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08练习题解答:第八章 单总体假设检验

第八章 单总体假设检验

练习题:

1. 某市去年进行的调查显示该市市民上下班花费的平均时间为75.45分钟。今年 有两条地铁线路开通,今年某报社在全市随机抽取了60名市民对其上下班时间进行调查,调查结果如下表所示:(单位:分钟)

60 60 56 48 48 70 80 70 55 70 75 65 120 60 54 54 20 50 60 60 90 58 36 80 60 68 90 58 64 64 80 40 45 58 54 50 40 58 70 58 50 48 62 64 55 36 80 40 48 66 58

58

50

38

68

100

80

90

88

65

(1)请计算这60名市民今年每天上下班在公交车上花费的时间的平均数x 和标准差S 。

(2)请陈述研究假设1H 和虚无假设0H 。

(3)若显著性水平为0.05,能否认为该市市民上下班变得更加便利了。

解: (1) x 60+60++88+653700

=

= 61.676060

= ,

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17.10S ==

==

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(2)研究假设1H :75.45μ<

虚无假设0H :75.45μ≥ (3)采用Z 检验:,

=

=

=-61.6775.45 6.24x Z ,

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假设方向明确,采用一端(左)检定,显著性水平为0.05时,否定域 1.65Z ≤-,检验统计值(Z=-6.24<-1.65)落在否定域中,因此可以否定虚无假设,接受研究假设,也就是说在0.05的显著性水平上,该市居民上下班变得更加便利了。

2.某大学去年的调查显示,该校学生每周体育锻炼平均时间为5.2个小时,今 年在全校6000名学生中随机抽取了20名学生进行调查,得到下面的数据:(单 位:小时)

5.5

4 3 3 3.

5 2.5 5 9

6 4 4

2

8

12

7

6

8

9

2

4

(1)请计算这20学生每天体育锻炼时间的平均数和标准差S 。 (2)请陈述研究假设1H 和虚无假设0H 。

(3)若显著性水平为0.05,能否认为该校学生体育锻炼的时间有所增加?

解:(1) 5.5426107.5

5.38220

x ++++=

=== ;

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2.72S ==

==

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(2)研究假设1H : 5.2μ>

虚无假设0H : 5.2μ≤ (3)采用小样本t 检验:

df

=20-1=19

0.288x x t SE μ-=

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=== 假设方向明确,采用一端(右端)检验,显著性水平为0.05时否定域为 1.729t ≥, 检验统计值(t =0.028<1.729)没有落在否定域中,因此不能否定虚无假设,即在0.05的显著性水平下,不能认为该校学生体育锻炼的时间有所增加。

3.2007年某市抽烟的成年人的比例为41%,今年在该市随机调查了500名成年 人,发现抽烟的有180名,若显著性水平为0.05,能否认为该市抽烟的成年人的 比例有所下降?

解:研究假设1H :41%P <

虚无假设0H :41%P ≥ 样本中抽烟的成年人的比例:

180

36%500

p =

= 采用Z 检验:

2.27p P

Z SE

-=

==

=-

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假设方向明确,采用一端(左)检验,显著性水平为0.05时,否定域 1.65Z ≤-,统计检验值(Z =-2.27<-1.65)落在否定域中,因此可以否定虚无假设,接受研究假设,即在0.05

的显著性水平下,该市抽烟的成年人的比例有所下降。(注:本题原来的解答过程有误)

4.某产粮大县去年的小麦亩产是400千克,今年小麦播种采用了新的品种,该 县农业部门在夏粮收获后,随机抽取了120亩进行调查,调查发现平均亩产为 420千克,标准差为30千克,能否认为新品种的产量比老品种有所增加?(显 著性水平为0.05)

解: 研究假设1H :400μ>,

虚无假设0H :400μ≤. 采用Z 检验:

=

=

=4204007.303

x Z

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假设方向明确,采用一端(右)检定,显著性水平为0.05时否定域 1.65Z ≥,检验统计值(Z =7.303>1.65)落在否定域中,因此可以否定虚无假设,接受研究假设,即在0.05的显著性水平下,认为新品种的产量比老品种有所增加。

5. 武汉某学校一次家长会上,大多数家长认为在节假日自己的孩子每天看电视 的时间(C11)都大于两个半小时,武汉市初中生日常行为状况调查的数据 (data9)是否支持这样的说法?(显著性水平0.05α=)

解:《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》:

C11 请你根据自己的实际情况,估算一天内在下面列出的日常课外活动上所花的时间

大约为(请填写具体时间,没有则填“0”)

