经典概率题

十个人做，五个人错——经典概率题！

昨天出了这个题目，到现在有很多朋友跟了帖子，不过依旧有很多人不理解答案。现在我把第一题的相关内容做一个最终阐述，希望能对大家有一点儿帮助。

原题：

1. 有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。随机移开一个碗，发现看到的这张纸片的上面是黑色的。求这张纸片下面也是黑色的概率是多少？

2.有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。求随机移开一个碗，发现看到的这张纸片两面都是黑色的概率是多少？

答案与解释：

第二个题答案是1/3，属于概率论里面基础中的基础，大家基本上都算对了。

第一个题答案是2/3 。

有的朋友也算对了，并且解释得还很好。下面我再给分析一下。

经典解释：

一共有6个面，3黑色，3白色。题目中已经说到，我们看到的是黑色的，所以就只需要考虑这3份黑色了。我们把这3个黑色分别称作1号，2号，3号。不妨假设1号和2号都是属于那张两面全是黑色的纸片，而3号属于那张一面黑色一面白色的纸片。这样，其实我们在移开碗之后看到的这个黑色的面，它是1，2，3号的概率都是1/3.如果我们看到的是1号，那么它的对面是2号，也是黑色的，这个时候有（1/ 3）*1=1/3；同理如果看到的是2号，也可以得出1/3；如果看到的是3号，那么它的对面是白色的，所以

有（1/3）*0=0. 最终有两面都是黑色的概率是1/3+1/3+0=2/3

终极解释：

移开碗之前，如果让你算一下我们移开碗之后看到的这张纸片两面颜色相同的概率是多少，你应该能够很快的就知道是2/3.

（这个2/3概率是利用数学中公认的定理计算出来的，同时也确实符合现实生活的规律，这是不以我们人的意志为转移的。所以，只要这3张纸片的结构不改变，依旧是两面全黑，两面全白和一黑一白这3张，那么这个2/3便是不会改变的，除非我们对纸片做出破坏性的改变。）

当你把手随机放到一个碗的上面的时候，这个2/3不会改变，因为此时和你没把手放在上边并无本质差别；当你闭着眼睛把碗移开，如果让你猜一猜看到的这张纸片两面颜色是相同的概率是多少，你应该还知道依旧是2/3；

当你把眼睛睁开，注意，此时你并没有对纸片做什么破坏性动作，所以这个2/3依旧是不会改变的。如果你看到的是黑色，那么这个2/3就是它对面是黑色的概率；如果你看到的是白色，那么这个2/3就是它对面是白色的概率。

释疑解惑：

有的朋友认为，既然看到的这一面是黑色的，那么这张纸片不是第一张就是第三张，而这两张纸片出现的概率是相等的，所以最终答案是1/2 。

确实，第一张纸片和第三张纸片出现的概率是相等的。但是，需要考虑的是，由于第三张纸片有黑色和白色两个面，它并不一定百分百会出现黑色在上边。事实上，第三张纸片出现黑色朝上的概率是50%，这个应该好理解。而第一张纸片由于两面都是黑色，所以它必然是黑色朝上。这就是冒然判断最终答案为1/2而解错的原因。

（此时，你可以把第一张和第三张的四个面分成四份，算一算如果已经确定是黑色朝上，你看到第一张和第三张的概率究竟是不是相等。）

可以是1/2吗？

反证法：

假设第一题的答案是1/2。

那么就是说，这个时候看到下面是白色的概率也是1/2。换句话说，如果我们看到上面是黑色的，那么我们最终看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率是1/2；

同理，如果我们看到的这张纸片上面是白色的，那么我们最终看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率也是1/2；

由于总共有6个面，3黑，3白，所以我们第一眼看到的这个面是黑色或白色的概率是相等的，都是1/2；所以，我们看到的这张纸片它上下两面颜色不相同的概率=第一眼看到的这一面是黑色的时候上下两面颜色不相同的概率+第一眼看到的这一面是白色的时候上下两面颜色不相同的概率=（1/2）*（1/2）+（1/2）*（1/2）=1/2；

但是用另外一种思考方法来检验一下——由于三张纸片只有第三张是一黑一白，所以我们看到的这张纸片上下两面颜色不相同的概率=1/3，而事实上这个时候我们算出的这个1/3是我们可以十分容易就理解的；由于1/2不等于1/3，所以一开始假设的1/2是错误的。

答：不可以是1/2.

写在最后：

如果到这个时候，你还没能理解为什么第一题等于2/3，或者确实不相信它等于2/3，那么你可以拿出3张纸，分别用1和2来代表黑色和白色稍微测试一下。

你会有新的发现！

概率经典测试题及答案

概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C．

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】

【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2.

