模糊数学方法

模糊数学方法

在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。

根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。

模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。

在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。

第1节模糊聚类分析

1. 模糊集的概念

对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x?A，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：

A x x A x A

()=

∈

??

?

?

1

A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。

定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。

如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。

x1：85分，即A(x1)=0.85

x2：75分，A(x2)=0.75

x3：98分，A(x3)=0.98

x4：30分，A(x4)=0.30

x5：60分，A(x5)=0.60

这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。

定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 ≤λ≤ 1，记Aλ=｛x｜x∈X, A(x)≥λ｝,称Aλ为A的λ截集。

Aλ是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平λ (0 ≤λ≤ 1) 来确定其隶属关系。λ截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A是一个具有游移边界的集合，它随λ值的变小而增大，即当λ1 <λ2时，有Aλ1∩Aλ2。

定义3 模糊集运算定义。若A 、B 为X 上两个模糊集，它们的和集、交集和A 的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：

(A ∨B ) (x )= max ( A (x ), B (x ) ) (A ∧B ) (x )= min ( A (x ), B (x ) )

A C (x )=1－A (x )

关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。

定义4 若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊单位阵，记为I ；模糊零矩阵，记为0；元素皆为1 的矩阵用Ｊ表示。

定义5 若A 和B 是n ×m 和m ×l 的模糊矩阵，则它们的乘积C =AB 为n ×l 阵, 其元素为：

C ij =∨∧=k m ik kj a b 1

()

(i =1, 2, …, n ; j =1, 2, …, l ) (20.1)

符号“∨”和“∧”含意的定义为： a ∨b =max(a , b )，a ∧b =min(a , b )。

模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB )C =A (BC )；2) AI =IA =A ；3) A 0=0A =0; 4) A Ｊ=ＪA ; 5) 若A 、B 为模糊矩阵且a ij ≤ b ij (一切i , j )，则A ≤B ，又若A ≤B , 则AC ≤ BC ，CA ≤CB 。

2. 模糊分类关系

模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义： 定义6 n 个样品的全体所组成的集合X 作为全域，令X ?Y =｛(X , Y )｜x ∈X , y ∈Y ｝,则称X ?Y 为X 的全域乘积空间。

定义7 设R 为X ?Y 上的一个集合，并且满足：

1) 反身性: (x i , y i )∈R ，即集合中每个元素和它自己同属一类；

2) 对称性: 若(x , y )∈R ，则(y , x )∈R ，即集合中(x , y )元素同属于类R 时, 则(y , x )也同属于R ； 3) 传递性: (x , y )∈R ，(y , z )∈R ，则有(x , z )∈R 。 上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R 为一分类关系。

聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类，

模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。 3. 模糊聚类

利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下：

(1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第17章系统聚类分析一节。

(2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数R ,Ｒ(i , j )

表示i 与j 之间的相似程度，当Ｕ为有限集时，R 是一个矩阵，称为相似系数矩阵。定义相似系数矩阵的工作，原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法，但也可以用主观评定或集体打分的办法。DPS 平台，对数据集

X =????

???

?????

?x x x x x x x x x n m

m m

n n nm 11

12121

2221

2

提供了以下8种建立相似矩阵的方法：

①相关系数法： ②最大最小法：

③算术平均最小法：

④几何平均最小法： ⑤绝对指数法：

⑥绝对值减数法： ⑦夹角余弦法：

⑧欧氏距离：

(3) 聚类分析。用上述方法建立起来的相似关系R ，一般只满足反射性和对称性，不满

足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将R 改造成R *后得到聚类图，在适当的阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将R 改造成R *，可用求传递闭包的方法。。R 自乘的思想是按最短距离法原则，寻求两个向量x i 与x j 的亲密程度。

假设R 2=(r ij )，即r ij =k n

=∨

1(r ik ∧r kj )，说明x i 与x j 是通过第三者K 作为媒介而发生关系，

r ik ∧r kj 表示x i 与x j 的关系密切程度是以min(r ik , r kj )为准则，因k 是任意的, 故从一切r ik ∧r kj 中寻求一个使x i 和x j 关系最密切的通道。R m 随m 的增加，允许连接x i 与x j 的链的边就越多。由于从x i 到x j 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相当于r ij

∝

。

在实际处理过程中，R 的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速度，通常采取如下

处理方法：

R →R 2→R 4→R 8→…

→R 2k

即先将R 自乘改造为R 2，再自乘得R 4，如此继续下去，直到某一步出现R 2k =R k =R *。此时R *满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R )就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R *)。

(4) 模糊聚类。对满足传递性的模糊分类关系的R *进行聚类处理，给定不同置信水平

的λ，求R λ*

阵，找出R *的λ显示，得到普通的分类关系。当λ=1时，每个样品自成一类，随λ值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。 4. DPS 平台操作示例

首先在编辑状态下输入编辑数据，格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量，然后

将待分析的数据定义成数据矩阵块，在菜单方式下选择“模糊数学→模糊聚类”功能项，回车执行时，系统将提示用户选择数据转换方法：

0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化 作出数据转换方式的选择后，系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法，共有上面所述的8种方法可供选择。

分析输出的结果包括各个样本的联结序号、联结水平、聚类谱系图索引及在屏幕上显示

聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按S 将图形文件以“.BMP ”格式存放在盘上，然后可在Windows 有关应用软件中调出)。

第2节 模糊模式识别

1. 方法简介

“模式”一词来源于英文Pattern ，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。

模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类，即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。

模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近

原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知n 个类型在被识别的全体对象U 上的隶属函数，则可按隶属原则进行归类。此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模糊变量x ，其隶属度为 A x x a b ()=--?? ?????????

??e

2

其中a 为均值，b 2

=2σ2

, σ2

为相应的方差。按泰勒级数展开，取近似值得

A x x a b x a b x a b

()=--?? ???-<->????

?102

若有n 种类型m 个指标的情形，则第i 种类型在第j 种指标上的隶属函数是

A x x a b x a b a b x a a x a x a b a x a b a b x

ij ij

ij

ij ij ij

ij ij ij

ij

ij ij

ij

ij ij

ij

ij ()(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

()

()

()

()

()

=≤---??

????-<<≤≤--?? ????<<++

???

?

