初三数学二次函数专题训练(含答案)
二次函数专题训练（含答案）
一、
填空题
1.把抛物线2
2
1x y -
=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .
2.函数x x y +-=2
2图象的对称轴是 ，最大值是 .
3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .
4.二次函数6822
-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2
)(的形为 .
5.二次函数c ax y +=2
（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .
6.抛物线c bx ax y ++=2
当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.
7.抛物线3)1(22
-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .
8.若a <0，则函数522
-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4
a
-时，函数值随x 的增大而 .
9.二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(2
1
h x y --
=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)(
)(32
+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.
12.已知2)1(3
1
2-+=
x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=2
5交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 3
2
2
+
=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62
的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：
16.在抛物线1322
+-=x x y 上的点是（ ）
A.（0，-1）
B.??
? ??0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=
x y 与抛物线x x y 2
1
2-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个
18.关于抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当
a <0时，情况相反.
② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.
④ 一元二次方程02
=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴
交点的横坐标.
A.①②③④
B.①②③
C. ①②
D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）
A.x=1
B.x=-2
C.x=3
D.x=-3
20.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2
ax y
bx -3的大致图象是（ ）
图代13-2-12
21.若抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是,2-=x 则=b
a
（ ） A.2 B.21 C.4 D.4
1 22.若函数x
a y =
的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交
23.二次函数c bx x y ++=2
中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）
24.函数2
ax y =与x
a
y =
（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
图代13-3-13
25.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2
与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）
A.b=5
B.b=-5
C.b=±5
D.b=4
图代13-3-14
26.二次函数2
ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）
A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >0
27.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）
A.6)4(22
+-=x y B.2)4(22
+-=x y C.2)2(22
+-=x y D.2)3(32
+-=x y 28.二次函数2
2
9k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：x
y x y x y 1,1,-
=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0
C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题
31.已知二次函数1222
+-+=b ax x y 和1)3(2
2
-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.
32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为
2
1
，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132
22
1=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.
33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.
图代13-3-15
图代13-3-16
34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32
交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）
设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.
求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；
（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；
（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.
图代13-3-17
36.已知：抛物线2)4(2
+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a
37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；
（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.
图代13-3-18
（1） 若AE=2，求AD 的长.
（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有
FH
ED
AH AD =
？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 39.已知二次函数)2
94(2)2
54(2
2
2
+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.
图代13-3-19
（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 2
1
=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）
若M 恰在直线x y 2
1
=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，
二次函数q px x y ++=2
的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）
在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数
q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.
图代13-3-20
（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2
的图象与y 轴交于点C ，与x
同
的左交点为A ，试在直线x y 2
1
=
上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2
与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；
（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积. 参 考 答 案 动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得
)10100)(2(x x y -+=
.
360)4(1020080102
2+--=++-=x x x
∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432
+??
?
??+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432
≠=+??? ??+
-m x m mx 时m
m m 34
,321=
=. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），??
?
??0,34m B . （1）
当AC=BC 时，
9
4
,334-=-=m m . ∴ 49
42
+-=x y
（2）
当AC=AB 时，
5,4,3===AC OC AO .
∴ 534
3=-
m
. ∴ 3
2,6121-==
m m . 当61=m 时，4611
612+-=x x y ； 当32-=m 时，43
2
322++-=x x y .
（3）
当AB=BC 时，
2
2344343??
?
??+=-m m ，
∴ 78
-
=m . ∴ 42144
782++
-=x x y . 可求抛物线解析式为：43
2
32,461161,494222+--=+-
=+-=x x y x x y x y 或
421
44782++-=x x y .
3.（1）∵)62(4)]5([2
2
2
+---=?m m
)1(122
2
22φ+=++=m m m
图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(2
2
2
=+++-m x m x 0)3)(2(2
=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .
∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.
（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2
+3,0）.
12322+=-+=m m d ，
∵ m 2
+10>0，∴d=m 2
+1.
（3）①当d=10时，得m 2
=9.
∴ A （2，0），B （12，0）.
25)7(241422--=+-=x x x y .
该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,52
1
a ME
b PM AB PE -====
， ∴ 2
2
2
5)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，
∴ 25)7(2
--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .
当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库
一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-
=x y x y ； 2.8
1
,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；
8.四，增大； 9.向上，向下，a b
x a b ac a b 2,44,22-=???? ??--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312
-??? ?
