数学分析-2003年西安电子科技大学考研真题——陌凡vov
西安电子科技大学2003
一、（60分）填空题。
1．数列1
11+1,2,n n n +????
??=?? ???????
的上确界
，下确界。
2．曲线()y f x =与曲线()1y x αα=≥在原点相切，
则
n =。
3．设()f x 有一个原函数
sin x
x ，则()2xf x dx ππ'=?。
4．级数1112sin 2n
n x n x ∞
=+????
???-?
???∑的收敛区间为
。
5．设()()1z x f x
y g x y y
=++，
其中f ，g 具有二阶连续导数，则
2z
x y
?=??。
6．曲线x y e =与直线10x y --=之间的最短距离为。
7．用关于x 的二次多项式2ax bx c ++在原点附近逼近函数
1
1sin x
+，其差为
2x 的高阶无限小，则a =
，b =，c =。
8．{}
22
max ,x y D
e
dxdy =
??，其中(){},001,01D x y y =≤≤≤≤。
9．()()2ln 1f x x x =+在0x =处得n 阶导数()()0n
f =
，其中3n ≥。
10．设L 为椭圆
22
143
x y +=，其周长记为a ，则()2
2234L
xy x
y ds ++=
? 。
二、（10分）设()212
x
t f x e
dt -=?，x -∞<<+∞，判断()f x 的奇偶性、单调
性、凹凸性，求曲线()y f x =的拐点和水平渐近线，并画出图像。
三、（10分）计算曲面积分()2S
x z dydz zdxdy ++??，其中S 为有向曲面
22z x y =+()01z ≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
四、（10分）设()f x 在区间I 上可导且导函数有界，试讨论()f x 在区间I 上
的有界性和一致连续性。
五、（10分）设{}n a 为正值递减数列，1n n a ∞
=∑发散，求2421321
+lim
n
n n a a a a a a →∞-+++ 。
六、（10分）设()f x 在[],a b 上二阶连续可导，证明存在(),c a b ∈使得
()()()()31224
b
a
a b f x dx b a f f c b a +??''
=-+- ?
???
。 七、（10分）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，()0f a =，()1f x '≥，
证明()()2
3
b
b a a f x dx f x dx ??≥????????
??，并说明在什么情况下等号成立。 八、（10分）给定函数序列()()ln n x
x x f x n
α
=，2,3,n = ，问当α在什么范围时，(){}n f x 在[)0,+∞上一致收敛。
九、（10分）设(),x f x y 在点()00,x y 处存在，(),y f x y 在点()00,x y 处连续，
证明(),f x y 在点()00,x y 处可微。
十、（10分）设()2sin sin sin n n f x x x x =+++ ，求证：
(1)对任意自然数n ，方程()1n f x =在,62ππ??
???
内有且仅有一根。
(2)设,62n x ππ??
∈ ???是()1n f x =的根，则lim 6n n x π→∞=。