?????011

102

222222

其中a ij

(1)

和

a ij

()

2分别是第i 类元素第j 种指标的最小值和最大值，

b ij ij

2

2

2=σ

, 而

σ

ij

2是第i 类元

素第j 种指标的方差。

(2) 若有n 种类型(A 1, A 2, …, A N ), 每类都有m 个指标，且均为正态型模糊变量，相应的

参数分别为

a ij

(1)

,

a ij

()

2,

b ij

(i =1, 2, …, n ; j =1, 2, …, m )。其中，

a x ij

ij (1)

m in()

=,

a x ij

ij ()

2=max()

,

b ij ij

2

2

2=σ

, 而

σ

ij

2是x ij 的方差。待判别对象B 的m 个指标分别具有参数a j , b j (j =1, 2, …, m )，

且为正态型模糊变量，则B 与各个类型的贴近度为

(,)(()(()

)

()

()

()

()

()

)

()

A a a b b a a b b a b b a a a a a a a b b a a a b b ij j ij j ij j ij j ij ij

j ij j ij ij

j ij

j ij j ij ij

j ij j ij B =≤----+?? ????--<<≤≤--+?? ??

??<<++01121

112112

11122222

)

()()

2a b b a

ij j ij j

++≤???????

??????

记S i =

m in ()

1≤≤j m

ij A ,B ，又有S i 0=

m ax ()

1≤≤j n

i S ，按贴近原则可认为B 与A i 0最贴近。

图30-3 模糊识别分析的数据编辑定义图

根据如上介绍，DPS 系统中设计了两个功能模块：一是根据在集合上的隶属函数，按

隶属原则识别对象，判定样本的类别归属；二是根据模糊集两两之间的贴近度，按择近原则，确定出最接近的两个模糊集。 2. DPS 平台的操作示例

系统规定数据输入的格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量。最右边的一列为样

本的已知类别(如1, 2, …)。（注意每一类中至少要有三个样本）。对于待判别的样本, 其分类类别用0表示。所有待分析数据(连同类别一起)需定义成数据块， 然后进入菜单操作，选择“模糊数学→模糊识别”功能项，回车执行后即可输出分析结果。输出结果包括各类参数(变量名、最小值、最大值、标准差和参数B )和各待判样本的归类结果(样本序号、对各类贴近度的最大值、最贴近的类号)。 注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。

例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态根据最优分割结果

分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗?缓和?猖獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主→纯双季稻→单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来的历史资料按上页图30-3方式整理编辑和定义。

完成数据编辑定义之后，执行选项功能“模糊识别”，便可得到如下结果：

从分析结果可以看出，1989年和1990年三化螟发生动态仍和前几年相似，表明农业生态系统是相对稳定的。

第3节模糊相似优先比方法

1. 方法简介

相似优先比是模糊性度量的一种形式，它是以成对的样本与一个固定的样本作比较，确定哪一个与固定样本更相似，从而选择与固定样本相似程度较大者。

假定样本x i和x j与固定样本x k进行比较，其相似优先比R ij 必须满足如下要求：

(1) 若R ij在[0.5, 1.0]之间，则表示x i比x j优先。

(2) 若R ij 在[0.0, 0.5]之间，则表示x j 比x i 优先。

(3) 在极值情形下有三种可能：如果R ij =1，则表示x i 比x j 显然优先；如果R ij =0，则表示x j 比x i 显然优先；如果R ij =0.5，则x i 和x j 不分伯仲，优先无法确定。

在模糊优先比分析中，一般采用海明(Harming)距离作为相似优先比中R ij 的测度。如对

样本x i 和样本x j 与固定样本x k 之间进行比较，海明距离可定义为

r d d d ij ki ki kj

=

+

R ji = 1－R ij

式中 d ki =|x k -x i |，d kj =|x k -x j |，接下来，对给定的一样本集合X ={x 1, x 2, …, x n }和固定样本x k ，令任意x i 、x j ∈X 和x k 作比较，即计算两两样本间的相似优先比，从而得到模糊相关矩阵：

R =(r ij )

r i j n ij ∈=??

?[,],,,,0112

建立模糊相似矩阵之后，由λ水平集选出相似样本，亦即在相似矩阵中，从大到小地选定λ值，以在λ值下降过程中首先到达的除主对角线元素外全行都为1的那一行的样本最相似，然后删除矩阵相应的行和列，并降低λ水平值，继续寻找。依此类推，直至截距处理完毕。

一般情形下，若每个样本有m 个因素，则对每一因素都有一个模糊相似矩阵，所以，每一样本的每一因素都将产生一个反映相似程度的序号值，最后将每一样本各个因素的序号值相加，其结果便是该样本与固定样本相似程度的综合反映。

样本的序号值越小，该样本与固定样本就越相似，但严格地说，各个因素对样本的影响程度是不一样的，因此有必要给各个因素赋予一定的权重，这样得到的结果将更符合实际情况。所以当，用户在对有关因素影响的轻重程度有比较大的把握，或在分析中需突出某个因素时，可对各个因素进行加权处理以达到更好的分析效果。 2. DPS 平台的操作示例

数据的输入编辑格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量， 最右边的一列为已知

样本的代码(用1表示)和待识别样本的代码(用0表示)，并将数据和待识别样本一起定义成数据块。

在菜单下选择“模糊数学→相似优先比分析”，执行该项功能后系统将输出分析结果。结果包括待识别样本与各样本间的海明距离以及待识别样本与其它样本各个因素的模糊优先比矩阵R ，最后给出待判样品对各已知样品各变量相似程度和待判样品对各已知样品的优先比值，并按顺序排列。

例如，高素华(1981)对日本柑橘主要产地之一福冈和我国合肥、武汉、长沙、桂林、温州和成都等7地柑橘生长的农业气候相似程度进行了分析，选用各地年均温、年降水量、年日照时数、年极端最低气温和1月均温作为相似因子。现运用模糊相似优先比方法在DPS 平台上进行分析。其数据输入、编辑整理和数据块的定义如图30-4所示，

图30 4 模糊优先比分析的数据编辑定义图

在执行运算时，系统会提示用户输入各个因素权重比例(注意各比例之和须等于1)，这时如直接回车表示不考虑加权处理。本例分析结果如下。

从分析结果来看，上海、长沙与福冈柑橘生产的农业气候条件最相似，而合肥的相似程度最小。

第4节模糊综合评判

1. 方法简介

综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇到的问题，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模

糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型，在此仅介绍一级模型。采用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：

(1) 建立评判对象因素集U ={u 1, u 2, …, u n }。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们能综合地反映出对象的质量，因而可由这些因素来评价对象。 (2) 建立评判集V ={v 1, v 2, …, v n }。如工业产品的评价，评判集是等级的集合；农作物种植区域适应性的评价，评判集是适应程度的集合。

(3) 建立单因素评判，即建立一个从U 到F (V )的模糊映射

f U F V u U

i :(),→?∈

u f u r v r v r v i i i i im m

→=

+

++

()11

22

0≤r ij ≤1, 1≤ i ≤ n , 1≤ j ≤m 由f 可以诱导出模糊关系，得到模糊矩阵

R =????