?
+=x y ； 15.10.
二、选择题
16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题
31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2
+2ax-2b+1=0 的两个实数根，
∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(2
2
=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2. ∴ ??
?-=+--=-.
112,322
b b a a
解得 ??
?==;0,1b a 或?
??==.2,
1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去.
当a=1；b=2时，二次函数322
-+=x x y 和322
+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.
解法二：∵二次函数1222
+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，
二次函数1)3(22
-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为2
3
-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴ 2
3
-=
-a a . 解得 1=a .
∴两个二次函数分别为1222
+-+=b x x y 和122
2
-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得
01222=+-+b x x ，
01222=-+--b x x .
①+②得
022=-b b .
解得 2,021==b b . ∴ ??
?==;0,1b a 或???==.
2,
1b a
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.
当a=1，b=2时，二次函数为322
-+=x x y 和322
+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.
32.解：∵c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a
c
x x a b x x =?-
=+2121,. 又∵132
22
1=+x x 即132)(212
21=-+x x x x ，
∴ 132)(2
=?
--a c
a
b . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为2
1
，则有
4a+2b+c=4， ② 2
1
2=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得
a=-1,b=1,c=6.
∴ y=-x 2
+x+6. 与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与y 轴交点D 坐标为（0，6）.
设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有 （1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有
6,3,2,====OD OC OB OD
OP
OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.
当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx+4.
有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或
3,6,2,====OC OD OB OC
OP
OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.
当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx+1.
有 0=-2k+1.
得 21=
k . ∴ 12
1
+-=x y .
当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为
y=kx-1，
有 0=-2k-1， 得 2
1-=k . ∴ 12
1
--=x y . （2）
当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 131
+-
=x y ， 或 13
1
-=x y .
33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.
∴A 点坐标为（4，0）.
∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴
OB
OA OC OB =，即OB 2
=OA ·OC. 又∵ CO=1，OA=4，
∴ OB 2
=1×4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.
将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得2
1-=k . ∴直线的解析式为：22
1
+-
=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2
)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得
??
?=+=+.
2,
025h a h a 解得 .12
25,121=-
=h a ∴抛物线的解析式为：12
25)1(1212
++-=x y .
解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2
，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.
∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得
??
?
??=+-==++.0636,
2,
0416c b a c c b a 解得 2,61
,121=-=-
=c b a . ∴抛物线的解析式为：26
1
1212+--=x x y .
34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032
=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.
又∵y 轴与⊙O 相切，
∴ OA ·OB=OC 2
.
∴ x 1·x 2=c 2
. 又由方程032
=+-c x ax 知
a
c x x =
?21， ∴a
c
c =
2
，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，
图代13-3-22
∴ AB AE 2
1
=
. α=∠=∠=
∠ADE ADB ACB 2
1
. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 5
4912=-=
-=. a
AE 25=
. 又 ED=OC=c ， ∴ 2
5
==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为??
?
??-a a 45,23
，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，a
PE 45=
. ∴ 2
5
==
AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为
c ax y +=2，
由题意得G （0，8），D （15，5.5）.
∴ ???+==.255.5,8c a c 解得???
??
=-=.
8,901c a
∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为890
12
+-=x y . ∵
4
1
=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).
∴ 2215(2)(22+?=+?=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.
（2）∵
4,4
1
==BE BC EB ， ∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.
（3）
在890
12
+-
=x y 中，当x=4时， 45377816901=+?-=y .
∵ 45
19
)4.07(45377=
+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.
36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，
∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2
=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.
（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221
a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121
b S Q O PO =
四边形（或22
1
a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(2
2
++=+-+=?m m m >0 ∴方程02)4(2
=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ?
?
?+=+=+.02,
04φφm ab m b a
∴ a >0，b >0.
∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，
∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.
∵ )1()1(4)]1(2[2
+?-?--=?m m
7
)2
1(48
442
2+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.
（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），
则 x 1=3k ，x 2=-k ，
∴ ?
??+-=-?-=-).1()(3),
1(23m k k m k k
解得 3
1
,221==m m . ∵31=
m 时，3
4
21-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32
++-=x x y .
（3）易求抛物线322
++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.
设直线BM 的解析式为q px y +=，
则 ?
??+-?=+?=.)1(0,
14q p q p
解得 ??
?==.
2,
2q p
∴直线BM 的解析式是y=2x+2.
