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重庆中考数学题专题

重庆中考数学题专题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

重庆中考几何

一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：过点H作HI⊥EG于I，

∵G为CH的中点，

∴HG=GC，

∵EF⊥DC，

HI⊥EF，

∴∠HIG=∠GFC=90°，

∠FGC=∠HGI，

∴△GIH≌△GFC，

∵△EBH≌△EIH（AAS），

∴FC=HI=BH=1，

∴AD=4-1=3．

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，

∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，

∴△DGF≌△EAF（AAS），

∴DF=EF，即F为DE中点．

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．

（1）求证：CF=CG；

（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．

解答：（1）证明：连接AC，

∵DC∥AB，AB=BC，

∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，

∴∠1=∠2；

∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ADC≌△AEC，

∴CD=CE；

∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，

∴△FDC≌△GEC，

∴CF=CG．

（2）解：由（1）知，CE=CD=2，

∴BE=4CE=8，

∴AB=BC=CE+BE=10，

∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，

∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）

在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AECE=2

ACEH ，

∴EH=

AC CE AE ? =10

6? =5103

∴DE=2EH=2×

5103=5

6 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点

P ，连接OP ，OQ ；求证：

（1）△BCQ ≌△CDP ；（2）OP=OQ ．

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3，

在△BCQ 和△CDP 中，

∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ．（2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ，而点O 是AC 中点， ∴BO=

21AC=CO ，∠4=2

∠ABC=45°=∠PCO ，在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．

5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF. ⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.

解：（1）证明：连结CE ，在△BAE 与△FCB 中，

∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；

（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，

∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，

∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ，在Rt △ABM 中，AM=ABsin60°=6×

=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=

1533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F

（1）求证：BF=AD+CF ；

（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．

（1）证明：如图（1），延长AD 交FE 的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF ∵AB ∥FN ， AN ∥BF ∴四边形ABFN 是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC

（2）解：∵AB ∥EF ，∴∠ABN=∠EFC ，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF ，∴BF=EF ， ∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF ，又∵ BC+AD=7+1∴ BF+CF+AD=8 而由（1）知CF+AD=BF ∴ BF+BF=8 ∴2BF=8，

∴BF=4，∴BF=EF=4

7、已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．

（1）证明：连接BF ∵ABCD 为矩形

∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC ∴△ABE 为直角三角形 ∵F 是AE 的中点

∴AF=BF=BE ∴∠FAB=∠FBA ∴∠DAF=∠CBF

∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF , ∴△DAF ≌△CBF ∴∠ADF=∠BCF ∴∠FDC=∠FCD ∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；

（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC

∴BC=BE=CE 2

∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=

21×(AD+CE)×CD=2

×(4+8)×34=324 8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC=CD ；

（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；

（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．

证明：（1）延长DE 交BC 于F ， ∵AD ∥BC ，AB ∥DF ， ∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ．在Rt △DCF 中，

∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴

=2，即CD=2CF ， ∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+2

CD=CD ．即BC=CD ．

（2）∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE=∠DCE ，由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ， ∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，

由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，

∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ．（3）连接BD ，由（2）知BE=DE ，

∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ．

又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=

21CD ，∴DP=2

CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作

EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长；（2）求证：CF AE =.

10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于（1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．

11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形；（2）求EF 的长度．解答：（1）证明：连接BE ，

∵梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD ，可证△ABC ≌△DCB ，∴∠GCB=∠GBC ，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD 为等边三角形，

24题图

E D

（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，

∴EF=AB=5cm．

12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，

∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，

证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，

∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，

∵DC=，

∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：

∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；

当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；

当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；

当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．

故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）

13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且DE ⊥AD 于D ，∠EBC=∠CDE ,∠ECB=45°．

⑴求证：AB=BE ；

⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE=2，tan ∠CDE =3

，求BF 的长．

13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．

∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°

又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°，而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG

在△BEG 和△DCG 中， ∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．

∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90°

∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴

CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+= ∴CD=BE=10 法一：∵1122

BCD

BC DG CD BF =

=，11

431022BF ??=?∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴

BE BC

BG BF

=，∴104BF = ∴610BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线

EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G 求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =

证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=

(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥ 45=∠=∠∴BFE AFE A

D E

由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC = 二、有关“截长补短”题型

1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ?为等边三角形，

BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。（1）若ABCD 的面积为93，求AG 的长；（2）求证：AE BE GE =+。