????

????r r r r r r r r r m m

n n nm 1112121

2221

2

称R 为单因素评判矩阵，于是(U , V , R )构成了一个综合评判模型。

(4) 综合评判。由于对U 中各个因素有不同的侧重，需要对每个因素赋予不同的权重，

它可表示为U 上的一个模糊子集A =(a 1, a 2, …, a n )，且规定a i i n

==∑1

1.

在R 与A 求出之后，则综合评判模型为B =A ο R 。记B =(b 1, b 2, …, b m )，它是V 上的一

个模糊子集，其中

b a r j i n

i ij =∨∧=1

()

(j =1, 2, …, m )。

如果评判结果b j j m

≠=∑1

1，就对其结果进行归一化处理。

从上述模糊综合评判的4个步骤可以看出，建立单因素评判矩阵R 和确定权重分配A

是两项关键性的工作，但同时又没有统一的格式可以遵循，一般可采用统计实验或专家评分的方法求出。在DPS 平台上，只是根据给出的评判矩阵R 和确定的权重分配A 进行综合评判处理。但是，用户可以在平台上利用公式计算，根据定义公式，计算其隶属函数。 2. DPS 平台的操作示例

根据给定的评估数据(评判矩阵R )和最终的评价结果(权重分配A )，确定出该类评估近

似的权分配系数。

例如对某教师讲课质量进行综合评定。已知因素集合U 为: U ={教材熟练，逻辑性强，启发性强，语言生动，板书整齐}，评语集合V ={很好, 较好, 一般, 不好}。 首先，建立评估集合(评判矩阵)，即评价矩阵数据编辑和定义。在DPS 平台上，以行代表因素集，列代表评语集。每一行为因素集U 中某一单因素的评价结果，最后一行存放最终评价值(建立权重分配)，本例的权重分配为A =(0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1)并放在数据块的最后一行。最后，评价矩

阵数据块可按图30-5格式输入及定义：

图30-5 模糊综合评判的数据编辑定义图

完成评估数据(评判矩阵R )和最终的评价结果(权重分配A )数据块的编辑及定义之后，

在菜单下选择“模糊数学→模糊综合评判分析”功能项，回车执行后即得分析结果。评判结果表明，对该教师的课堂教学认为“很好”的占35.29%,“较好”的占29.41%,“一般”的占23.53%，“不好”的占11.76%。根据最大隶属原则，结论是“很好”。

第5节 模糊关系方程求解

1. 方法简介

模糊关系方程是模糊数学的一个重要组成部分。如下所示，它其实是模糊综合评判的逆

问题。

输入输出输入输出A

A R B

B A A R B

B

R

R

?→

????→?????→

????→

???====.?

?

.

这类问题具有普遍实际意义。如一些老专家、老中医或具有丰富经验的实际工作人员，

在他们的头脑里，经验和技术常归结于对诸因素有一种优越的权数分配方案，这些难以言传的经验和技术，可望利用模糊数学原理，借助计算机技术进行模拟并保存下来。

在DPS 系统中，求解模糊关系方程采用徐罗曹李方法(汪培庄 1983)。其求解过程首先

考虑X ο R =B 类型的模糊关系方程：

(x ,x ,...,x )(b ,b ,...,b )

12n 12m

?????

???

?

????=r r r r r r r r r m m

n n nm 11

12121

2221

2

按照模糊合成运算的最大?最小法则，上式可化为下面一组线性等式，称为模糊线性方程:

()()...()()()...()...

......

...

...

...

()()...()r x r x r x b r x r x r x b r x r x r x b n n n n m m nm n m

11121211121222221122∧∨∧∨∨∧=∧∨∧∨∨∧=∧∨∧∨∨∧=??

?

??

??

因此，求解模糊关系方程实际上就是对上述方程组的求解，其步骤简述如下：

(1) 标准化排列。将向量B 写于A 的上方，按b b b m 1

2≥≥≥...的次序更换向量B

的分量，

同时矩阵R 也作相应的更换，由此得到矩阵的标准化排列。

(2) (2) 上铣。按上述规则更换后的矩阵，对每一个j (j =1, 2, … m )，用

b j

的上铣第j

列，即若

r b ij j

>，将

r ij

变成

b j

；若

r b ij j

≤，将

r ij

变成空元φ。从而得到新的r ij ，

用r ’ij 表示：

r b r b r b ij j

ij j ij j '

()()

=>≤??

???φ

(3) 求下确界。对上铣后所得矩阵的各行求下确界，得向量U R =(ur 1, ur 2, …, ur n )，并

定义空元的下确界为1。

(4) 平铣。将上铣出来的矩阵称为平铣矩阵，即对每一个元素j 分别用

b j

平铣R 的第j

列：若r b ij j

≥，将

r ij

变成

b j

；若

r b ij j

<，将

r ij

变成空元φ。这样得到新的r ij ，以

r ij

''

表示：

r b r b r b ij j

ij j ij j ''

()()

=≥

???φ

(5) 划元。对平铣后的矩阵，逐行划去该行中大于上界即第i 行大于u R i 的元素。 (6) 判别。若原方程有解，则上一步所得矩阵的每一列都有未被划去的非空白元素。

(7) 求解。从经过划元后所得的矩阵中的每一列，选定一个非空白、且未被划元的元素，

对这些当选元素逐行取上确界，并规定空集φ的上确界为0。这样得到的一组解为“拟极小解”。当被选元素不同时，可得到多个“拟极小解”。

最后得到的解之所以称为“拟极小解”，因为它们不一定都是极小解，它们相互之间还可能存在重合或优劣的模糊关系，需进一步进行筛选。实际上，当方程经判别有解时，第三步所求的上界就是方程的最大解。 应用DPS 平台求解模糊关系方程时，当模糊方程有解时，系统将给出最大解和最小解，如模糊方程无解时则提示没有解。

