12个方法让你活到人类寿命极限

12个方法让你活到人类寿命极限

你想过应该如何让自己更长寿吗？MH已经解开了这个谜，而且还可以很自豪地告诉你，如果你能按照我们说的去改变你的生活方式，那我们敢对你保证，你能活得比你想象的还要长……

科学家早就说过，人类的寿命极限是160岁。我们的说法是，12个方法，让你多活109年。

“我们当中的大多数人都无法活到基因…指定?的年龄，”来自伦敦的罗森医生说，他是世界级的长寿权威人士。“近几十年的研究表明，对大多数人来说，行为和生活方式对你寿命的影响远比基因要大得多。”

最近的一些详尽的关于长寿方面的科学研究显示，我们可以帮你把死神远远地拒之门外。当然，我们不可能让你奢望长生不死，但我们起码可以让你活得更科学，也更健康，也就是说让你的岁数比你当初想象的翻上一番。

不过，要说明的是，我们所说的岁数翻番，可不是真的让你的岁数乘以二。我们的意思是，你可以活得远比你想象的要长很多。事实上，只要你肯想很多办法，而且照着我们说的去做，就会长寿。比如平时多做高难度的口算，可以使你多活2.5岁。这些都是经过科学实验证明的。

到海边去晒太阳可以使你增加3.3岁

经常见不到阳光的人可能会发生很多危险。哥伦比亚大学精神病学系的一项情感障碍研究显示，缺少光亮可能导致抑郁症或其他相关问题出现，比如酗酒、自杀等等。去海边晒一个星期的太阳，会让你走出这种阴暗的情绪。有研究显示，连续5天，每天30分钟的海边日光，可以治好一半以上的抑郁症患者。

喝奶可以使你增加：7.2岁

牛奶，不用多说，在现在是一个非常敏感的话题。人们刚刚开始重新拿起杯子在考虑是否可以喝奶。而MH想说的是，不要因噎废食。其实，如果没有三聚氰胺之类的东西，牛奶是非常好的东西。它是一种纯天然的最有营养的抗衰老和补给身体的食品。已经有很多临床实验证实，牛奶有非常多的功效，比如提供能量，使肌肤更有活力，减少疼痛，使过敏体质得到改善，加速身体复原，振奋情绪。

唱赞歌可以使你增加：2岁

早晨睁开眼，对你身边的人大声说，“你真美。”如果你是一个人睡觉，那就睁开眼时想一想外面的云、草地和正等着你happy的一群朋友。匹兹堡大学的研究人员发现，永远在心底里对所有的人和事都抱着一颗感恩的心，都在无时无刻不在赞美着别人的人能把每一天都过得快乐充实，也活得更健康。

笑可以使你增加：10岁

幽默可以使你更健康、更长寿、更快乐，这是挪威科学技术大学发表于2006年的一项研究成果显示的。另据他们证实，具有幽默感的人当患上重大疾病时被治愈或好转的可能性比其他人要高出30%。笑可以使人产生更多的保护性荷尔蒙，调节血压，减小压力，增强免疫系统。鉴于笑能给你带来这么多的好处，让自己多一些笑声，可以使你的寿命增加8岁。所以，从现在开始多看喜剧电影，多听相声，也讲笑话给别人听吧。

经常在家测血压可以使你增加：25.2岁

不要等身体真的出问题了才想起来去测血压。现在，人们通常是买个血压仪在家自测血压，而不再像从前那样跑到医院里让医生测。就买那种最常见的腕式测压仪，然后每月测一次。一个能拥有相对较低血压(115/75)的人通常比那种血压相对较高(140/90)的人多活25年。根据你的实际年龄，如果你的血压过高，那就一定要想办法降下来。通常的方法是：经常锻炼，减少脂肪、盐、酒的摄入量，而且不要玩那些过于惊险的游戏，比如过山车。