2.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE (1)若正方形ABCD 的边长为4,BE=3,求EF 的长？ (2)求证：AE=EC+CD ． 2：解：

（1）5212

=+=+=CF CE EF …………4分（2）证明：过F 作FH ⊥AE 于H

∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ， ∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，在△AHF 与△ADF 中，

∵AF 为公共边，∠DAF=∠EAF ，FH=FD ∴△AHF ≌△ADF （HL ）．

∴AH=AD ，HF=DF ．又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边， ∴△FHE ≌△FCE ． ∴HE=CE ．

∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，

3．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，

，求梯形ABCD 的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，

∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．

分析：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函数求出BC，在

Rt△CDM中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；

（2）过G作GN⊥AD，则DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN，BF=HN，经过代换即可得到结论．

解答：解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，

在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，

∴AC=10，

∴BC=8，

在Rt△CDM中，∠D=45°，

∴DM=CM=AB=6，

∴AD=6+8=14，

∴梯形ABCD的面积=（8+14）6=66（cm2）；

（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，

∵∠D=45°，

∴△DNG为等腰直角三角形，

∴DN=GN，

又∵AD∥BC，

∴∠BFH=∠FHN，

而∠EFH=∠FHG，

∴∠BFE=∠GHN，

∵EF=GH，

∴Rt△BEF≌Rt△NGH，

∴BE=GN，BF=HN，

∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．

4、如上图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：BD=EF+CE．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

专题：计算题。

分析：（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE为直角三角形，又CE=1，继而求出BE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；

（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，

∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．

解答：（1）解：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴，

∵DC∥AB，AD=BC，

∴∠DAB=∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，

∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，

∴…（5分）

（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，

∴四边形FDME是矩形，

∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，

45DCE ECG DCE ECG DEC

EGC ED EG ED BE FC

∠=∴∠=∴∠=∠∴???∴=∴=+∴△BME ≌△ECB ， ∴BM=CE ，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

5．已知，如图，//,90,AD BC ABC AB BC ∠==，点E 是AB 上的点，45ECD ∠=，

连接ED ，过D 作DF BC ⊥于F .

(1)若75,3BEC FC ∠==，求梯形ABCD 的周长.

(2)求证：ED BE FC =+； 5．解：①75,90BEC ABC ∠=∠=

在Rt DFC ?中：60,3DCF FC ∠== 由题得，四边形ABFD 是矩形延长EB 至G ，使BG =CF ，连接CG

6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上一点，连结CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ．点G 是线段CE 上一点，且CO =CG ．

（1）若OF =4，求FG 的长；

（2）求证：BF =OG +CF ． 6．（1）解：∵CF 平分∠OCE ，

∴∠OCF =∠ECF ．………………………………………………………（1

分）

又∵OC =CG ，CF =CF ，

∴△OCF ≌△GCF ．…………………………………………………（3

分）

∴FG =OF =4，

即FG 的长为4．……………………………（4分）

（2）证明：在BF 上截取BH =CF ，连结OH ．…………………………………（5分）

A D O E

F G

M 24题图

∵正方形ABCD已知，

∴AC⊥BD，∠DBC=45°，

∴∠BOC=90°，

∴∠OCB=180°—∠BOC—∠DBC=45°

∴∠OCB=∠DBC．

∴OB=OC．…………………………………………（6分）

∵BF⊥CF，

∴∠BFC=90°．

∵∠OBH=180°—∠BOC—∠OMB=90°—∠OMB，

∠OCF=180°—∠BFC—∠FMC=90°—∠FMC，

且∠OMB=∠FMC，

∴∠OBH=∠OCF．………………（7分）

∴△OBH≌△OCF．

∴OH=OF，∠BOH=∠COF．………………（8分）

∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，

∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．

∴∠OHF=∠OFH=

1（180°—∠HOF）=45°．

∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．

∵△OCF≌△GCF，

∴∠GFC=∠OFC=135°，

∴∠OFG=360°—∠GFC—∠OFC=90°．

∴∠FGO=∠FOG=

1（180°—∠OFG）=45°．

∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．

∴OG∥FH，OH∥FG，

∴四边形OHFG是平行四边形．

∴OG=FH．……………………（9分）D

24题答

图

∵BF =FH +BH ，

∴BF =OG +CF ．

7、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作

BE DP ⊥交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 。

（1）若2AE =，求EF 的长；（2）求证：PF EP EB =+。

8.如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G,B H ⊥DC 于H ，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且