概率经典例题与解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，

2011年七年级概率初步经典练习题

必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。

统计与概率经典例题(含答案和解析)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

随机事件的概率典型例题

1.3典型例题解析 【例1】一盒装有2个伍分，3个贰分，5个壹分的硬币，求取出硬币的总值超过壹角的概率。 〖解析〗设A={取出硬币总值超过壹角}。 此题可以看成组合问题，故其样本空间含样本点个数为C 105 。对于事 件A ，一是可以从2个伍分中任意取1个，另外4个可以先从3个贰分中任意取2个，再从5个壹分中任意取2个。或者从3个贰分中任 意取3个，再从5个壹分中任意取一个，所有的取法为C 21(C 32C 52+C 33C 51)。二是也可以将2个伍分的全部取出，再从8个贰分、壹分的硬币中任取3个。所有的取法为C 22C 83。所以 P(A)=C 21C 21(C 32C 52+C 33C 51)+C 22C 83 C 10 5=1 2 此题也可以用逆事件方法做。A 的逆事件就是取出硬币总值不超过壹角，即 P(A)=1-C 21C 54+C 32C 53+C 33C 52+C 55+C 21C 3 1C 53C 10 5=1 2 【例2】从0至9这10个数码中任意取4个数码，求索取的4个数码能排成四位偶数的概率。 〖解析〗设A={取到的4个号码排成四位偶数} 此题可以看成排列问题，故其样本空间所含样本点个数为A 104 ，对于 事件A ，先从0、2、4、6、8这5个数码中任取1个排在个位数上，然后从剩下的9个数码中任取3个排列在其他3个位置上，可能排列 法为A 51A 93。但应注意到0不能放在千位数上，应去掉此种情况的样

本点数A 11A 41A 82。所以符合事件A 的样本点为 A 51A 93?A 11A 41A 82 。因此 P(A)= A 51A 93?A 11A 41A 8 2A 10 4= 4190 或 P(A)= A 11A 93+C 41(A 93?A 82) A 10 4= 4190 【例3】从1到100的100个整数中任取1个数，问取出的数能被3或4整除的概率。 〖解析〗设A={取到的数能被3整除}，B={取出的数能被4整除}, C={取到的数能被3或者4整除} 在1,2,3······，100中，能被3整除的数的个数[1003 ]=33；1,2，·······， 100中能被4整除的数的个数[ 1004 ]=25。事件A ，B 是相容的，且AB 包含8个基本事件12,24,36,48,60,72,84,96。所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 33100 + 25100 ? 8100 =1 2 【例4】设m 个人排成一行，甲、乙是其中的2个人，求甲乙之间恰好有r 个人的概率。 〖解析〗设A={甲乙之间恰好有r 个人}。 此题是一个排列问题，故其样本空间所含样本点个数为m!。再分析事件A ：从m 个人中去掉甲乙2人后取r 个人放在甲乙中之间，取法为 C m?2r ，将夹在甲乙之间的r 个人进行全排列排法有r!种。将甲乙2个 人位置互换换法有2!种；将甲乙及中间的r 个人当做1个人与其他剩下的m-r-2个人进行全排列有(m ?r ?2+1)!种，则事件A 含样本点 个数为C m?2r ?r!(m ?r ?1)!2!。所以 P(A)= C m?2r ?r!(m?γ?1)!2! m! 【例5】盒中有a 个白球，b 个红球，从中随机地连续取球。每次取

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 1 2 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π 4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 — 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54 125＋2×36125＋3×8125＝6 5，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式为

经典高考概率分布类型题归纳(供参考)

经典高考概率类型题总结 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 一、超几何分布 1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个. （1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算： ①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？ ②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ （2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 二、二项分布 1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的. （1）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （3）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红 灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ， 当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率；

(2)求X 的数学期望． 解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红 灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24? ????232? ????132＝827 . (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4? ????23k ? ?? ??134－k (k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为 ∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83. 三、超几何分布与二项分布的对比 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析： 1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝ 2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝ 四、古典概型算法

概率典型例题

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 1 例题 该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率． 例题． 有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取1 张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 ． （2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 练习1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，将球上的数字记为a ，则关于x 的元二次方程x 2﹣2x ﹣a +1＝0有实数根的概率 ； （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x （不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y ，试用画树状图（或列表法）表示出点（x ，y ）所有可能出现的结果，并求点（x ，y ）落在第三象限内的概率． 2．如图是一副扑克牌中的四张牌，将它们正面向下冼均匀，从中任意抽取两张牌，用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌牌面上的数字之和都是偶数的概率．