买一只狗陪你可以使你增加：11.4岁

有一只猫或狗在身边陪你，可以使你降低心脏病、中风发作的风险，还可以使正身患重症的人尽快好起来。对此你还在怀疑吗?让我们来告诉你——根据贝尔法斯特女王大学的韦尔斯博士的一项研究显示，养狗往往可以降低血压和胆固醇水平，养狗的人和那些没有狗的人比起来，养狗的人简直太幸运了。而且，养狗比养猫更有好处，因为狗可以“强迫”你每天早晚必须出去散步，这是《宠物的治疗功效》一书的作者医学博士贝克尔说的。

用牙线可以使你增加：6.4岁

当你用牙线的时候，你不光把昨晚剩在牙缝间的鱼肉渣剔了出来，而且可以让你的牙齿不再生垢。威斯康星州的美容牙科研究中心的一项研究显示，有近80%的成年人都患有牙周疾病，而剩下的20%的人的牙齿也长得非常难看，而这些，我们当中的大多数都不知道。当然，事情也不是特别的糟，通常来说，我们只要去看看牙科医生就可以了。

不过，根据医学博士克里斯的一项研究显示，有牙病历史的男人患上胰腺癌的机率比普通人要高出6 3%。所以，他建议一年看两到四次牙医。没错儿，看牙医非常贵，但总比得上癌症强，而且防患于未然还可以使你活得更长。

加入足球队可以使你增加11岁

加入一个足球队，可以解压，并对生理产生影响，还可以防止身体过早老化。这种类似小社团的组织是使你有效减压的一个非常好的办法。澳大利亚的一项对1,400名老年男人和女人的研究显示，这些有着亲密伙伴的老年人可以活得比普通人更长。一个相对固定的社交圈可以让你年轻3.5岁。当然，经常锻炼还可以给你带来很多好处，比如保持肌肉有力、关节灵活、心功能增强，以及肺活量增大等等。那么，为什么不多花点儿时间加入一个小足球队，既有了和朋友交流的机会，又让自己身体更强壮呢？

换个国家生活可以使你增加：6.4岁

如果你认为国内的生态环境不太适宜生活，那就换个国家住住，比如欧洲。当然，从整体来说，欧洲的环境也不是非常理想，一项由欧盟委员会做出的研究显示，由空气污染而导致的死亡率几乎等同于交通事故的死亡率。一般人总认为，在英国的环境会好些，但事实上，英国每年会有超过32,000的人死于大气污染，而且会使人的寿命平均减少一年。而爱尔兰的空气就会好很多，在欧洲排名第二，排名第一的是芬兰。不过，如果你真的想活得更长，那就去欧洲的安道尔共和国吧。那里才是一个真的几乎没有污染的国家，那里人的平均寿命达到了83岁。

为自己找一个伴侣可以使你增加9.5岁

离婚，而且让你的另一半房子是空的，这真的不是一个很好的主意。你的生活会更加孤寂。纽约洛克菲勒大学2004年的一项研究显示，离婚会加速白细胞的老化。另一方面，长寿真的需要靠两个人来维系。“长期的爱的关系可以使你年轻6.5岁，”罗森博士说。固定的性关系可以让你进入一种平衡的稳定的生活状态中去。诚然，那种有规律的性关系和长期忠诚的相守并不一定真的就能在你身上发生，但如果你连试都不试一下，你怎么知道你没有这种好运呢？

让脑子高速运转可以使你增加：4.6岁

保持头脑清晰敏捷的重要法则是：永远在使用它。研究显示，有效的保护和加强神经系统的运动可以使你延迟衰老和痴呆。大脑始终处于活跃和忙碌状态的人比那些整天对着墙发呆的人患上老年痴呆症的几率要小得多。经常做游戏、看书、上网，或是学习，都可以使你的脑子高速运转。

检查前列腺可以使你增加：12岁

预防胜于治疗，早期治疗胜于当时治疗，这些都是我们很早很早以前就听熟的话。但即便是这样，还是会有很多人忽略掉种种可能患病的迹象，而直到这些迹象成为事实时，已经很难治愈了，这对于前列腺疾病这种生殖病来说更是如此。“他们去检查前列腺疾病这种生殖病之前其实已经患病很久了，而事实上，这种病和糖尿病、ED一样，如果能早发现早治疗，治愈应该都不是一件难事，但现在已经有数以百万的人得上了前列腺疾病，”班克斯博士说，他是《男人手册》的作者。“积极主动寻求那种高质量的医疗保健和慢性病护理的人往往可以比不采取任何防范措施的人多活12年，”鲁森博士说。赶快行动吧，早检查早治疗，让前列腺疾病躲得远远的。

