当前位置：文档库 › 【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平行关系理北师大版

【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平行关系理北师大版

第三节平行关系

【考纲下载】

1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

1．如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？

提示：不一定．只有当此直线在平面外时才有线面平行．

2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都平行吗？

提示：不都平行．对于任意一条直线而言，存在异面的情况．

3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？

提示：不一定．可能平行，也可能相交．

4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

答案：平行．

1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )

A．平行 B．相交

C．异面 D．以上均有可能

解析：选D 与一个平面平行的两条直线可以平行、相交，也可以异面．

2．下列命题中，正确的是( )

A．若a∥b，b α，则a∥α

B．若a∥α，b α，则a∥b

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a∥b，b∥α，a?α，则a∥α

解析：选D 由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D正确．3．(20132广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：选B l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由面面平行的判定定理可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能相交，故D项错．

4．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线a α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任意一条直线都不垂直．

其中真命题的序号是________．

解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②

5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．

①AD1∥BC1；

②平面AB1D1∥平面BDC1；

③AD1∥DC1；

④AD1∥平面BDC1.

解析：

连接AD1、BC1，因为AB∥C1D1，AB=C1D1，

所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；

易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，

又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；

由图易知AD1与DC1异面，故③错误；

因AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1 平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．

答案：①②④

1．线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容，多出现在解答题中的第(1)、(2)问，难度适中，属中档题．

2．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度：

(1)以多面体为载体，证明线面平行问题；

(2)以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题．

[例1] (1)(20132福建高考)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

①当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

②若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；

③求三棱锥D-PBC的体积．

(2)(20142日照模拟)

如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上．

①求证：AE⊥BE；

②设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.

[自主解答] (1)法一：

①在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝DC ＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.

又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，所以在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，

得PD＝AD tan 60°＝4 3.正视图如图(1)所示：

图(1)

图(2)

②证明：如图(2)所示，取PB 中点N ，连接MN ，CN .

在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB 且MN ＝1

AB ＝3.

∵又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形， ∴DM ∥CN .∵DM ?平面PBC ，CN 平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .

③V D -PBC ＝V P -DBC ＝1

S △DBC 2PD ，又∵S △DBC ＝6，PD ＝43，∴V D -PBC ＝8 3.

法二：①同法一．

②证明：取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ， ∴四边形BCDE 为平行四边形，∴DE ∥BC .∵DE ?平面PBC ，BC 平面PBC ， ∴DE ∥平面PBC .∵在△PAB 中，ME ∥PB ，ME ?平面PBC ，PB 平面PBC ， ∴ME ∥平面PBC .∵DE ∩ME ＝E ，∴平面DME ∥平面PBC .∵DM 平面DME ， ∴DM ∥平面PBC . ③同法一．

(2)①证明：由DA ⊥平面ABE 及AD ∥BC ，得BC ⊥平面ABE ，又AE 平面ABE ，所以AE ⊥BC ，因为BF ⊥平面ACE ，AE 平面ACE ，所以BF ⊥AE ，

又BC ∩BF ＝B ，BC ，BF 平面BCE ，所以AE ⊥平面BCE . 因为BE 平面BCE ，故AE ⊥BE .

②在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中，过点G 作GN ∥BC 交CE 于点

N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝1

CE .因为MG ∥AE ，AE 平面ADE ，MG ?平面ADE ，

所以MG ∥平面ADE ，又GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD 平面ADE ，GN ?平面ADE ，所以GN ∥平面ADE ，又MG ∩GN ＝G ，所以平面MGN ∥平面ADE ，因为MN 平面MGN ，所以MN ∥平面ADE .

故当点N 为线段CE 上靠近C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .

线面平行问题的常见类型及解题策略 (1)线面平行的证明问题．

判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；

②利用线面平行的判定定理(a ?α，b α，a ∥b ?a ∥α)； ③利用面面平行的性质(α∥β，a α?a ∥β)；

④利用面面平行的性质(α∥β，a ?α，a ?β，a ∥α?a ∥β)． (2)线面平行的探索性问题．

①对命题条件的探索常采用以下三种方法：

a ．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

b ．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

c ．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．

1. (20132新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．

(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．

又D 是AB 中点，连接DF ，则在△ABC 1中，BC 1∥DF .

因为DF 平面A 1CD ，BC 1?平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .

(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，则AA 1⊥CD .

由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，AA 1，AB 平面ABB 1A 1，所以CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得 ∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，

故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2

，即DE ⊥A 1D .所以VC -A 1DE ＝13312

363332＝1.

2. 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC .

(1)求证：D1C⊥AC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

解：(1)证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，

连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，DC，DD1 平面DCC1D1，

∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C 平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.