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 例题． 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 练习： 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 练习： 第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演（“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示），利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率． 2

古典型概率几何型概率专题典型例题练习题复习进程

古典型概率几何型概率专题典型例题练习 题

概率 1、从1、 2、 3、 4、 5、 6、7中任取一个数,求下列事件的概率. (1)取出的数大于3; (2)取出的数能被3整除; (3)取出的数大于3或能被3整除. 2、某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为32,,a a a 1,女生两名,分别记为21,b b ,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的样本空间;(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. 3、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

4、在集合{}40,50),(≤≤≤≤y x y x 内任取1个元素,能使不等式012 19 34≥-+y x 成立的概率是多少? 1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题， （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少．

3、将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率. 4、（2008高考江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ． 5、（2008高考宁夏文）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=． （Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 6、甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

六年级解决问题的策略、可能性典型例题解析

六年级解决问题的策略、可能性典型例题解析 【同步教育信息】 一、本周主要内容： 解决问题的策略、可能性 二、本周学习目标： 解决问题的策略 1、初步学会运用替换和假设的策略分析数量关系，确定解题思路，并有效的解决问题。 2、在解决实际问题的过程中不断反思，感受替换和假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步发展分析、综合和简单推理能力。 3、积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验。 可能性 1、联系分数的意义，掌握用分数表示具体情境中简单事件发生的可能性的方法，会用分数表示可能性的大小。 2、能根据事件发生的可能性的大小的要求，设计相应的活动方案。 3、在学习用分数表示可能性大小的过程中，进一步体会数学知识间的内在联系，提高用数表达和交流的能力，不断发展和增强数感。 三、考点分析： 1、有些应用题涉及两三种物品的数量计算，解答这种应用题，可根据它们的组合关系，用一种物品替换另外的物品，使数量关系单一化，这样的思考方法，通常叫做替换法（也叫代替法）。 2、假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按已知条件进行推算，再根据数量上的矛盾作出适当的调整，得出正确答案。 3、一共有几种并列的情况可能发生，其中一种发生的可能性就是几分之一。 4、在有几种不同的数量组成的一种整体中，其中的一种发生的可能性是这种情况的数量占总数量的几分之几。 四、典型例题 例1、（重点展示）粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？ 分析与解：可以根据“1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等”，设法把50袋面粉的重量用大米的重量替换（50÷2 = 25，50袋面粉的重量相当于25袋大米的重量），这样本题就只剩下大米一种数量，可以顺利求出1袋大米的重量了。 2250÷（20 + 50÷2）= 50（千克） 答：1袋大米重50千克。 点评：也可以把20袋大米的重量用面粉的重量替换，求出1袋面粉的重量，再求出1袋大米的重量。可以这样列式计算： 2250÷（20 ×2 + 50）= 25（千克）25×2 = 50（千克） 例2、（重点展示）鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只。问鸡与兔各有多少只？

概率典型习题带答案

1、幼儿黑蒙性白痴是一种严重的精神病,它是有一个常染色体上的隐性基因(b)控制的病.试问: (1)如果两个正常的双亲生了一个患有此病的女儿和一个正常的儿子,那么这个儿子携带此隐性基因的概率为_______. (2)如果这个正常儿子与一正常女人结婚,他们的第一个孩子患有此病,那么第二个孩子也是此病的概率是_____. (3)如果这个正常儿子与一正常女人结婚,而这女人的兄弟有此病,那么他们的第一个孩子患有此病的概率为______. (4)如果(3)婚配后,头两个孩子患有此病,那么第三个孩子是正常的概率为______. 2、在人类，正常A对白化病(a)是显性，求下面家系中(如下图)有关个体出现的概率。 (1)9号个体为有病个体的概率? (2)7号个体为杂合体的概率? (3)10号个体为有病男性的概率? 3、人类多指是显性遗传病，多指（A）对正常（a）是显性。白化病是一种隐性遗传病，肤色正常（C）对白化（c）是显性。已知这两对相对性状是独立遗传的，遵循自由组合规律。在一个家庭中，父亲多指，母亲正常，他们已经生有患白化病的孩子。请预测这对夫妇下一个孩子的健康情况： ⑴孩子正常手指的概率是； ⑵孩子多指的概率是； ⑶孩子肤色正常的概率是； ⑷孩子换白化病的概率是； ⑸孩子同时换两种病的概率是； ⑹孩子健康的概率是；