还想活得再长些？

活109岁还不够是吗？那你就试试下面的方法吧，也许它可以使你永垂不朽。

把自己冷冻起来

人如果你是因为患上了什么不治之症而被冷冻的，那你在治愈这种病的疗法被人类研制出来后就可以被复活。目前做这项研究的最大的世界机构是美国亚利桑那州斯科茨代尔的阿尔科生命延续基金会，那里已经有74个被冷冻的案例，而且他们只需每人交付15万美元即可。

建精子库

还有一个可以让你生命延续的方法，那就是经常性地捐精子。精子银行会把你的精子存入被液氮罐冷冻的小瓶子或是秸秆里。这种精子不存在保质期问题，而且到目前为止，已经有从精子库中产生的生命健康存活20年的案例了。

著书立说

还有一个让你永垂不朽的方法就是写书，你的名字会永远留在史册上，据统计，仅英国图书馆现在就收藏了2500万册图书。作为一个法定图书馆，英国图书馆收藏拷贝了所有的在英国出版的图书。至于怎么写书能让你名垂青史，就看你自己的了。

储备胶原蛋白

你可以现在就从身体里抽取一些表皮细胞的胶原蛋白，然后把它们放入科学家们的培养皿中。等你感到自己比较老的时候再拿出来，让医生为你注入身体。当你老了以后，胶原蛋白的缺乏不但可导致“胶原性疾病”，更会使代谢功能减弱，细胞的可塑性亦随之衰减，造成各种器官萎缩，弹力下降，皮肤和黏膜出现干燥，起皱等脱水现象，进而加速衰老。那个时候，你肯定比现在更需要胶原蛋白质。

医学英语阅读：人类的寿命极限在逐渐延长

医学英语阅读：人类的寿命极限在逐渐延长 导读：本文医学英语阅读：人类的寿命极限在逐渐延长，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 Pushing Life's Limits John R. Wilmoth， a demographer（人口统计学家）at the University of California，Berkeley，has collected a wealth of data on humankind's increasing longevity（寿命）over the past two centuries. And this week in Science（美国《科学》杂志），he has some good news：The maximum average age we can reach too is on the rise. This finding contradicts the common scientific belief that life span has a biological upper limit of 120 years or so. "Whether 115 or 120 years，it is a legend created by scientists who are quoting each other，" Wilmoth says. （He is shown at right with Christian Mortensen，who died in 1998 at the age of 115.）Working with colleagues in the U.S. and Sweden，Wilmoth scrutinized（仔细审查）the Swedish national death records——considered the best in the world——from 1861 forward. They found that ages at death had shifted upward for 138 years——a trend that accelerated in the 1970s. Although some scientists presumed the larger number of very old people in later years was due simply to a larger population base，the new data show the main cause is actually increased survival after age 70. "We have shown that the maximum life span is changing，" Wilmoth adds. "It is not a biological constant."