E F

∥DC 。

(1)若AD=3，CG=2，求CD; (2)若CF=AD+BF ，求证：EF=

CD. 8. (1)解：连接BD ………… 1分

∵A D ∥BC, ∠ABC=90°, DG ⊥BC ∴四边形ABGD 是矩形

∴AB=DG BG=AD=3∴BC=3+2=5∵B H ⊥DC ，CH=DH ，∴BD=BC=5 在Rt △ABD 中，AB=43522=-∴DG=4 在Rt △CDG 中,CD=522422=+ ………… 5分 (2)证明：延长FE 、DA 相交于M ………… 6分

∵ E F ∥DC, AD ∥CF ∴四边形CDMF 是平行四边形∴CF=MD ∵ CF=AD+BF, MD=AD+AM ∴ AM=BF ∵ AM ∥BF ∴ ∠M=∠BFE 又∵ ∠AEM=∠BEF

∴ △AEM ≌△BEF ………… 8分∴ ME=EF=

1MF

∵ 四边形CDMF 是平行四边形 ∴ MF=CD ∴ EF=

1CD 9、正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？变形a 解：（简单思路）

解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下：在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。由四边形ABCD 是正方形得

∠ADE=∠ABG=90o ，AD=AB 又DE=BG ∴?ADE ??ABG （SAS ）

∴∠EAD=∠GAB ， AE=AG ，由四边形ABCD 是正

方形得

∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB=∠DAG+∠EAD=∠GAE ∴∠GAF=∠GAE-∠EAF=90o -45o =45o

∠GAF=∠EAF=45o

又AG=AE AF=AF

∴?EAF ??GAF （SAS ） ∴ EF=GF=BF-BG=BF-DE

10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，BG ⊥CD 于点G ．

（1）若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证：PE+PF=BG ．（2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG 的长．

解：（1）作PM ⊥BG 于M ．∵BG ⊥CD ，PF ⊥CD ，PM ⊥BG ，∴四边形PMGF 为矩形，PF=MG ．

∵ABCD 是等腰梯形，∴∠ABC=∠C ．∵PM ⊥BG ，CD ⊥BG ，∴PM ∥CD ．∴∠MPB=∠C=∠EBP ．

又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB ，∴△BEP ≌△PMB ，∴PE=BM ．∴PE+PF=BM+MG=BG ；

D C A B

（2）过点D 作DN ∥AB 交BC 于点N ．则ABND 是平行四边形，DN=AB=DC=4．∵BC=6，AD=4，

∴NC=4．∴△DNC 是等边三角形，∠C=60°．∴BG=BCsin60°=6×32=33． 11、正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， EAF=45o 。

请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ 12、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，

AB=BC=DC ，点E 、F 分别在AD 、AB 上，且∠FCE=1/2∠BCD ．（1）求证：BF=EF-ED ；

（2）连接AC ，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF 的度数．

（1）证明：∵FC=F ′C ，EC=EC ，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF ，∴△FCE ≌△F ′CE ，

∴EF ′=EF=DF ′+ED ，∴BF=EF-ED ；

（2）解：∵AB=BC ，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，

而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 13.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ．（1）求证：BE=BC ；

（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证：

；

（3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为（1）证明：∵BG ⊥AP ，AG=GE ，∴BG 垂直平分线段AE ，∴AB=BE ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∴BE=BC ；

O E

（2）证明：∵AB=BE ，∴∠BAG=∠BEG ，∵BG ⊥AP ，∠ABC=90°，∴∠BAG=∠PBG=∠BEG ，∵BN 为∠CBE 的平分线，∴∠EBN=∠CBN ，∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG ，即∠BNG=∠NGB=45°，∴△BNG 是等腰直角三角形，BN=

GN ，

连接CN 、AC ，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG ）=90°，又∠ADC=90°，∴A 、D 、C 、N 四点共圆，∴∠CND=∠CAD=45°，∴∠AND=45°，过D 作DM ⊥AE 于点M ，则△DNM 为等腰直角三角形，∴DN=