⑺孩子仅患多指病的概率是； ⑻孩子仅换白化病的概率是； ⑼孩子仅患一种病的概率是； ⑽孩子患病的概率是； 当两种遗传病之间具有“自由组合”关系时，各种患病情况的概率如表： 答案 1、2/3 1/4 1/9 3/4 2、1/4 2/3 1/18 3、1/2 1/2 3/4 1/4 1/8 3/8 3/8 1/8 1/2 5/8

可能性知识点、经典例题及练习题带答案

【趣味链接】 一天，阿凡提牵着自己心爱的小毛驴，背着一袋金币往家赶。刚到村口，就碰到那个贪财、吝啬的大财主。他看到阿凡提手里的一袋金币就眼红。眼珠转了转，对阿凡提说：“如果你能把口袋里的金币往空中一抛，落下后个个都是正面朝上，那么这些金币就是你的了。如果不是，哼！哼！那它就是我的。 【知识梳理】 一定 确定事件不确定事件：可能 不可能 【经典例题】 【例1】在横线上，填上“一定”、“可能”、“不可能”. （1）两位数比一位数大，两位数比三位数大。 （2）两位数加两位数的和是两位数，两位数减两位数的差是两位数。 （3）太阳从东方升起。 （4）一班比二班多2人，二班比三班多1人，三班比一班少3人。 （5）线段有两个端点，射线有两个端点。 （6）长方形的四个角相等，正方形的四个角不相等。 【例2】看图连线

【例3】老师把小精灵的眼睛蒙上，在3个杯子中放了一些球。一号杯放有红球、黄球、蓝球；二号杯里全部是红球；三号杯放了黄球和蓝球。现在有3个问题请同学们来解决。 ①在哪个杯子里小精灵一定能摸到红球？ ②在哪个杯子里小精灵不可能摸到红球？ ③在哪个杯子里小精灵可能摸到红球？ 【例4】（1）从一个装着3个红球和2个黄球的口袋里摸球，摸到红球的可能性是多少，摸到黄球的可能性是多少？ （2）要从一个口袋里摸球，使摸到红球的可能性是2 7 ，摸到黄球的可能性是 5 7 ，应该怎么放球呢？ 【例5】（1）把牌洗一下反扣在桌上，从中任意摸一张，摸到红桃A的可能性是几分之几？摸到黑桃2的可能性是几分之几？每张牌被摸到的可能性一样吗？是多少？ （2）摸到红桃的可能性是多少？摸到黑桃的可能性是多少？ 红桃黑桃

条件概率及全概率公式练习题

二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴

P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .

高中数学概率大题(经典一)

高中数学概率大题（经典一） 一．解答题（共10小题） 1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望； （2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分 （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． 3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值． 4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． （1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率； （2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值． 5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖． （Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率； （Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）． 6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2． （Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2； （Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小． 7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

初中数学概率经典测试题及答案解析

初中数学概率经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（） A．3 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】 解：设小正方形的边长为1，则其面积为1． Q圆的直径正好是大正方形边长， ∴22，∴2， 222 =，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为1 2 ． 故选：C． 【点睛】 概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法. 2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球 ．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（） A．1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】 画树形图得：

一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况， 故这两个球都是红球相同的概率是 61 = 122 ， 故选A． 【点睛】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（） A．5 9 B． 1 3 C． 1 9 D． 3 8 【答案】B 【解析】 分析：用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黄球的概率．详解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1， ∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是 31 = 5+3+13 . 故选：B． 点睛：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．下列事件中，是必然事件的是( ) A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B．操场上小明抛出的篮球会下落 C．车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯 D．明天气温高达30C ，一定能见到明媚的阳光 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必然事件的概念作出判断即可解答． 【详解】 解：A、抛任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A错误；

概率问题经典例题

例 3 将 n 只球随机的放入 N (N 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。 解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有 而每个盒子中至多放一只球, 共有 例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k 件次品的概率是多少? 1/不放回抽样 解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有 又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有 在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有 由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有 于是所求的概率为 2、有放回抽样 从N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有 , 种放法n N N N N =??? ,)]1([)1(种放法n N A n N N N =--??-? .)]1([)1(n n N n N A N n N N N p =--??-?= 故种， n N C 种，k D C 种， k n D N C --种，k n D N k D C C --n N k n D N k D C C C p --=n N n N k n k k n D N D C --)(

于是所求的概率为 例 5 袋中有 a 只白球，b 只黑球．从中任意 取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的 概率．（作不放回抽样） 解： 设：A=“第 k 次取出的球是黑球” k n k k n n k n k k n N D N D C N D N D C P ---=-=)1()()(()．样本点总数种个球，有取法个球中依次取出从k b a P k b a ++．所含样本点数为种，因此事件有取法次取球，种，前次取出黑球，有取法第11111--+?--+-k b a P b A k b a P k b k ()．所以，b a b k b a P k b a P b A P +=+--+?=11

统计与概率经典例题

统计与概率经典例题(含答案及解析) 1.(本题8分)为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表: ⑴表中a 与b 所表示的数分别为 :a= 、,b= 、; ⑵请在图中补全频数分布直方图; ⑶如果把成绩在70分以上(含70分)定为合格,那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2.为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生,某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图: (1)某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家.请将折线统计图补充完整; (2)该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家就是餐饮企业,现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都就是餐饮企业的概率. 3.(12分)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图与扇形统计图.