人体细胞的寿命

字体大小：| | 2008-10-13 14:30 - 阅读：669 - ：3 人体细胞的寿命 组成人体组织的细胞寿命有显著差异，根据细胞的增殖能力，分化程度，生存时间，可将人体的组织细胞分为4类：①更新组织：执行某种功能的特化细胞，经过一定时间后衰老死亡，由新细胞分化成熟补充，如上皮细胞、血细胞，构成更新组织的细胞可分为3类：a干细胞，能进行增殖又能进入分化过程。b过渡细胞，来自干细胞，是能伴随细胞分裂趋向成熟的中间细胞，c成熟细胞，不再分裂，经过一段时间后衰老和死亡。②稳定组织细胞，是分化程度较高的组织细胞，功能专一，正常情况下没有明显的衰老现象，细胞分裂少见，但在某些细胞受到破坏丧失时，其余细胞也能进行分裂，以补充失去的细胞，如肝、肾细胞。 ③恒久组织细胞，属高度分化的细胞，个体一生中没有细胞更替，破坏或丧失后不能由这类细胞分裂来补充。如神经细胞，骨骼细胞和心肌细胞。④可耗尽组织细胞，如人类的卵巢实质细胞，在一生中逐渐消耗，而不能得到补充，最后消耗殆尽. 人体细胞是人体的结构和功能单位。共约有40万--60万亿个，细胞的平均直径在10--20微米之间。除成熟的红血球外，所有细胞都有一个细胞核，是调节细胞作用的中心。最大的是成熟的卵细胞，直径在毫米以上；最小的是血小板，直径只有约2微米。 肠粘膜细胞的寿命为3天，肝细胞寿命为500天，而脑与骨髓里的神经细胞的寿命有几十年，同人体寿命几乎相等。血液中的白细胞有的只能活几小时。 在整个人体中，每分钟有1亿个细胞死亡。最为神奇的是大脑的神经细胞的神经冲动传递速度超过400公里/小时，相当于777飞机速度的一半。 人体各个部位肌肉细胞的寿命是多少来自瑞典斯德哥尔摩卡罗琳斯卡医学院的干细胞研究专家弗里森指出，无论你的年龄有多大，你的身体都要年轻很多岁，即使你已步入中年，但你身体大部分器官可能才只有10岁或者更小。弗里森说，人体大部分组织的细胞都在不断地更新换代，而成年人体内所有细胞的平均年龄却只有7岁至10岁。 通过一系列有效实验，弗里森领导的科研小组认为，尽管人们认为身体随着

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

求极限的方法总结

学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

人类寿命计算公式_图文.doc

人类寿命计算公式 彩响人类寿命长短的因素有很多，但这并不妨碍人们预测自己的寿命。美国坦普尔大学神经学系教授黛安娜?伍得拉夫I■専士在对长寿者进行数十年跟踪调查后，推出了一套氏寿测验题，这套测试就像一个计算器，在测验的同吋，也是对于健康生活方式的拷问，想长寿的你，赶紧准备好笔和纸算算吧。 首先记卜'你的基础寿命，如卜'，如果你现在年龄在20-29岁Z间，男性的基础寿命为73岁, 女性为79岁。

+父母亲年龄…? ?母亲活到80岁， +4岁；: ?父亲活到80岁，+2岁。! +亲属疾病- 有在50岁前死于心脏病的/每 有一人~3岁； ?有在60岁舸死于糖尿病 或消化性溃疡的, 一3岁; 有在60岁前死于胃癌， -2岁。 基础寿命 +: ?祖父祖母活到80岁以； 祖父母年龄…*.十霊宙L人| 1 +0.5 岁。[ ?祖父母"父母.兄弟、姐妹中 ?有在60岁前死于该病的,

智力…体重. ?有女性近亲在60岁前死于乳 腺Si -2 岁。 ?有近亲在60岁前死于自杀或其他疾病， -1岁。 对女性来说， ； ?不能生育、不打算要孩子， ［ 或在40岁后仍没有生育，［ 『?如果你的智力超过一［ 1 般人，+2岁。j ?你的一生中，有任何时候 BMI 指数（体重kg/身高肿）大于24.9,或体重比18岁时重10 斤以上，一2岁。

- 母亲的生育年龄1 / ............................ . 一巴」毛冃千S | ?母亲在生育你时超过35 . 计岁或 小于18岁，-1岁； I ]?如果你是家中的长子或 i 长女，+1岁。 + 饮食…:i?喜欢吃换菜、水果及天然] ：i食物，不爱吃高脂肪、高i 糖 食物，而且吃饱后就不I !再吃，+1岁。j ?一天抽烟超过2 a (40 支h ?一天抽1~2包，-7岁;| ?一天抽烟不超过20支, -2 岁。

关于计算极限的几种方法

目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4)

五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6)

内容摘要

引言： 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一．利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ?， 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在，则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ，然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1：求a x x a a x x a a a a x --→lim 解：原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ，令a x x a y -=， 当a x →时，0→y ，故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许