DM ，∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠

BAG=90°，∴∠ADM=∠BAG ，在△ABG 和△DAM 中，

，∴△ABG ≌△DAM （AAS ），∴AG=DM ，

∴BN+DN=

GN+

AG=

（GN+AG ）=

AN ；（3）根据勾股定理，AP=

，∴BG=

，

∵BP=PC ，∠BGP=∠CNP=90°，∴△BPG ≌△CNP （AAS ），∴CN=BG ，∴CE= CN=

14、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC 。求证：AC/2=AD-EO （2）解：（简单思路）

过E 作EG ⊥AD 于G ∵四边形ABCD 是正方

形

∠ADC=90o ，BD 平分∠ADC ，AC ⊥BD ∴∠ADB=∠ADC/2=45o

∵AE 平分∠DAC ，EO ⊥AC ，EG ⊥AD ∴∠EAO=∠EAG ，

重庆中考数学24题(专题练习答案详解)

2013年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数． 8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

中考数学压轴题100题精选(精选)

我选的中考数学压轴题 100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． x y M C D P Q O A B

【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着PQ 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QBBCCP 于点E ．点PQ 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点PQ 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． A C B P Q E D 图16

2020年重庆市中考数学第18题专题突破

—————————————————————————————— 2020年重庆市中考数学第18题专题突破 1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060 x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()()1002400b a x b a -=- 所以：24x = 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ， = ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重 40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．

2015重庆中考数学16题求阴影部分面积专题

一、填空题 1. (2010 河南省) 如图，矩形ABCD 中，1 2AB AD ==，．以AD 的长为半径的A ⊙交BC 边于点E ，则图中阴影部分的面积为． 2. (2010 广西来宾市) 如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是______________．（不要求计算近似值） 3. (2010 甘肃省天水市) 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=o ，8cm 6cm AB BC ==，，分别以A ，C 为圆心，以 2 AC 的长为半径作圆，将Rt ABC △截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 2cm ． 4. (2010 浙江省台州市) 如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是，阴影部分面积为(结果保留π) ． 5. (2011 辽宁省大连市) 如图，等腰直角三角形ABC 的直角边AB 的长为6cm ，将ABC △绕点A 逆时针旋转15?后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积等________2 cm ． 6. (2011 福建省龙岩市) 如图，依次以三角形、四边形、…、n 边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分的面积之和记为S 3，四边形与各圆重叠部分的面积之和记为S 4，…，n 边形与各圆重叠部分的面积之和记为S n ，则S 90的值为．（结果保留π） …… 7. (2011 内蒙古鄂尔多斯市) 如图，在O ⊙中，OC AB ⊥，垂足为D ，且43cm AB =， 30OBD ∠=°，则由弦AC 、AB 与?BC 所围成的阴影部分的面积是_____________cm 2（结果保留π）． B A C E A B D A C D E

重庆备战中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】（1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，

重庆中考数学第18题专题1几何部分

重庆中考数学第18题专题1（几何部分） 1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是. 2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________. 3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________． 4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.

5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________. 6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。 7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是. 8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD 上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为. 9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知 AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．

重庆中考数学压轴题训练

一．压轴题专题训练 1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3 图1 图2

2.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ， c b 于是csinB=bsinC ，即 b sin B c sin C c a a b ．同理有， sin C sin A sin A sin B ． a b c ∴??????（*） sin A sin B sin C 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：用关系式求出第一步，由条件∠B；用关系式求出第二步，由条件∠C；用关系式求出第三步，由条件c． o （2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4 o 海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西o 70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）． 3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 2 3 34 3 ，min {－1，2，3} ＝－1； M{ －1，2，a} ＝1 2 a a 3 3 1 ，m{ －1，2，a} ＝ a(a 1(a 1), 1), 解决下列问题： (1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2，则x 的取值范围是________； (2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________； ②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________” (填a，b，c 大小关系)； ③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2， x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________； 2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1) 象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x} 最大值为________．

2017年重庆中考数学24题特殊数字类——阅读理解专题

重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为；（2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.

