的全体特 征向量。 数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再经过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后经过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and 特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量 1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值 #include 幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量 幂法 设A n 有n 个线性相关的特征向量v 1，v 2，…，v n ，对应的特征值λ1，λ2，…，λn ，满足 |λ1| > |λ2| ≥ …≥ |λn | (3.2.1) 1. 基本思想 因为{v 1，v 2，…，v n }为C n 的一组基，所以任给x (0) ≠ 0，∑==n i i i v a x 1)0( —— 线性表示 所以有 ])( [)(2111111 1)0(∑∑∑∑====+====n i i i k i k n i k k i i n i i k i n i i i k k v a v a v a v A a v a A x A λλλλ 若a 1 ≠ 0，则因11 <λλi 知，当k 充分大时 A (k )x (0) ≈ λ1k a 1v 1 = cv 1 属λ1的特征向量 另一方面，记max(x ) = x i ，其中|x i | = ||x ||∞，则当k 充分大时， 111111*********)0(1)0()max()max()max()max()max()max(λλλλλ==≈---v a v a v a v a x A x A k k k k k k 若a 1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v 1方向上的分量不为0，迭代下去可求得λ1及对应特征向量的近似值。 2. 规范化 在实际计算中，若|λ1| > 1则|λ1k a 1| →∞，若|λ1| < 1则| λ1k a 1| → 0都将停机。 须采用“规范化”的方法 ???? ?==+)()1()() ()()max(k k k k k Ay x x x y ， k = 0，1，2，… 定理3.2-1 任给初始向量0)0(≠x 有，?????==∞→∞ →特征值 特征向量1)(11)()max(lim )max(lim λk k k k x v v y 证明： 第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得 求矩阵特征向量的三种方法 文爱民 （湘南学院数学系2000级1班中国郴州 423000） 摘要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法 得当，将大大提高计算速度. 关键词：行初等变换列初等变换矩阵特征向量 Three methods of requesting matrix eigenvector Aimin-W en （Class 1,Grade 2000,Department of Mathematics XiangNan University ,Chenzhou 423000 ,China） Abstract: D ifferent from the thought of only considering to use row elementary Counterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation. Key words:row elementary counterchange;tier elementary counterchange; matrix;eigenvector. §1、定义 定义1 所谓数域P上矩阵的初等变换是指下列三种变换：1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）. 2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列） 求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410-关于特征值与特征向量的求解方法与技巧
幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量
一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
数学建模 用幂法 和法 根法求特征值特征向量
雅克比过关法求特征值和特征向量
幂法求矩阵最大特征值
幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量
解方程、求表示法、求特征向量
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序
特征值和特征向量的性质与求法
乘幂法求特征值及特征向量
幂法是求方阵最大特征值及对应特征向量
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
用列初等变换求矩阵的特征向量
求矩阵特征值算法及程序
- 幂法求矩阵最大特征值
- 矩阵及其特征值计算
- 第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
- 计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
- 特征值与特征向量的求法
- 矩阵的特征值和特征向量 习题
- 第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法1
- 矩阵特征值问题的数值解法
- 特征值与特征向量的概念、性质及其求法
- 一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
- 矩阵特征值与特征向量的计算方法
- 计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
- 雅克比法求矩阵特征值特征向量
- 第七章 求矩阵特征值的数值方法和习题
- 特征值求法
- 求矩阵特征值算法及程序简介
- 矩阵的特征值与特征向量的求法
- 第章矩阵特征值的计算
- 求矩阵的最大特征值的幂法
- 第7章 求矩阵特征值的数值方法