设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ???+=
.
11
12
1
1121=??+??=
设P 点坐标是（x,y ），
∵ BCM ABP S S ??=8， ∴
182
1
?=??y AB .
即
842
1
=??y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），
当y=-4时，-4=-x 2
+2x+3，
解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.
P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，
∴ AD 2
=AE ·AB=2×（2+6）=16. ∴ AD=4.
图代13-2-23
（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FH
ED
AH AD =
. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，
∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，
∴ ∠BDE=90° 有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，
DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴
FH
ED
AH AD =.
图代13-3-24
证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，
∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，
∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.
∴ ED ∥FH. ∴
FH
ED
AH AD =
. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，
∴ △DFE ∽△BDE ，
∴
EB
ED ED EF =
，即EB EF ED ?=2
. ∴)6(62
y x -=，即66
12+-=x y .
∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.
A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.
又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，
4,=?==PO
PB
OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2
=EF ·EB 得
12622=?=x ，
∵x >0，∴32=x .
∴ 0 （或由BH=4=y ，代入6612 +- =x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为66 12 +-=x y （0 39.解：∵]294)[2(29422542 22 ??? ? ?+--+=??? ??+--??? ??+ --=m m x x m m x m m x y , ∴可得????????? ? ? +--??? ? ? + --2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC ?=2 ， 即??? ? ? +-?=??? ??+-2294229442 2m m m m ， 化得0)2(2 =-m .∴m=2. （2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22 9 42 =+ -m m . ∴429422 =?? ? ? ?+ -=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴ AB ·OC=BC ·AD. ∴ 5 8= AD . ∴ 5 4525 8 sin === ∠AC AD ACB . 图代13-3-25 （3）CO AB S ABC ?= ?2 1 . 1)1()2(294222942122 2-+=+=??? ? ?+-???? ??++-= u u u m m m m ∵ 2 1 2942 ≥+ -=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为4 5 . 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为?? ? ??0,532，B 点坐标为??? ??524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为??? ? ?512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF. ∵ CO=CA=CB ， ∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO. ∴ OB OC AB OF OA OC AB OE = =,. ∴ 3 20 ,5==OF OE . E 点坐标为（5，0）， F 点坐标为?? ? ?? 320,0， ∴切线EF 解析式为3 20 34+ - =x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为?? ? ??+4512,516，可得 ???????==-=????? ?????==-=-. 524,1,325. 52453244,516 22 c b a c a b ac a b ∴ 5 24 3252+ +- =x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为?? ? ??-4512,516，得 ???????=-==????? ?????=-=-=-. 524,4,85. 524,5844,516 22 c b a c a b ac a b ∴ 524 4852+ --=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252+ +-= x x y 或5 24 4852+-=x x y . 41.（1）证明：由 ???? ? +-==, , 21m x y x y 有 m x x +-=21 ， ∴ m y m x m x 3 1 ,32,23===. ∴交点)3 1 ,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322 +??? ? ? -= m m mx x 3 1 943422 ++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+?? ? ??--m m x m x . ??? ??--????????? ??--=?m m m 3294 413 422 .0138 91613891622>=+-+-= m m m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2 的图象与直线m x y +-=总有两个 不同的交点. 图代13-3-26 （2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ， 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 二次函数压轴题 1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0 ∴OB ＝2， ∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ， ∴PN ＝1 2(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3 2m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4， ∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1 2(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3； (3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2 ＝3 2， 第1题解图 由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝3 2，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2 ＝OP 2OB ＝32， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3 2BP 2， ∴AP 2＋3 2BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，9 2)， ∴AQ ＝ 42 ＋（92）2＝1452， 即AP 2＋32BP 2的最小值为145 2. 2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数专题训练(含答案) 一、 填空题 1 2 1. 把抛物线V X 向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移 3个 2 单位，得抛物线 2. 函数V 二-2X 2 ? x 图象的对称轴是 _____________ ，最大值是 3. 正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加V ，那么V 与x 之间的函数关系是 . 4. 二次函数V = _2x 2 ? 8x -6，通过配方化为V = a(x - h)2 ? k 的形为 _— 5. 二次函数V = ax 2 c ( c 不为零)，当x 取x i , X 2 (X I M X 2)时，函数值相等，贝U X i 与X 2的关系是 _______ . ____ 6. 