2. DPS 平台的操作示例

在平台上求解模糊关系方程时，其数据编辑格式是: 行为因素集，列为评语集，每一行为因素集U 中某一单因素的评价结果，最后一行存放整个因素集U 的综合评价结果，然后将数据定义成数据块。如对某单位的管理工作进行“民意测验”，得综合评价矩阵和最终评价结果，并按系统规定格式编辑整理数据和定义数据块，如图30-6。 然后，在菜单下选择“模糊数学→模糊关系方程”功能项，回车执行后即得到归一化之后的分析结果，详见于后。

注意：本系统最多可处理50个因子的因子集。

图30-6 求解模糊关系方程的数据编辑、定义示意图

第6节 综合评判的逆问题

1. 方法简介

前面的模糊综合评判和模糊关系求解是综合评判的正反两个方面。由于权重分配A 的

确定并无通用公式，所以它的正确与否往往只能取决于专家的判断或经验，而这些又是很难用数学公式表达出来的。与之相反，权重分酏B 可以通过实践的检验建立起来。由R 和B 反过来求A ，有利于总结专家的经验，使它得到量化。同样道理，由A 和R 而求R 可以帮助我们检验建立起来的数学模型是否合适。从这个角度来看，综合评判的逆问题比其正问题更有意义。

上面介绍的模糊关系方程求解，即求解综合评判逆问题时，其方程可能有解，也可能无解。有解时，解也可能有多个，这需根据实际情况作出恰当选择。若无解，又应当怎么办呢？ DPS 系统提供根据贴近原则解模糊关系方程的方法。

首先选择一些备择解的集合，设它们为J ={A 1, A 2, …, A n }，然后用贴近度原则在备择解集{A 1,

A 2, …, A n }中选取一个A i 作为模糊关系方程X οR =

B 中的X 。将A i 与R 进行合成：

A R

B A R B A R B n n

1122

===???

??

??.........

求出A 之后，再用贴近度公式

[]

(,),()A B A B A B i i i =

+-

1

2

1⊙

分别求出B 与A 1, A 2, …, A n 的贴近度，选最大者作为近似的X *，将它作为方程的近似解。

2. DPS 平台操作示例

根据给定的评估数据(评判矩阵R 、最终的评价结果B 和备择权重方案A , 给出与预定若

干个权重数分配方案的贴近程度，从而确定出该类评估近似的权分配系数。这是一种近似求解模糊关系方程的方法，也可用来评价某一类量对于某些标准定量的贴近程度。

(1) 评估集合。评价矩阵的数据编辑和定义格式是行为因素集，列为评语集。每一行为

因素集U中某一单因素的评价结果，最后一行存放整个因素集U的综合评价结果，再将数据定义成数据块。例如，对某品牌的自行车进行评价，已知因素集合U={外型, 质量, 价格}，评语集合V={很好, 较好, 一般, 较差}，其评价矩阵数据可按图30-7格式定义。

图30-7 贴近度解模糊关系方程评语集及评价结果数据编辑定义图

(2) 可能的权分配方案集合(A)的矩阵数据编辑和定义。每一行为一个权的分配方案，每一列为某一个因素的权重。数据编辑后将数据定义成公式块。如上例根据对顾客的心理分析，提出了四种可能的权分配方案，其数据按图30-8方式编辑和定义。注意，此处的数据块定义时，须在按下Ctrl的同时拖动鼠标。

图30-8 贴近度解模糊关系方程权重备择方案数据编辑定义图

完成评估数据(评判矩阵R)、最终的评价结果B以及备择权重分配A的数据的编辑、定义之后，再进入菜单操作，在菜单方式下选择“模糊数学→综合评判逆问题”分析功能项，回车后便可得到归一化之后的分析结果。

从上述分析结果可以看出，在权重备择集中应选A4作为近似的X*，即

X* = (0.7, 0.25, 0.05)

采用此方法，如果备择权分配方案太少，计算结果会不太理想。因此在实际应用时，为取得较满意的结果，应当尽可能多地建立一些权重分配方案。

模糊方法

模糊数学方法 在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。 第1节模糊聚类分析 1. 模糊集的概念 对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x?A，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为： A x x A x A ()= ∈ ?? ? ? 1 A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。 定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。 如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。 x1：85分，即A(x1)=0.85 x2：75分，A(x2)=0.75 x3：98分，A(x3)=0.98 x4：30分，A(x4)=0.30 x5：60分，A(x5)=0.60 这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。 定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 ≤λ≤ 1，记Aλ=｛x｜x∈X, A(x)≥λ｝,称Aλ为A的λ截集。 Aλ是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平λ (0 ≤λ≤ 1) 来确定其隶属关系。λ截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A是一个具有游移边界的集合，它随λ值的变小而增大，即当λ1 <λ2时，有Aλ1∩Aλ2。

模糊数学评价方法教程

模糊综合评价法（见课件） 模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性． 一、单因素模糊综合评价的步骤 1． 根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集 合 },,,{21m u u u U = 例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}． 2． 给出评价等级（evaluation grade ）集合 },,,{21n v v v V = 如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3． 确定各评价指标的权重（weight ） },,,{21m W μμμ = 权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，

经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ． 4．确定评价矩阵R 请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R 同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为 ()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2 .03=R 那么该项成果的评价矩阵为 ???? ? ??=????? ??=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价 通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ?=1)(μ，n m ji r R ?=)(，那么 ()()n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R W S ,,,,,,212 1 22221 11211 21 =???? ?? ? ??==μμμ 其中“ ”为模糊合成算子． 进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通 常有四种： (1) ),(∨∧M 算子

模糊评价方法的基本步骤

模糊综合评价 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。其基本步骤可以归纳为： ①首先确定评价对象的因素论域 可以设N 个评价指标，12(,, ...)n X X X X =； ②确定评语等级论域 设12n =(W ,W , ...W )A ，每一个等级可对应一个模糊子集，即等级集合。 ③建立模糊关系矩阵 在构造了等级模糊子集后，要逐个对被评事物从每个因素(=1,2,,n)i X i ……上 进行量化，即确定从单因素来看被评事物对等级模糊子集的隶属度i X （R ），进而 得到模糊关系矩阵11112122122212nm ......=..................m m n n n nm X r r r X r r r X r r r ??????????????????????????（R ）（R ）R=（R ），其中，第i 行第j 列元素，表示某个被评事物i X 从因素来看对j W 等级模糊子集的隶属度。 ④确定评价因素的权向量 在模糊综合评价中，确定评价因素的权向量：12(,, ...)n U u u u =。一般采用层 次分析法确定评价指标间的相对重要性次序。从而确定权系数，并且在合成之前归一化。 ⑤合成模糊综合评价结果向量 利用合适的算子将U 与各被评事物的R 进行合成，得到各被评事物的模糊综合评价结果向量B 即：