人类无法超越的各种人体极限

如对您有帮助，可购买打赏，谢谢 人类无法超越的各种人体极限 导语：人类的潜力都是无限的，外界的刺激会让我们激发自己的潜能，从而达到一定的极限。其实人体的极限不仅包含了平日的运动极限，更有人类承受各 人类的潜力都是无限的，外界的刺激会让我们激发自己的潜能，从而达到一定的极限。其实人体的极限不仅包含了平日的运动极限，更有人类承受各种极端环境的极限，类似于：饥饿、干渴、严寒等众多因素。今天小编就跟大家一起看看人类的极限吧！ 人类的身体真的能突破极限变成“超人”吗？科学家们通过大量研究数据揭开了 人类无法超越的各种人体极限。 体温极限身体能承受多低的体温 正常情况下人的体温都是在37℃左右，当人体的体温降到36℃的时候，判断力和反应能力都会下降。当体温降到35℃的时候，我们没有办法拿笔写字，就连走路也变得很困难。当体温降到33℃的时候，人将彻底的失去理性。当体温降到32℃的时候，大多数人都会变得虚脱。当体温到达30摄氏度的时候，很多人都会陷入昏迷的状态。 当人体核心体温降至28摄氏度时，你的心跳将会心律失常;等体温降至20摄氏度时，心脏将会彻底停跳。 失血极限失去多少鲜血不会死亡 一个健康的成人体内大约有3.8升到5.6升的血液。如果所失血液超过全身血液总量的15%，你的脉搏就会跳得更快，同时身体也会产生晕眩等不良反应。 如果人体失去的血液超过了身体总血液量的百分之四十的时候，人体的血压就会变得非常的低，也没有办法在流回心房，会导致致命的严重后果。所以科学家们认为，人体可以失去全身血液的百分之五十并且可以存活下来。 速度极限你的双腿能跑多快 自从电子计时器在1968年使用以来，男子100米短跑纪录已经被刷新了多次，但这些纪录的差距通常也只有零点几秒而已，这意味着人体的双腿在能跑多快的问题上已经抵达了一个“极限区域”。 研究人员在上世纪70年代末通过实验发现，如果赛跑者跑完100米的速度快过9.6秒的话，达到这一速度所需的力道将会大到足以撕裂大腿肌腱，所以人体奔跑的最快速度极限大约为每小时43.06公里。 电击极限人能承受多大伏特的电击 生活知识分享

定义证明二重极限_1

定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7

人类可活500岁

人类可活500岁？ 人类可活500岁？ 长寿不是梦！改变基因人类或活到500岁 科学家未来研发“长寿药” 人类可活到800岁 要是有人说人类可以活500年，你会不会觉得他疯了？但现在真的有科学家在做这样的事，大手笔投资，资本市场热捧，这会是多疯狂的一件事！ 据财富中文网消息，谷歌风险投资公司总裁兼执行合伙人比尔？玛瑞斯深信，人类的寿命即将大幅延长。最近他对彭博社表示：“如果你今天问我人是否能活到500岁？我会给你一个肯定的答案。” 报道称，这位40岁的风投家在2015年的投资预算为4.25亿美元，他想将其中大部分投到医疗保健公司。他对彭博社说：“生命科学领域如今确实掌握了可靠的工具，能够实现你敢于想象的任何事情。我只是希望能活得足够长寿。” 谷歌风投在过去投资了不少大名鼎鼎的项目，其中就有埃隆？马斯克的Space X公司。

玛瑞斯认为医疗保健的未来不可限量，在采访中他特意做了如下阐释：二十年前还没掌握基因技术时，我们只能用毒药来治疗癌症。现在却发生了翻天覆地的变化，“我们可以对干细胞进行逆向工程，用这种方式来治疗癌症。”你现在有充分的理由去投资一家致力于治愈癌症的企业。20年后回头看，今天的化疗会显得太原始，简直就像当年拍电报一样。 从市场表现来看，医疗保健累个股也是毫无争议的热点。过去一周时间，美三大股指出现了较大幅度的回调。但在市值超过千万美元的个股中，仍有53只个股涨幅超过20%，其中医药股达29只。涨幅第一位的是美股次新股Recro Pharmaceutical Inc，这家主营替代型止痛片的公司，上周上涨了68.18%。涨幅第二的是血液透析公司CorMedix Inc，该公司上周上涨66.36%。