∵AD 平面ADC1，DC1 平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，

又AC1 平面ADC1，∴D1C⊥AC1.

(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，

∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，

又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，

∴AB＝DE.即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.

[例2] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

[自主解答] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.

∵EF?平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.

∵A1G∥EB，A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB 平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

【互动探究】

在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴H是A1C的中点，连接HD，

∵D 为BC 的中点，∴A 1B ∥DH .∵A 1B 平面A 1BD 1，DH ?平面A 1BD 1，∴DH ∥平面A 1BD 1. 又由三棱柱的性质知，D 1C 1∥BD ，D 1C 1=BD ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形，∴DC 1∥BD 1.

又DC 1?平面A 1BD 1，BD 1 平面A 1BD 1，∴DC 1∥平面A 1BD 1，又∵DC 1∩DH ＝D ，∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D . 【方法规律】

判定面面平行的四种方法

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．

(20132陕西高考)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.

(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积．

解：(1)证明：由题设知，BB 1∥DD 1，BB 1=DD 1∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1.又BD ?平面CD 1B 1，B 1D 1 平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，A 1D 1=B 1C 1=BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ?平面CD 1B 1，D 1C 平面CD 1B 1，

∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高．

又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2

＝1.

又∵S △ABD ＝1

3232＝1，∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD 3A 1O ＝1.

[例3] 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，点C ∈α，点B ∈β，点D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD .

(1)求证：EF ∥平面β；

(2)若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝4，BD ＝6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长．

[自主解答] (1)证明：①当AB ，CD 在同一平面内时，

由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC ＝AC ，平面β∩平面ABDC ＝BD ，∴AC ∥BD . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD .又EF ?β，BD β，∴EF ∥平面β.

②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝DH ，且DH ＝AC . ∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH ， ∴四边形ACDH 是平行四边形，

在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH . 又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH . 又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ，∴平面EFG ∥平面β.

又EF 平面EFG ，∴EF ∥平面β.综合①②可知EF ∥平面β.

(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，

且ME ＝12BD ＝3，MF ＝1

AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，

∴∠EMF ＝60°或120°.∴在△EFM 中，由余弦定理得

EF ＝ME 2＋MF 2－2ME 2MF 2cos∠EMF ＝ 32＋22±2333231

2＝13±6，

即EF ＝7或EF ＝19.

【方法规律】

1．解决本题的关键是构造过EF 且平行平面α和平面β的平面．

2．通过线面、面面平行的判定和性质，可实现线线、线面、面面平行的转化．

如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1

上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?

如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1

上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?

解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

证明如下：

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.

∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵D1B?平面PAO，PO 平面PAO，QB?平面PAO，PA 平面PAO，

∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

—————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个转化——三种平行关系间的转化

2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题

(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．

(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.

数学思想(十)

转化与化归思想在证明平行关系中的应用

线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：

线线平行线面平行面面平行

证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行；欲证线面平行，可转化为证明线线平行．

[典例] (20132辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O 上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.

[解题指导] (1)利用线面垂直的判定定理证明；(2)可证明QG所在的平面与平面PBC平行．

[解] (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q 为PA中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM 平面QMO，MO 平面QMO，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG 平面QMO，所以QG∥平面PBC.

[题后悟道] 1.本例(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质得出结论的证明．

2．利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化，也要注意平面几何中一些平行的判断和性质的灵活应用，如中位线、平行线分线段成比例等，这些是空间线面平行关系证明的基础．

如图所示，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC 平面EOC，所以BD⊥平面EOC，

所以BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.

(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，所以MN∥BE.

又MN?平面BEC，BE 平面BEC，所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.

又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.

又DN?平面BEC，BC 平面BEC，所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.

又DM 平面DMN，所以DM∥平面BEC.

法二：

延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，

所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形，所以∠ABD ＝∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，

因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝1

AF .

又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．

连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点，所以在△AFE 中，DM ∥EF . 又DM ?平面BEC ，EF 平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .

[全盘巩固] 1．平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是( ) A ．AB ∥CD B ．AD ∥CB

C ．AB 与C

D 相交 D ．A ，B ，C ，D 四点共面

解析：选D 充分性：A ，B ，C ，D 四点共面，由平面与平面平行的性质知AC ∥BD .必要性显然成立．

2．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )

A ．l ∥α

B ．l ⊥α

C ．l 与α相交但不垂直

D ．l ∥α或l α

解析：选D l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等；l α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0；l ⊥α时，直线l 上有两个点到α距离相等；l 与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.