111212122 2121212nm ......(,, ...)(,, ...)...............m m n m n n nm r r r r r r U R u u u b b b B r r r ??????===?????? 其中，i b 表示被评事物从整体上看对j W 等级模糊子集的隶属程度。 ⑥对模糊综合评价结果向量进行分析 实际中最常用的方法是最大隶属度原则，但在某些情况下使用会有些很勉强，损失信息很多，甚至得出不合理的评价结果。提出使用加权平均求隶属等级的方法，对于多个被评事物并可以依据其等级位置进行排序。

模糊数学方法在财务报表分析中的应用

财务分析是企图了解一个企业经营业绩和财务状况的真实面目，从晦涩的会计程序中将会计数据背后的经济涵义挖掘出来，为投资者和债权人提供决策基础。由于会计系统只是有选择地反映经济活动，而且它对一项经济活动的确认会有一段时间的滞后，再加上会计准则自身的不完善性，以及管理者有选择会计方法的自由，使得财务报告不可避免地会有许多不恰当的地方。虽然审计可以在一定程度上改善这一状况，但审计师并不能绝对保证财务报表的真实性和恰当性，他们的工作只是为报表的使用者作出正确的决策提供一个合理的基础，所以即使是经过审计，并获得无保留意见审计报告的财务报表，也不能完全避免这种不恰当性。这使得财务分析变得尤为重要。 一、财务分析的主要方法 一般来说，财务分析的方法主要有以下四种： 1.比较分析：是为了说明财务信息之间的数量关系与数量差异，为进一步的分析指明方向。这种比较可以是将实际与计划相比，可以是本期与上期相比，也可以是与同行业的其他企业相比； 2.趋势分析：是为了揭示财务状况和经营成果的变化及其原因、性质，帮助预测未来。用于进行趋势分析的数据既可以是绝对值，也可以是比率或百分比数据； 3.因素分析：是为了分析几个相关因素对某一财务指标的影响程度，一般要借助于差异分析的方法；

4.比率分析：是通过对财务比率的分析，了解企业的财务状况和经营成果，往往要借助于比较分析和趋势分析方法。 上述各方法有一定程度的重合。在实际工作当中，比率分析方法应用最广。二、财务比率分析 财务比率最主要的好处就是可以消除规模的影响，用来比较不同企业的收益与风险，从而帮助投资者和债权人作出理智的决策。它可以评价某项投资在各年之间收益的变化，也可以在某一时点比较某一行业的不同企业。由于不同的决策者信息需求不同，所以使用的分析技术也不同。 1.财务比率的分类 一般来说，用三个方面的比率来衡量风险和收益的关系： 1)偿债能力：反映企业偿还到期债务的能力； 2)营运能力：反映企业利用资金的效率； 3)盈利能力：反映企业获取利润的能力。 上述这三个方面是相互关联的。例如，盈利能力会影响短期和长期的流动性，而资产运营的效率又会影响盈利能力。因此，财务分析需要综合应用上述比率。 2.主要财务比率的计算与理解：

模糊数学综合评价模型

三种电视机模糊综合评价模型 摘要 本文通过顾客对三种电视机的图像，价格，音质三种评价因素建立的模糊综合评价的模型，此模型首先设定了评价指标因素集U 和评语集V ,从而建立了评价矩阵R , 然后根据评价指标权重集A 最后分别运用了四个算子，进而采用了加权平均原则的方法建立了如下四个模型，最终得出 模型一：运用① 算子和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出11 2.73B =，12 2.62B =，13 2.46B =，即第一种电视机最受顾客青睐 模型二：运用② 和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出21 2.72B =，22 2.75B =，23 2.51B =，即第二种电视机最受顾客青睐 模型三：运用③ 算子和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出31 2.71B =，32 2.58B =，3 3 2.32B =，即第一种电视机最受顾客青睐 模型四：运用④ 算子和最大隶属原则方法对三种电视机建立模糊 综合评价模型，得出41 2.75B =，4 2 2.71B =，43 2.39B =，即顾客对第二种电视机做出综合评价较好。 综合四个模型这三种电视机的综合评价在较好和可以之间并且在这三种电视机中第一种电视机最受顾客青睐，第二种次之，第三种最不受欢迎。 关键词：综合评价 模糊数学 加权平均原则 算子 ),(∨∧M (,)M ?∨算子),(⊕∧M ),(⊕?M

一、问题重述 在对电视机质量的评价中，其涉及的因素很多，一般说来基本要考虑图像，声音，价格等等，而每一类因素的质量水平受许多因素的影响。这些评价因素往往具有模糊性。评价的结果本身也带有模糊性。如何合理地评价电视机的质量呢？ 假设对电视机的评价因素U={图像u1，声音u2，价格u3}，评语集合V={很好v1，较好v2，可以v3，不好v4}，现请专家10人对三种电视机进行评价，结果如下： 设某类顾客主要关心图像、价格，对音质不太关心，即 试对以上三种电视机进行模糊综合评价。 二、问题分析 根据对题目的理解，我们知道问题的求解是根据10位专家对三种电视机的图像，价格，音质的评价结果，而要求我们对这三种电视机进行模糊综合评价，所以我采用四种算子方法。 即① 算子 评语 因素 (1)第一类电视机 (2)第二类电视机 (3)第三类电视机 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 u1 5 4 1 0 4 3 2 1 1 5 2 2 u2 4 3 2 1 5 1 2 2 4 3 1 2 u3 0 1 3 6 2 1 3 4 2 4 4 (0.5,0.2,0.3) A =(){}n k r r s jk j m j jk j m j k ,,2,1, ,min max )(11 =∧=≤≤=∨μμ＝),(∨∧M