根据以上信息解答下列问题: (1)求实验总次数,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ (3)已知该口袋中有10个红球,请您根据实验结果估计口袋中绿球的数量. 4.(本题10分)某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%. 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 (1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数; (2)该校2014年八年级有500名学生,请您估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5.(10分)将如图所示的版面数字分别就是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上(“A”瞧做就是“1”)。 (1)从中随机抽出一张牌,牌面数字就是偶数的概率就是 ;(3分) (2)从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的与就是5的概率就是 ;(3分) (3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树形图的方法求组成的两位数

经典概率题

十个人做，五个人错——经典概率题！ 昨天出了这个题目，到现在有很多朋友跟了帖子，不过依旧有很多人不理解答案。现在我把第一题的相关内容做一个最终阐述，希望能对大家有一点儿帮助。 原题： 1. 有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。随机移开一个碗，发现看到的这张纸片的上面是黑色的。求这张纸片下面也是黑色的概率是多少？ 2.有三张纸片，第一张纸片两面都是黑色的，第二张两面都是白色的，第三张一面是黑色的，另一面是白色的。用三个碗把他们遮盖住。求随机移开一个碗，发现看到的这张纸片两面都是黑色的概率是多少？ 答案与解释： 第二个题答案是1/3，属于概率论里面基础中的基础，大家基本上都算对了。 第一个题答案是2/3 。 有的朋友也算对了，并且解释得还很好。下面我再给分析一下。 经典解释： 一共有6个面，3黑色，3白色。题目中已经说到，我们看到的是黑色的，所以就只需要考虑这3份黑色了。我们把这3个黑色分别称作1号，2号，3号。不妨假设1号和2号都是属于那张两面全是黑色的纸片，而3号属于那张一面黑色一面白色的纸片。这样，其实我们在移开碗之后看到的这个黑色的面，它是1，2，3号的概率都是1/3.如果我们看到的是1号，那么它的对面是2号，也是黑色的，这个时候有（1/ 3）*1=1/3；同理如果看到的是2号，也可以得出1/3；如果看到的是3号，那么它的对面是白色的，所以

有（1/3）*0=0. 最终有两面都是黑色的概率是1/3+1/3+0=2/3 终极解释： 移开碗之前，如果让你算一下我们移开碗之后看到的这张纸片两面颜色相同的概率是多少，你应该能够很快的就知道是2/3. （这个2/3概率是利用数学中公认的定理计算出来的，同时也确实符合现实生活的规律，这是不以我们人的意志为转移的。所以，只要这3张纸片的结构不改变，依旧是两面全黑，两面全白和一黑一白这3张，那么这个2/3便是不会改变的，除非我们对纸片做出破坏性的改变。） 当你把手随机放到一个碗的上面的时候，这个2/3不会改变，因为此时和你没把手放在上边并无本质差别；当你闭着眼睛把碗移开，如果让你猜一猜看到的这张纸片两面颜色是相同的概率是多少，你应该还知道依旧是2/3； 当你把眼睛睁开，注意，此时你并没有对纸片做什么破坏性动作，所以这个2/3依旧是不会改变的。如果你看到的是黑色，那么这个2/3就是它对面是黑色的概率；如果你看到的是白色，那么这个2/3就是它对面是白色的概率。 释疑解惑： 有的朋友认为，既然看到的这一面是黑色的，那么这张纸片不是第一张就是第三张，而这两张纸片出现的概率是相等的，所以最终答案是1/2 。 确实，第一张纸片和第三张纸片出现的概率是相等的。但是，需要考虑的是，由于第三张纸片有黑色和白色两个面，它并不一定百分百会出现黑色在上边。事实上，第三张纸片出现黑色朝上的概率是50%，这个应该好理解。而第一张纸片由于两面都是黑色，所以它必然是黑色朝上。这就是冒然判断最终答案为1/2而解错的原因。 （此时，你可以把第一张和第三张的四个面分成四份，算一算如果已经确定是黑色朝上，你看到第一张和第三张的概率究竟是不是相等。）