重庆市2019中考数学压轴题及解析答案(华师版)

如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 1. （2018?绍兴）小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ=∠B ，求证：AP=AQ ．（1）小敏进行探索，若将点P ，Q 的位置特殊化；把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF ，使AE ⊥BC ，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，如图2．此时她证明了AE=AF ，请你证明．（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．请你继续完成原题的证明．（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．【考点】．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF ⊥CD ，证明△AEB ≌△AFD ，根据全等三角形的性质证明；（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ ，证明△AEP ≌△AFQ ，根据全等三角形的性质证明；（3）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D ，AB=AD ， ∵∠EAF=∠B ， ∴∠EAF+∠C=180°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵AE ⊥BC ， ∴AF ⊥CD ，在△AEB 和△AFD 中， , ∴△AEB ≌△AFD ， ∴AE=AF ；（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B ，AE=AF ， ∴∠EAP=∠FAQ ，在△AEP 和△AFQ 中，＝＝ , ∴△AEP ≌△AFQ ， ∴AP=AQ ；（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ 的面积，解：连接AC 、BD 交于O ， ∵∠ABC=60°，BA=BC ， ∴△ABC 为等边三角形， ∵AE ⊥BC ， ∴BE=EC ，同理，CF=FD ，

重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)

重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E

（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．

中考数学压轴题汇编之欧阳数创编

压时间：2021.03.02 创作：欧阳数轴题选讲中考倒数第三题 1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作 CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO 并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作 ⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．（1）求⊙O的半径；（2）若DE=，求四边形ACEB的周长． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径． 4、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点

（3）若⊙O 的半径为5，AF=，求tan∠ABF 的值． 5、已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O，∠ABC＝45°；点 D 是⌒B C 上一点，过点D 的切线D E 交AC 的延长线于点 E ，且DE∥BC；连结AD 、BD 、BE ，AD 的垂线A F 与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）记△DAF、△BAE 的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE． 6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点 F ． (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)当∠B AC ＝60o时，DE 与DF 有何数量关系？请说明理由； (3)当AB ＝5，BC ＝6时，求tan∠BAC 的值． 7、如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC⊥CD，垂足为C ，弦 DE∥OA，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线． (2)当AC ＝1，BE ＝2，求tan∠OAC 的值． 9、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 C ．延长AB 交C D 于点 E ．连接AC ，作∠DAC=∠ACD，作 AF⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC=8cm ，求GF A E B D O C A B D C E O F A O B G

2019重庆中考数学第23题专题

2019年重庆中考23题1.（南开融侨2019届九下第一次入学考试） 2.（巴蜀中学2019届九下开学考试）

3.（一中2019届九下开学考试） 4.（巴蜀2019届九上中期考试） 23．（10分）“上有江北嘴，下有陆家嘴”，如今江北嘴是重庆最火爆的地段．（1）国内某知名房地产开发企业成功拍得江北嘴一块土地，并于2014年6月推出了1号楼，出售套内95m2的三居房．临近2014年末，为了加快资金周转，该企业决定降价促销，套内每平方米的价格比开盘价降低10%．降价后，张老师在1号楼买了一套房子，至少付了769500元房款．问1号楼的开盘价至少是每平方米多少元？（2）2016年6月初，该企业加推出了2号楼，出售套内120m2的四居房共150套。开盘之前，预计套内单价为每平方米12000元。为了吸引顾客，开盘当天，开发商将套内单价降低m%，结果6月共售出(320) m 套房子．受利好政策影响，江北嘴片区房价大涨．2016年7月，开发商又将套内单价格在2016年6月的基础上调高了50%，并于10月底将剩余的房子全部售完。结果开发商在2号楼获得的总房款比预计增加了2m%.求m的值． 5.（西师附中2019届定时作业）

6.（八中2019届九上周考）

7.（重庆市实验外国语学校2018-2019学年度上期入学） 8.（重庆八中初2019级18--19学年度（上）第一次检测） 23.小飞文具店今年7月份购进一批笔记本，共2290本，每本进价为10元，该文具店决定从8月份开始进行销售，若每本售价为11元，则可全部售出；且每本售价每增长1元，销量就减少30本．（1）若该种笔记本在8月份的销售量不低于2200本，则8月份售价应不高于多少元？（2）由于生产商提高造纸工艺，该笔记本的进价提高了10%，文具店为了增加笔记本的销量，进行了销售调整，售价比中8月份在（1）的条件下的最高售价减少了1 % 7 m，结果9 月份的销量比8月份在（1）的条件下的最低销量增加了% m，9月份的销售利润达到6600元，求m的值． 9.（2019届育才一模模拟题） 23. 上星期我市某水果价格呈上升趋势，某超市第一次用1000元购进的这种水果很快卖