学生素质评价模糊数学模型的构建与应用

学生素质评价模糊数学模型的构建与应用 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分，下 面是搜集的一篇探究构建学生素质评价模型基本原则的论文范文，欢迎阅读查看。 对高职高专学生进行素质评价，目的在于使学生的评价内容走 向多元化，实现过程发展性和终结性评价的有机结合。因此，需要一种行之有效的评价工具，促使学生发挥个性、潜能以及创造性，从而使其具备持续发展的自信和能力。 一、模糊数学与数学模型 模糊数学是处理和研究模糊性现象的方法和理论。由于模糊性 概念发展了模糊集的具体描述方式，人们可运用概念进行评价、推理、控制、判断和决策，也可通过模糊数学进行描述。比如，模糊综合评判、模糊控制、模糊聚类分析、模糊决策等，这一系列方法最终构成一种模糊性理论，在气象、石油、环境、农业、化工、控制、教育、医学、地质、经济管理、语言等诸多领域已取得研究成果。 数学模型是实际问题与数学理论相结合发展起来的一门新学科。它将实际问题归为数学问题，并利用数学方法、概念和理论，进行深入研究，从定量或定性角度对实际问题进行分析，同时为解决实际问题提供可靠指导和精确数据。可见，数学模型是利用数学方法和语言解决现实问题的过程，是培养学生创造力的有效途径。 二、综合素质评价

“综合素质评价”指在每个学期期末或每个学年期末，全国各地的学校组织的一次对全体在校学生综合素质和能力评价的测评任务。综合素质评价一般分为六个维度(不同的地区或学校结构略有差异)，分别是“道德品质”“公民素养”“学习能力”“交流合作与实践创新”“运动与健康”“审美”“表现能力”.六个维度又分别被分为若干个项目。等级分别为A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(较差)。或者是百分制，100-80(优秀)、79-60(良好)、59-30(一般)、29-0(较差)。 对学生进行综合素质评价是新时期高职高专教学评价的主要内容，因而需要制定一种有效的素质评价模型。基于模糊数学的高职高专学生素质评价模型具有标准的数据支撑，说服力较强，适宜运用于学生综合素质评价。 三、构建学生素质评价模型的基本原则 (一)一个目标 在高等教育中，高等职业教育是一个非常重要的组成部分。实现现代化建设与高职高专学生的能力和素质有直接关系。从我国的发展要求以及发达国家的发展经验看，无论是发展和解放生产力、建设小康社会，还是创建和谐社会、加快城市化建设，高等职业所培养的应用型人才不可或缺。因此，职业技术教育应坚持以就业为导向，以服务为宗旨，以培养学生综合素质、职业道德以及动手能力为重点，突出实用性。 (二)三个维度

用模糊数学综合评价法对水质进行评价

用模糊数学综合评价法对水质进行评价 付智娟 （中山市环境保护科学研究所，中山 542803） 摘 要：综合评价法作为模糊数学的一种具体应用方法，在很多领域中得到了广泛的运用。由于综 合评价法的数学模型简单、容易掌握，更适合于对多因素、多层次的复杂问题的评价。将其应用于对水质的评价能更客观、科学地反映水质情况。 关键词：模糊数学 ；综合评价法；水质评价法 Abstract:As the praxis of fuzzy mathematics,comprehensive evaluation is prevalent used in many fields ,Because it is a simple mathematical model and easy to use,comprehensive evaalution has advantage to solve the complex problem that have more different https://www.wendangku.net/doc/df5824197.html,ing it to evaluate the quality of water can get an objective and scientific result. Key words: fuzzy mathematics; comprehensive evaluation; evaluate the quality of water 模糊数学理论是近年来发展起来的科学，水质的好坏具有模糊的概念，因此也可以用它来评价水质，对水质进行综合评价，打破以往仅用一个确定性的指标来评价水质的方法，并可以弥补其中的不足，更客观、科学地对水质进行评价。现引用对某水质进行评价的例子来说明模糊数学综合评价在水质评价中的运用。 1. 基本概念 1. 1隶属度 以往的水质分级中多用一个简单的数学指标为界限，造成界限两边分为截然不同的等级.例如参数DO ， I 级水的指标为7mg/L,则7.1mg/L 为I 级水，但DO 若为6.9mg/L 就的定为II 级水。事实上，由于水质的污染程度属于模糊概念,所以这里用隶属概念来描述模糊的水质分级界限。所谓隶属度系指某事物所属某种标准的程度：如:DO=7.1mg/L 时,隶属I 级水的程度为100%;6.9mg/L 时,隶属I 级水的程度达95%。 隶属度可用隶属函数表示。为方便起见，取线性函数： 10X X X X --或 11X X X X --，（X 0

模糊数学简介及入门

模糊数学简介 模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。1965年，《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。精确和模糊，是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。但是，物极必反。如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大，工作越困难。然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需

Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义

模糊数学 第1节模糊聚类分析 第2节模糊模式识别 第3节模糊相似优先比方法 第4节模糊综合评判 第5节模糊关系方程求解 在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。 第1节模糊聚类分析 1. 模糊集的概念 对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x?A，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为： A x x A x A ()= ∈ ?? ? ? 1 A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。 定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。 如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。 x1：85分，即A(x1)=0.85 x2：75分，A(x2)=0.75 x3：98分，A(x3)=0.98 x4：30分，A(x4)=0.30 x5：60分，A(x5)=0.60