节假日:2)看电视_______小时 SPSS 的操作步骤如下:

1依次点击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test ,打开如图8-1(练习)所示的T 检验对话框。将变量“节假日一天看电视时间(c11b2)”放在Test Variable(s)栏中。

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图8-1(练习) One-Sample T Test 检验对话框 ○

2在 Test Value 窗口中输入2.5。

○3Options各项取默认值,即显著度是95%和只剔除分析变量为缺失值的个案。如图8-2(练习)所示。

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图8-2(练习) t检验的置信度和缺失值选项框

○4单击OK 提交运行。可以在输出结果窗口看到表8-1(练习)和表8-2(练习)。

表8-1(练习)单一样本T检验的基本描述统计量

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表8-2(练习)单一样本T检验的结果

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表8-1(练习)是简单描述统计结果,即调查了516人,初中生节假日一天看电视的平均时间为2.322小时,标准差为1.8221。表8-2(练习)是t检验的结果,由表8-1(练习)可知,初中生每天看电视的平均时间为2.322小时,那么这一结果在总体中是否真实存在?可以通过假设检验来说明,研究假设(H1)为节假日中学生每天看电视的时间小于2.5小时,原假设(H0)为学生看电视的时间大于2.5小时。通过表8-2(练习)可知,在假设初中生节假日一天看电视的平均时间为2.5小时的情况下,t值为-2.225,自由度df为515,表8-2(练习)给出的是双尾t检验的P值0.027,但是因为该题目考察的是初中生节假日一天看电视的时间是否大于2.5小时,因此采用的是右端检验,右端检验的P值为双尾检验的一半,即0.027/2,等于0.0135,小于0.05,所以在0.05的显著性水平下通过了显著性检验,否定原假设,接受研究假设,即初中生每天看电视的时间低于2.5小时。

也可以根据t值的结果进行判断,在0.05的显著性水平下,自由度是515时,单尾检验时否定域为t<-1.65或t>1.65,这里的结果t=-2.225<-1.65,落在了否定域中,也就是说在0.05的显著性水平下通过了显著性检验,否定原假设,接受研究假设,即初中生每天看电视的时间低于2.5小时。

6.某报刊宣称现今初中男生女生比例失调,并认为女生比例小于一半,武汉市

初中生日常行为状况调查的数据(data9)是否支持这样的看法?(显著性水平α=)

0.05

解:《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》:

A1 你的性别 1)女 2)男

SPSS的操作步骤如下:

○1data9数据中,“女”的取值是“1”,“男”的取值是“2”,需要将之变换成0-1取值的变量。运用Transform→Recode→Into Different Variables生成新变量“是否为女生(a1bh)”,其中“女”取值为“1”,“男”取值为“0”。

○2依次点击Analyze→Compare Means→One-Sample T Test,打开如图8-3(练习)所示的T 检验对话框。将变量“是否为女生(a1bh)”放置在Test Variable(s)栏中。

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图8-3(练习) One-Sample T Test检验对话框

○3在Test Value 窗口中输入0.5。

○4Options各项取默认值,即显著度是95%和只剔除分析变量为缺失值的个案。

○5单击OK 按钮,提交运行。可以在SPSS输出结果窗口看到表8-3(练习)和表8-4(练习)。

表8-3(练习)单一样本T检验的基本描述统计量

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表8-4(练习)单一样本T检验的结果

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表8-3(练习)是简单描述统计结果,即调查了526人,女生的比例为47.53%。研究假设H1为男女比例失调,女生少于男生,原假设(虚无假设)H0则为男女比例不失调,两者比例相当。表8-4(练习)是t检验的结果,即在假设总体的女生比例为50%的情况下,计算t值为-1.134,自由度df为525,表中给出的是双尾t检验的P值,但是因为该题目考察的是初中生中女生的比例是否小于50%,也就是说研究假设(H1)为女生的比例小于50%,虚无假设(H0)则为女性比例不低于50%,因此要采用的是左端检验,左端检验的P值等于双尾检验的一半,即0.257/2,等于0.1285,大于0.05,不能排除H0,也就说,在0.05的显著性水平下,没有通过显著性检验,因此不能支持武汉市初中生性别比例失调的说法。

同样,也可以根据计算的t值,与自由度是525显著性水平为0.05的单尾检验的t值进行比较,t=-1.134> -1.65结果落在了接受域中,因此在0.05的显著性水平上,不能拒绝虚无假设,也就是说不能支持武汉市初中生性别比例失调的说法。