抛物线V = ax 2 bx c 当b=0时，对称轴是 _________________ ，当a , b 同号时，对称轴在 V 轴 ______________ 侧，当a , b 异号时，对称轴在 y 轴 ________________ 侧. 7. 抛物线V - -2(x 1)2 -3开口 _______________ ,对称轴是 __________ ,顶点坐标是 . 如果V 随x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 8. 若a ：：0，则函数y=2x 2，ax-5图象的顶点在第 ________________ 象限；当时，函 4 数值随x 的增大而 ________ . _____ 9. 二次函数 V 二ax 2 bx c ( a 丰0)当a 0时，图象的开口 a ：：：0时，图象的开 口 ___________ ，顶点坐标是 ________ . ____ 1 2 10. 抛物线y (x -h)2，开口 ______________________ ，顶点坐标是 ______________ ，对称轴 是 ______ . _____ 2 11. 二次函数y 二-3(x )( )的图象的顶点坐标是(1, -2 ). 1 2 12.已知 y (x 1)2 -2，当 X 3 13.已知直线V =2x -1与抛物线V =5x 2 ? k 交点的横坐标为2,则k= ___________________ ,交 点坐标为 _______ . ____ ^x 2 2 x 化成V 二a(x - h)2 k 的形式是 3 15.如果二次函数 V =x 2 -6x m 的最小值是1,那么m 的值是 、选择题: _____________ 时，函数值随x 的增大而减小 14.用配方法将二次函数 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 初中数学二次函数解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t=； ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B． 2．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（） A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝?2， ∴y＝－x2?2x＋3， 2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析 一、二次函数 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ． 1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多 少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会 用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特 殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点 坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2 a b a c a b -- ，对称轴是a b x 2- =，当a>0时， 抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ） 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该 经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家 及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与 x之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 3.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为 w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受 各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 第二章 二次函数 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随 x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随 x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随 x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随 x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 二次函数专题训练（含答案） 一、 填空题 1.把抛物线2 2 1x y - =向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个 单位，得抛物线. 2.函数x x y +-=2 2图象的对称轴是，最大值是. 3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是. 4.二次函数6822 -+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2 )(的形为. 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是. 6.抛物线c bx ax y ++=2 当b=0时，对称轴是，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴侧. 7.抛物线3)1(22 -+-=x y 开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是. 8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第象限；当x >4 a -时，函数值随x 的增大而. 9.二次函数c bx ax y ++=2 （a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口，顶点坐标是. 10.抛物线2)(2 1 h x y -- =，开口，顶点坐标是，对称轴是. 11.二次函数)( )(32 +-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(3 1 2-+= x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=2 5交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为. 14.用配方法将二次函数x x y 3 2 2 + =化成k h x a y +-=2)(的形式是. 15.如果二次函数m x x y +-=62 的最小值是1，那么m 的值是. 二、选择题： 16.在抛物线1322 +-=x x y 上的点是（ ） A.（0，-1） B.?? ? ??0,21 C.（-1，5） D.（3，4） ★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0c ,与y 轴交于正半轴；③0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数应用题专题复习
广西中考数学专题训练 二次函数压轴题
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
初三数学二次函数专题训练(含答案)
(完整)初三数学二次函数经典习题
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
初中数学二次函数解析
2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析
2020年初三数学二次函数经典练习全集
沪教版初中数学二次函数复习专题
初中数学二次函数知识点汇总
初中数学二次函数应用题专题训练
2016.9.20 初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
(完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
初三数学二次函数知识点汇总
- 中考数学二次函数专题复习超强整理
- 中考数学-专题二次函数题汇总
- 上海初中数学二次函数复习专题
- 初三数学二次函数应用题专题复习
- 初中数学二次函数专题训练及答案
- (完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-
- 九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题附答案解析
- 初中数学二次函数及方程和不等式专题训练
- 人教版初三数学上册二次函数专题复习.doc
- 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
- 2019苏教版九年级数学《二次函数》专题训练(含答案)
- (完整word)初中数学二次函数与方程和不等式专题训练
- 中考数学-二次函数专题经典练习题(附答案)
- 2019届中考数学专题《二次函数和圆》综合检测试卷(含答案)
- 中考数学专题训练.二次函数压轴题
- 初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
- 初中数学二次函数应用题专题训练
- 初中数学二次函数专题训练及答案
- 初中数学二次函数专题训练与答案
- 初三数学二次函数专题训练含答案