预测模型可靠性的模糊数学评价方法

收稿日期:2003-11-10 作者简介:许康(1969-),男(汉族),江苏宜兴人,讲师,博士研究生,从事油气储运与热能工程方面的教学与科研工作。 文章编号:1000-5870(2004)04-0102-03 预测模型可靠性的模糊数学评价方法 许 康,张劲军,陈 俊,李鸿英 (石油大学石油天然气工程学院,北京102249) 摘要:预测模型的可靠程度是通过预测结果中分布规律的可信度体现出来的。针对常见的预测模型可靠性评价中存在的问题,将预测模型预测结果的可信概率定义为预测模型的可靠度,提出了一种评价预测模型的新方法。在新方法中,运用模糊数学理论对预测结果的可信程度进行了评价,建立了预测结果可信度与预测结果相对误差绝对值之间的隶属函数关系,并将模糊数学与可靠性理论相结合,给出了求解预测模型可靠度的计算公式。以含蜡原油粘温关系模型为例,对新方法的评价过程进行了验证。结果表明,对同一种油样采用不同的隶属函数,或对不同油样采用同一个隶属函数,所得预测模型的可靠度均不相同,这说明该方法具有通用性。关键词:含蜡原油;粘温关系;预测模型;可靠度;评价方法;模糊数学;隶属函数中图分类号:O 159 文献标识码:A A new assessment method for reliability of prediction model with fuzzy mathematics XU Kang,ZHANG Jin -jun,CH EN Jun,LI Hong -ying (College of Petr oleum Engineer ing in the University of Petroleum ,China,Beij ing 102249,China) Abstract :T he distribution of the authentic forecast results can embo dy the fiduciar y level o f the prediction model.T he probability o f the authentic for ecast results obtained by t he prediction model w as defined as the fiduciary lev el o f prediction model.A new method for assessment of t he fiduciary level of prediction model was proposed.In or der to assess the fiduciary lev el of the for ecast results,a membership function for describing the relationship betw een the fiduciary lev el and absolute value of relative err or of fo recast results was established on the theory of fuzzy mathematics.By using the fuzzy mat hemat ics and reliabilit y theory ,the formula to calculate the fiduciary level of the pr edict ion model w as provided.A prediction model for waxy o il viscosity was taken as an ex ample to prove the applicability of the assessment method.T he r esults show that the fiduciary levels of prediction model are different fo r the same o il sample with the different membership function or for the different oil sample with the same membership function. Key w ords :w ax y oil;viscosity -temperature r elationship;prediction model;reliabilit y;assessment method;fuzzy mathe -matics;membership function 我国生产的原油80%以上属于含蜡原油,其组成复杂,粘度及粘温关系的变化规律往往不能用纯液体的粘度模型进行描述。原油粘度及粘温关系 直接影响其管道输送的摩阻,是管输工艺设计及运行管理所需的重要基础数据。国内外研究者提出了若干含蜡油粘度模型,这些模型都是基于实验数据统计分析得出的经验模型,对于预测模型预测结果的可靠程度,常见的方法是用大量的预测结果与实测值之间的(绝对或相对)误差的平均值和其中最大 值来说明。但是预测结果是否 准确可信 是一个很模糊的概念,预测结果的 准确可信 与 不可信 之间没有一个明显的界限,对预测结果可信程度的评 价用常规的数学方法不能解决,需要引入模糊数学的理论。对于使用预测模型进行预测时获得可信的预测结果的概率(可靠度),用常用的预测模型的评价方法是无法得出的。因此,笔者根据模糊数学和可靠性理论提出一种评价预测模型可靠性的新方法,介绍新方法的评价过程。 2004年 第28卷 石油大学学报(自然科学版) Vol.28 No.4 第4期 Journal of the U niversity of Petroleum,China Aug.2004

MATLAB在模糊数学教学中应用示例

摘要：作者探讨了在模糊数学教学中运用matlab软件来辅助课程教学的方法，并以示例积极推进可视化教学，提高了教学质量，其结果表明教学效果明显. 关键词： matlab 模糊数学教学效果 自1965年扎德（l.a.zadeh）提出“模糊集合”的概念，模糊数学便作为一门新的数学学科诞生了.近五十年来，它的发展非常迅速，应用十分广泛.其理论和应用涉及社会科学、自然科学和思维科学诸多领域.在上世纪九十年代，国外应用模糊数学原理研制和推出了首批模糊家用电器，而现在，模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电饭煲、模糊空调机等已进入了国外千家万户，部分产品进入我国国内，由此可见，其应用前景是举世瞩目的.所以，学生学好模糊数学十分重要.另外，模糊数学在培养学生辩证唯物主义的认识论、方法论，教学素养和应用能力等方面也有着良好的教育功能.由于模糊数学本身是系统化的，涉及的知识深广，使不少学生感到理论太复杂，太抽象，对所学内容难把握，易产生畏难情绪，仅仅通过板书讲授方式难以达到理想的教学效果.因而，加强实践教学是必不可少的一个重要环节.随着高校教学手段的改革，多媒体辅助教学法越来越受师生的欢迎，据统计，60%以上的高校都愿接受，其中数学软件matlab是评价最高的有效的数值和工程计算的软件.针对本科生课程的特点，结合matlab语言所独具的优势，本文着重介绍matlab在模糊数学中的实际应用示例，从而积极推进和改善可视化教学，强化教学效果.下面给出详细示例. 一、利用matlab建立隶属度函数的辅助教学 隶属度是模糊集的基本概念，也是模糊控制的应用基础，由此，正确构造隶属度函数是用好模糊控制的关键之一，而此概念对学生而言是一个抽象的概念，在授课过程中，将基本概念及原理给学生讲透的同时，充分利用计算机的表现能力会将抽象的东西具体化、形象化. 例1.设某污染河水中酚的含量t=0.0012mg/l，给定酚的水质分级标准为： 试建立各级水的隶属度函数. 二、利用matlab来计算λ―截矩阵的辅助教学 在模糊数学中模糊聚类分析法是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的一种方法，在分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间的深浅程度，λ―截矩阵在该分析法中是一个很重要的概念.其定义和计算如下： 三、利用matlab求解模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，必须借助模糊集的方法来处理.模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的纯属规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.求解模糊线性规划需要分别求出三个普通的线性规则，从而加上伸缩率后的普通线性规划进而添加新变量入和新的约束条件，求解模糊线性规划的具体方法如下： 结果：最优解为z=33.2，此时z=14.93. 以上示例仅是模糊数学中常见的一些问题求解，从中可以观察出，matlab在解决这些问题时简洁、灵活的特点，增强了学生对复杂问题了解时的直观性，缓解了教学课时偏少及当前实验室跟不上教学需求的困境；也让学生在课程学习的同时，轻松地学会一些编程问题，加深、加强了编程能力，使学生更能产生学习matlab及模糊数学的欲望，积极推进模糊数学的教学，使之更高效、更具利用价值. 参考文献： ［1］张驰.试论模糊数学的教育功能［j］.数学教育学报，1997，6，（4）:90-93. ［2］周维.高校“模糊数学”选修课教法初探［j］.淮南工业学院学报（社会科学版），