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

人的自然寿命可以超过160岁

人的寿命可超过160岁海南日报 -------------------------------------------------------------------------------- 据新华社上海10月7日电人类究竟能活多少年？新近出版的科普读物《人体革命》从风靡世界的基因科学角度分析，人的寿命可达一百六七十岁。作者吴伯林系美国哈佛医学院儿童医学基因诊断研究室主任、研究员。吴伯林1986年在上海医科大学取得硕士学位，1996年在美国哈佛大学完成博士后研究，在基因定位、基因克隆、基因诊断等领域都有很高造诣。由上海人民出版社出版的《人体革命》是吴伯林专为祖国人民撰写的一部科普读物。他以生动的语言，向人们讲述了基因科学给人体革命带来的重大影响，同时介绍了基因诊断和基因治疗技术的最新成果。他以详实的资料告诉读者，19世纪初先进国家的人均寿命为35－40岁。中华民族在各个历史时期的平均寿命则是：夏代，18岁；秦汉，20岁；东汉，22岁；唐朝，27岁；宋代，30岁；清代33岁；民国时期35岁；新中国1957年，57岁；1981年，68岁。中国人口寿命一直呈上升趋势。今天，上海、广州等大城市的人均寿命已与世界发达城市相同，为76岁上下。人类天年可到一百六七十岁的依据在哪里？吴伯林介绍说，一些科学家研究表明各种动物的寿命期与本身的生长期有关，约是生长期的5至7倍。人的生长期为20至25年，那么自然寿命应该是100至170岁。也有科学家认为，一般哺乳动物最高寿命约相当于它的性成熟期的8至10倍，据此推算人的性成熟期是14至15岁，那么人的自然寿命应该为110至150岁。还有科学家从胚胎细胞分裂次数来分析，认为人类细胞分裂次数是50次，平均每次分裂周期是2 4年，因此人的寿命是120年。还有人认定，人的怀孕期平均266天，以自然界在发展过程中的结构或组织的变异时间推算，人的自然寿命的最高点为167岁。人的寿命可以计算扬子晚报 (2001-10-25) 目前，中国人的平均寿命为72岁，以此为基数，回答下列问题，进行加减，最后就可得出您可能的寿命。如果您是男性，减3岁；女性则加1岁。居住在100万人以上的城市市区，减2岁；居住在人口少于1万人的小镇或农村，加2岁。祖父母或外祖父母中有1位活到85岁；加2岁；4位祖辈都活到80岁，加6岁。父母有1人在50岁以前死于中风或心脏病，减4岁；父母、兄弟姐妹中任何一位50岁前得癌症或心脏不正常，或自幼就有糖尿病，减3岁。如果您是一位富翁，减2岁。如果您大学毕业，加1岁；65岁仍在工作，加3岁。如果您有配偶并住在一起，加5岁；如果没有，从25岁起每独居10年，减1岁。如果您常伏案工作，减3岁；如果您常从事体力劳动，加3岁。如果您每星期进行球类、游泳、跑步等运动5次，加4岁；每星期2次，加2岁。如果您每晚睡眠超过10小时，减4岁。经常紧张、易怒、性急，减3岁；感到生活很轻松，工作应付自如，加3岁。如果您常常感到快乐，加1岁；经常感到不快，减2岁。如果您抽烟，每天2包，减8岁；每天1－2包，减6岁；1包以下，减3岁。如果您每天喝白酒50－100毫升，减1岁。体重超过标准5公斤以上，减2岁；超过15公斤以上，减4岁；超过25公斤，减8岁。您计算出您的大致寿命了吗？如果您算出的结果不令人满意，也不要灰心丧气，从现在做起，改变不良生活习惯，戒烟、戒酒、正确进行身体锻炼、乐观地生活，您的寿命就会延长，生命的钥匙就在您自己手上。 130岁印度发现世界上寿命最长的人 (2002年07月31日 10:34 大洋论坛) 大洋网讯据印度北部喜马偕尔邦布朗村的居民讲，生活在这座村子里的老太太戴弗吉·黛维已经至少130岁高龄了。如果她的年龄能够被证实，那么她将是世界上寿命最长的人，比已知的世界上最长寿的一位中国妇女还大14岁。昌迪加尔市律师迪内希·库马尔日前对媒体说，尽管黛维没有出生证明，但从她的家史推算，她至少130岁了。他说，黛维25岁时生下大女儿，大女儿20岁结婚，28岁生下儿子凯沙夫·拉姆，而现在拉姆已经80岁了。库马尔说，他三个月前开始调查黛维的家史，有两个很重要的证据可以证明她的年龄。首先，她的一个孙子已经80岁了。其次，她的一个健在的儿子已经102岁了。黛维现在的身体依然很结实，她现在还能自己上山捡柴火。她说，自己每天喝两杯牛奶，吃一个小米面包，一辈子只去过两次医院。（新华社）没有人能够永生。即