3．在空间中，下列命题正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α

B ．若a ∥α，b ∥α，a β，b β，则α∥β

C ．若α∥β，b ∥α，则b ∥β

D ．若α∥β，a α，则a ∥β

解析：选D 若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b α，故选项A 错误；B 中当a ∥b 时，α、β可能相交，故选项B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b β，故选项C 错误；选项D 为两平面平行的性质，故选D.

4．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l α，m β，则α∥β； ②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；

③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：选C 当异面直线l 、m 满足l α，m β时，α、β也可以相交，故①错；若α∥β，l α，m β，则l 、m 平行或异面，故②错；如图所示，设几何体三个侧面分

别为α、β、γ.

交线为l、m、n，若l∥γ，则l∥m，l∥n，则m∥n，故③正确．

5. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )

A．不存在 B．有1条

C．有2条 D．有无数条

解析：选D 平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.

6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

解析：选B ①如图1，由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.

图1 图2

④如图2，由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，又AB?平面MNP，NP 平面MNP，所以AB∥平面MNP.

7．在四面体A-BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

解析：

如图所示，取CD的中点E.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.又MN?平面ABD，MN?平面ABC，AB 平面ABD，AB 平面ABC，

所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.

答案：平面ABD与平面ABC

8．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．

①

????

?m ?α

l ∥m ?l ∥α；②

???

?l ∥m

m ∥α ?l ∥α； ③

???

?l ⊥β

α⊥β ?l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件

为：l ?α.

答案：l ?α

9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题： ①若l α，m α，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ②若l α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；

④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.

其中真命题的是________(写出所有真命题的序号)．

解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.

答案：②④

10. 在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，

棱EF ∥BC 且EF ＝1

BC .求证：FO ∥平面CDE

证明：如图所示，取CD 中点M ，连接OM ，

EM ，在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12

BC ，

又EF ∥BC 且EF ＝1

BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .

所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM .

又因为FO ?平面CDE ，EM 平面CDE ，所以FO ∥平面CDE .

11. 如图所示，直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝

(1)证明：AC ⊥平面BB 1C 1C ；

(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面ACB 1平行？证明你的结论．

解：(1)证明：在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC . 又∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，∴AC ＝2，∠CAB ＝45°，

在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝AC 2＋AB 2

－2AC 2AB 2cos∠CAB ＝ 2.

∴BC 2＋AC 2＝AB 2

，∴BC ⊥AC .

又BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC 平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C . (2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点可满足要求．

由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝1

AB ，

又∵CD ∥AB 且CD ＝1

AB ，∴CD ∥PB 1且CD ＝PB 1，∴CDPB 1为平行四边形，

∴DP ∥CB 1.又CB 1 平面ACB 1，DP ?平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.

12. 如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA ＝6，E 为BC 的中点，F 为侧棱PD 上的一动点．

(1)求证：AC ⊥BF ；

(2)当直线PE ∥平面ACF 时，求三棱锥F -ACD 的体积．

解：(1)证明：连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD .

∴AC ⊥PO .∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .

又BD ∩PO ＝O ，BD ，PO 平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD . 又BF 平面PBD ，∴AC ⊥BF .

(2)连接DE ，交AC 于点G ，连接FG .∵PE ∥平面ACF ， ∴PE ∥FG ，∴DG DE ＝

又CE ＝12BC ＝12AD ，BC ∥AD ，∴CE AD ＝GE DG ＝12，∴DG DE ＝23，∴DF DP ＝2

过F 作FH ⊥DB ，垂足为H ，则FH ∥OP ，∴FH OP ＝DF DP ＝23，∴FH ＝2

3OP ，

∵正方形ABCD 的边长为2，∴AO ＝ 2.∴OP ＝PA 2

－AO 2

＝2.

∴FH ＝43.∴三棱锥F -ACD 的体积V F -ACD ＝13S △ACD 2FH ＝13312322343＝89

[冲击名校]

如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别是BC 和B 1C 1的中点． (1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；

(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥B 1-ABC 的体积．

解：(1)证明：如图所示，连接DD 1，

在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，因为D ，D 1分别是BC 与B 1C 1的中点，所以B 1D 1∥BD 且B 1D 1＝BD .

所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又因为AA 1∥BB 1，且AA 1＝BB 1，所以AA 1∥DD 1，且AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD .

又A 1D 1?平面AB 1D ，AD 平面AB 1D ，所以A 1D 1∥平面AB 1D . (2)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC . 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且交线为BC ，AD 平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，即AD 是三棱锥A -B 1BC 的高．在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3. 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，

所以S △B 1BC ＝34

342

＝43，

所以三棱锥B 1-ABC 的体积，即三棱锥A -B 1BC 的体积 V ＝13S △B 1BC 3AD ＝1

3343323＝8. [高频滚动]

1．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a γ.