重庆中考数学专题复习

重庆中考数学专题复习一、不等式与分式方程： 1.（重庆巴蜀中学初2016届三下三诊）若a为整数，关于a的不等式组a有且只有3个非正整数解，且关于x的分式方 a有负整数解，则整数a的个数为（）个. 程 A．4 B．3 C．2 D 1 2.（重庆初2016届六校发展共同体适应性考试）如果关于a的不等式组a的解集为a，且关于a的分式方程a有非负 a的个数是（）整数解，所有符合条件的 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.（重庆八中初2016届九下强化训练三）已知关于a的分式方程a有增根，且关于a的不等式组a只有4个整数解，那a的取值范围是（）么 A. a B. a C. a D. a 5. （重庆八中初2016届九下强化训练二）已知a为实数，关于a、a的方程组组a的解的积小于零，且关于x的分式方 a有非负解，则下列a的值全都符合条件的是（）程 A．-2、-1、1 B．-1、1、2 C．-1、a、1 D．-1、0、2 6. （重庆市初2016级毕业暨高中招生适应性考试）如果关于a的不等式组的解集为，且关于a的分式方程有非负整 a的值是（）数解，则符合条件的 A．， B．， C．，， D．，，， 7.（重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次诊断性考试）关于a的方程a的解为正数，且关于a的不等式组a有解，则符合题意的整数a有（）个A．4 B．5 C．6 D．7 a有正整数解，关于x的不等式组 8. (重庆巴蜀中学初2016级初三下保送生考试)若关于x的分式方程有解，则a的 a 值可以是（） A、0 B、1 C、2 D、3 12.（2016重庆中考B卷）如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是（）A.-3 B.0 C.3 D.9 15.（2016?重庆一中三模）使得关于a的不等式组a有解，且使分式方程a有非负整数解的所有的a的和是（）A.-1 B. 2 C. -7 D. 0

重庆市中考数学压轴题及答案15例

重庆市中考数学压轴题及答案15例 1.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上， 2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．（2） P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+， 4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得3m =± 当2652m m -+=-时，解得3m =．

∴当点P 运动到(3-或(3+或(32)--或(32)+-时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则 90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=）， 11 4222 BM AB ∴= =?=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=． 11 2122 EB BM ∴= =?=，EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(4-，．但是，当4x =时，24645162453y =-?+=-+=-≠ ∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形． 2.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．

2020重庆中考数学18题专题及答案word.doc

中考数学18题专题及答案 1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()() 4060 4060 x a xb x b xa -+-+ = 去分母()() 604060406040 x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040 a xa x b b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400 xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()() 1002400 b a x b a -=- 所以：24 x= 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，= ，整理得（b-a）x=6（b-a），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤）设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．

重庆中考数学第24题专题训练

2015年重庆中考数学第24题专题讲义 1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。 24.(1)AB=45 (2) 证明在正方形ABCD中易证RT△CDF?RT△DAE ∴∠DGE=∠DAE=RT∠ ∴∠EGC=∠EBC=RT∠ ∴∠EGC+∠EBC=180° ∴B、C、G、E四点共圆 ∠AED=∠BCG 连EC，∴∠BGC=∠BEC 因为BE=EA BC=AD ∴RT△BCE?RT△ADE ∴∠AED=∠BEC ∴∠BGC=∠AED ∴∠BGC=∠BCG ∴BG=BC 又因为BH平分∠GBC ∴BH是GC的中垂线 ∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5 ∴GH=DG ∴△DGH是等腰直角三角形即：DE－HG＝EG。 2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC. (1)若AB=13，CF=12，求DE的长度； (2)求证： 1 3 DCM DMF ∠=∠. G H F E D C B A M F E D C B A 第24题

4 321 M F E D C B A B 第24题图 24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥= ∴5DF ==又∵F 为DE 中点 ∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠ 在CDM CEB ??和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =?? =??=? ∴CDM CEB ??? ∴34∠=∠ 又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠ ∴123DMF ∠= ∠ 即1 3 DCM DMF ∠=∠ ……10′ 3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ．（1）若?=∠30CBE ，3= AG ，求DH 的长度；（2）证明：DF AH BE +=． 24: ∵ABCD 是正方形 ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90° ∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB ∴AB =AG =3 2分又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH = 3 3 AB =1 3分又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB ∴DH =3—1 4分（2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形

重庆中考数学阅读专题.

重庆中考数学阅读专题 1. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m． 2. （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字

对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 3. （2016?重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．