模糊综合评价法的数学建模方法简介_任丽华

８ 《商场现代化》２００６年７月（中旬刊）总第４７３期 ２０世纪８０年代初，汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图，如图所示： 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点，采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法，具有一定的主观性，但是由于本文在使用该方法的过程中，对多位专家的调查进行了数学处理，并对处理后的结果进行了一致性检验，笔者认为，运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响，使权重的确定更加具有客观性，也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示，且第一级指标各指标的权重为Ｗｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ为一级指标个数。一级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗ１，…，Ｗｉ，…Ｗｎ） 各一级指标所包含的二级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗｉ１，…，Ｗｉｓ，…Ｗｉｍ），ｍ为各一级指标所包含的二级指标个数，ｓ＝１，２，…，ｍ。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为： Ｗｉｓ＝（Ｗｉｓ１，…Ｗｉｓ２，…Ｗｉｍｑ），ｑ为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集Ｘ作一种划分，即把Ｘ分为ｎ个因素子集Ｘ１，Ｘ２，…Ｘｎ，并且必须满足： 同时，对于任意的ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，均有 即对因素Ｘ的划分既要把因素集的诸评价指标分完，而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Ｘｉ中。 再以Ｘｉ表示的第ｉ个子因素指标集又有ｋｉ个评价指标即：Ｘｉ＝｛Ｘｉ１，Ｘｉ２，…，ＸｉＫｉ｝，ｉ＝１，２，…，ｎ 这样，由于每个Ｘｉ含有Ｋｉ个评价指标，于是总因素指标集Ｘ其有 个评价指标。 四、　进行单因素评价，建立模糊关系矩阵Ｒ 在上一步构造了模糊子集后，需要对评价目标从每个因素集Ｘｉ上进行量化，即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵： 其中ｓｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）表示第ｉ个方案，而矩阵Ｒ中第ｈ行第ｊ列元素ｒｈｊ表示指标Ｘｉｈ在方案ｓｊ下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况：定量指标和定性指标。 （１）定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算： 对于效益型评价因素可以用下式计算：对于区间型评价因素可以用下式计算：上面三个式子中：ｆ（ｘ）为特征值，ｓｕｐ（ｆ），ｉｎｆ（ｆ）分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界，即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华　东营职业学院 ［摘　要］　本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法，主要从构造评价指标体系，确定评价指标体系的权重，确定评价指标体系的权重，建立模糊综合评价因素集，进行单因素评价、建立模糊关系矩阵Ｒ，计算模糊评价结果向量Ｂ等五个方面介绍这种评价方法。 ［关键词］　绿色供应链绩效评价　模糊综合评价法　数学模型方法 流通论坛

用模糊数学对学生成绩进行评估

用模糊数学班上的学生进行评估 姓名：李万杰 学号：201107010113 2014年6月27日

模糊数学综合评判法，作为一种模糊数学方法，被用于各个领域，取得了很好的效果。本文将用这种方法分析班上的学生以成绩分类。这种方法能有效处理学生平时成绩中的一些模糊性，同时，也使考核的成绩更加合理与公正。 一、模糊数学的基本概念 长期以来，人们对干客观事物的认识习惯于追求其精确性或清晰性。但人脑作为认识和改造客观世界的主体，对自然现象的反映往往都是模糊的。模糊集合是对这些模糊现象或模糊概念的刻画。利用模糊数学理论，建立模型，根据模糊数学最大隶属度原则，使学生以成绩分类更加合理化。综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇到的问题，由于从多方面对大学生综合素质进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评价将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 二、评定学生平时成绩的依据 通过长期的教学实践，对学生平时成绩的评定主要依据四个方面：(1)出勤情况，以学生到课情况作为平时成绩给定的依据，这一评价制度的具体要求是通过上课点名的办法来找出缺课的学生。(2)课堂表现，包括课堂笔记记录情况、回答问题的积极主动性、课堂纪律等。根据“上课提问情况”来评定平时成绩是教师经常使用的方法。这种方式也存在不足：假设每一个学生在教师提问 后都举手抢答，教师应该将首答权交给谁呢?这一模式的公正程度取决于教师有没有足够的时间允许学生都回答课堂上的提问。(3)作业情况，检查平时作业是教师经常使用的考核学生平时学习情况的重要方法。然而实践表明，这个方法也存在不足。由于教师无法了解学生的平时作业究竟是不是自己独立完成的，在假定“学生都能按时完成作业”的前提下，教师只能根据作业的工整情况或对错状况来判定学生的平时成绩。教师经常遇到的问题是：有时抄袭作业的学生，作业的卷面反而要比自己独立完成的学生要工整些；或者由于参考了一些同学的作业，其正确率反而比独立完成的同学高一些。(4)平时测验情况。对上述四个方面综合考虑，把学生平时成绩评定分为四级：优、良、中、差。在上述评定学生平时成绩的主要依据的因素中，多数因素很难区分出较严格的数值界限，而且有一定的相关性和很大的“模糊性”。对这些具有“模糊性”的因素进行综合评定，并以此来确定学生平时成绩是很困难的。采用模糊综合评判法来考核学生的平时成绩，在促进学生学习积极性方面，效果是明显的，同时也使考核的成绩更加合理、公正。 三、模糊数学综合评判法 所谓评判，就是按给定的条件对事物的优劣、好坏进行评比、判别；综合的意思就是指评判条件包含多个因素或多个指标。因此，综合评判就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。综合评判的方法有许多种，常用的有两种： (一)评总分法。即根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示，以决定方案的优劣。 (二)加权评分法。这种方法主要考虑诸因素(或诸指标)在评价中所处的地位或所起的作用不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素(或诸指标)。于是，就引进了权重的概念，它体现了诸因素(或诸指标)在评价中的不同地位或不同作

模糊数学的应用

本科生论文 模糊数学的应用 指导老师： 作者： 中国矿业大学 二零一一年六月

模糊数学的应用 摘要：二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。模糊数学作为一个新兴的数学分支，使过去那些与数学毫不相关或关系不大的学科（如生物学、心理学、语言学、社会科学等）都有可能用定量化和数学化加以描述和处理，从而显示了强大的生命力和渗透力，使数学的应用范围大大扩展。模糊数学自身的理论研究进展迅速；模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，并在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展；模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学以及医药、生物、农业、文体等领域，并取得很好效果。 关键字：模糊数学；应用；模糊评判； 一、模糊数学的简介 （一）发展历史 模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。 模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。 模糊数学诞生至今仅有22年历史，然而它发展迅速、应用广泛。它涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。在图象识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。只要经过仔细深入研究就会发现，在多数情况下，决策目标与约束条件均带有一定的模糊性，对复杂大系统的决策过程尤其是如此。在这种情况下，运用模糊决策技术，会显得更加自然，也将会获得更加良好的效果。 （二）应用前景 模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模