如果命题“α∩β＝a ，b γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．

解析：

①a∥γ，a β，b β，β∩γ＝b?a∥b(线面平行的性质)．

②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b γ，a∥γ，b∥β，而a、b异面，故②错．

③b∥β，b γ，a γ，a β，β∩γ＝a?a∥b(线面平行的性质)．

答案：①③

2．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC、BC、A1C1、B1C1的中点分别为E、F、E1、F1，则直线EF、E1F1、EE1、FF1、E1F、EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．

答案：6

高考数学选择题常考考点专练3

高考数学选择题常考考点专练3 21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ． 4 1 C ．－4 D ．－14 【标准答案】 A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43 443 PQ a a k d -===- 22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B 解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1 补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π. 23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．a 2 + a 15 B ． a 2·a 15 C ．a 2 + a 9 +a 16 D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】解析：∵ 17S = 2 ) (17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。 24 (理科)记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则 23lim n n n n n b a b a →∞-+等于（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在【标准答案】

【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版编辑：__________________ 时间：__________________

一．课标要求： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

艺考生高考数学总复习讲义

2015艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…；描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合

2019高考数学备考心得体会语文

高考数学备考心得体会高考数学备考心得体会篇一这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。高考数学备考心得体会篇二一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题：

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

高考数学复习：最后三月总体复习方案

高考数学复习：最后三月总体复习方案高考越来越近，谁能更好的利用时间，谁能更好安排复习计划，总体把握，谁就更有可能在最后的时刻脱颖而出。那么，我们怎么样才能把握最后的三个月，抓住最后的黄金复习时间，让自己的数学更上一层楼呢？一、全力夯实双基，保证驾轻就熟目前高考数学试卷，基础知识和基本方法的考查占80％左右的份量，即使是创新题或能力题也是建立在双基之上，只有脚踏实地、一丝不苟地巩固双基，才能占领高考阵地。教材是精品，把握了教材，也就切中了要害。不仅要深刻理解教材中的知识，更要关注教材中解决问题的思想方法，还要全面把握知识体系，保证：⑴不掌握不放过。对照《考试说明》，确定考试范围，认真阅读和理解教材中相关内容，包括每个概念、每个例题、每个注释、每个图形，准确理解和记忆知识点，不留空白和隐患。⑵胸无全书不放过，在掌握知识点的基础上，根据知识的内在联系，构建知识网络，把书学得“由厚变薄”。不防从课本的章节目录入手，进行串联，形成体系。⑶有疑难不放过。为巩固复习效果，发展思维能力，适量的练习是必要的，练习中遇到困难也在所难免，必须找到问题的症结在那里，对照教材，彻底扫除障碍。回归教材、吃透课本，千万不能眼高手低哟。二、重视错题病例，实时忘羊补牢。

错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们方法的不当，毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会。由于题海战术的影响，许多同学，拼命做题，期望以多取胜，但常常事与愿违，不见提高，走访了一些同学，普遍觉得困惑他们的是有些错误很顽固，订正过了，评讲过了，还是重蹈覆辙。原因是没有重视错误，或没有诊断出错因，没有收到纠错的效果。建议：建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，警钟长鸣，以绝后患。注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论。三、加强毅力训练，做到持之以恒。毅力比热情更重要。进入高三，同学们都雄心勃勃。但由于各种因素的影响，有的同学能够坚持不懈，平步青云。有的同学松弛下来，形成知识或方法上的梗阻。影响情绪和信心。阻碍前进的步伐。训练毅力刻不容缓！计划明确，并坚决执行，不寻找借口，做到“今日事今日毕”，决不拖到明天做今天的事，练习也要限时完成，一个小时完成的，决不拖成一个半小时完成，否则将影响后续的学习和

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学艺考生复习大纲基础点整理 A 部分（集训题目）课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分考点：交集，并集，补集，子集【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【终极小测摸底细】来源:Z#xx#https://www.wendangku.net/doc/d65850120.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

高三数学备考方案

文登一中高三数学备考方案（一）指导思想以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。（二）复习要求一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的

高考数学知识点复习测试题8-

高考数学知识点复习测试题(附参考答案) 一元二次不等式及其解法 ★ 知识梳理 ★ 一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=? （4）结合二次函数的图象特征写出解集。高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； ★ 重难点突破 ★ 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2 <-x ax 点拨:11 log 2<-x ax Θ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x / （3）当02< 22 或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为??????<<-- 022|x a x . 当02<022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根