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

二重极限的计算方法(学年论文)

二重极限的计算方法小结 内容摘要 本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词：二重极限变量代换等不存在的证明

目录 序言 (1) 一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1) (一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1) (二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2) (三)采用对数法求极限 (2) (四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3) (五)等价无穷小代换 (3) (六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4) (七)多元函数收敛判别方法 (4) (八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5) (九)极坐标代换法 (6) (十)用多元函数收敛判别的方法 (7) 二、证明二重极限不存在的几种方法 (7) 总结 (10) 参考文献 (11)

序言 二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。 对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。 一、二重极限的计算方法小结 (一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证 利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。 例1[1] 讨论2 23),(y x y x y x f +=，在点的极限。 解 令mx y = 01lim )1(lim lim 2 2 02402230=+=+=+→→→→→m m x m mx y x y x x mx y x mx y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 2 2300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。 下面再利用定义法证明：0>?ε，取εδ2= 当δ<-+-< 22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

论文二重极限计算方法

包头师范学院 本科毕业论文 题目：二重极限的计算方法 学生姓名：王伟 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 班级：应数一班 指导教师：李国明老师 二〇一四年四月

摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

人类为什么不能活到自然寿命

人类为什么不能活到自然寿命 ．摘要 通过对人类寿命的统计，对人类为何不能活到自然寿命进行分析与研究，从人类的生活方式，饮食，锻炼，心态等多个方面与健康之间的联系进行探讨，从而解开人类为何不能活到自然寿命这一现象。 ．关键词 活到自然寿命健康 ．引言 随着社会的发展，人们的物质生活水平得到提高，对健康问题也越发重视那么在物质丰富的今天人类为什么又不能活到自然寿命呢 ?为了对这个现象有一个清醒的认识我们便对这个问题展开一系列的研究希望能找到一些线索或许对人类的健康有一定的指导意义。 ．正文 我们现在所说的健康不仅指的是肢体，心理上的健康还包括社会适应上处于完美状态。据资料的不完全统计.人类的寿命受遗传，医疗条件，社会环境气候条件和依靠自己建立的生活方式心理行为习惯等诸多因素的影响。其中遗传占到15%，医疗条件8% ，社会环境10% 气候条件7% 自己的生活方式和习惯占60%。可见一个人的寿命是多种条件共同作用的结果。那么按照细胞的正常代谢人的自然寿命会是多少呢？古代的中医学家认为原始人达到了自然寿命，现代自然寿命推算有两种1日本的蒲丰氏《寿命系数学说》提供的方法是：哺乳动物的寿限是生长期的5--7倍。人的生长期是25年，因此寿命因该是125--175，2美国科学家海费里克提出用肺成纤维细胞的分裂次数来推算，人的肺成纤维细胞可分裂40--60，所需要的时间为110年，因此认为人的寿限是110岁，3也有学者按性成熟期来推算，寿限是成熟期的8--10倍，人的性成熟期是14年，寿限应该是112--140.但据统计现代人的平均寿命是78岁，还远远达不到上述的自然寿命。是什么导致人类不能活到自然寿命呢？ 气候条件

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法

设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-． 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==， 则得到的式错误的结果． 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在

求极限的常用方法

求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x