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相似三角形的判定与性质复习课教案

教学目标：

1、归纳并总结相似三角形的判定与性质

2、让学生能灵活解题

教学重点：

解决相似三角形相似的应用并会探索

教学难点：

由已知条件寻找相似三角形

课型：复习课

教学过程：

一、知识体系归纳

⑴你能说出相似三角形的几种判定吗？

⑵你知道相似三角形有哪些性质吗？

二、试题初探

⑴如图，在△ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AB 上一点，且AD ＝12，在AC 上取一点E ，使A 、D 、E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为_________

⑵如图所示,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使△ABC ∽△AED ，你添加的条件是_________

⑶如图，△ABC 中，∠B ＝90°,AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边中的C′处，并且C′D ∥BC ，则CD 是长是_________

⑷如图，把△PQR 沿PQ 的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们的重叠部分的面积是△PQR 面积的一半，若PQ 2PP′是_________

（第一题图）（第二题图）（第三题图）（第四题图）

三、试题再探

⑸如图，BD 为⊙O 直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于E ，AE ＝2，ED ＝4 ①求证：△ABE ∽△ADB ，并求AB 的长 ②延长DB 到F ，使BF ＝BO ，连FA ，那么直线FA 与⊙O 相切吗？

为什么？

分析：①证△ABE ∽△ADB 需找

公共角

两个角

并由相似性质求AB ＝ ∠ABE ＝∠D A A

C D E A B C D E C ’ P Q R

P ’ R ’ Q ’

B A

C E (E)

相似三角形的判定练习题

… 相似三角形的判定练习题 1、如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加条件，可判定△ADB 与△ABC 相似。 2、如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形有。 3、如图，在?ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形是。 4、如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有。 & 5、如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ．下列结论： ①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC ∽△BCD ；④△AMD ≌△BCD ．正确的有。 6、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论中正确的是 ①∠EAF=45°；②△ABE ∽△ACD ；③EA 平分∠CEF ；④BE 2 +DC 2 =DE 2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB 上，A′B′交AC 于F ，则图中与△AB'F 相似的三角形有（不再添加其它线段）是。 8、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF= 4 1 CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的为。、 9、在△ABC 中，∠C=90°，D 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有条。 10、在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 11、如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求PD 的值。？ # 12、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，求证：①△ BEA ∽△ACD ；②△FED ∽△DEB ；③△CFD ∽△ABG # 13、如图，△ABC 与△AFG 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC 分别与AF ，AG 相交于点D ，E ．找出图中所有不全等的相似三角形并证明。！ % 14、如图，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H ．（1）写出图中所有不全等的两个相似三角形（并选择一种情况证明）；（2）除AB=CD ，AD=BC ，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明． ]

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教版

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试（新版）新人教版 1. 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D ) A ．4∶3 B ．3∶4 C ．16∶9 D ．9∶16 2. 如图27－2－41，AB ∥CD ，AO OD ＝23 ，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D ) 图27－2－41 A.25 B.32 C.49 D.23 3．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( A ) A ．48 cm B ．54 cm C ．56 cm D ．64 cm 4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D ， E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D ) A ．BC ＝2DE B ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE 【解析】 ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∴AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误．图27－2－42 图27－2－43 5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )

A ．23 B ．33 C ．43 D ．63 【解析】作DF ⊥BC 于F ， ∵边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线， ∴DE ＝2，BD ＝2，∠B ＝60°， ∴BF ＝1，DF ＝BD2－BF2＝22－12＝3， ∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12 ×3×(2＋4)＝33.故选B. 6．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长﹨面积依次为( A ) A ．8，3 B ．8，6 C ．4，3 D ．4，6 【解析】 ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴ AB DE ＝AC DF ＝2，又∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的周长为16×12 ＝8，△DEF 的面积为12×14 ＝3. 7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12 ，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C ) 图27－2－44 A ．1∶3 B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 8．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C ′的周长为__8__. 【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4，∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43 ＝8. 9．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1. 图27－2－45 10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__．

九下相似三角形4种判定方法知识点+模型+例题+练习 (非常好分类全面)

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D

吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练：一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）C A D C B E F G F E D C B A

相似三角形的性质(2)练习题

4.7相似三角形的性质(2) 1.判断题： (1)如果把一个三角形各边同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍。 (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 2. (1)已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对应边上中线之比，周长比为，面积之比为。 (2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则相似比，周长之比为，对应边上的高线之比。 3.把一个三角形变成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍。 4.两个相似三角形的一对对应边分别是3厘米和2 厘米， (1)它们的周长之差是6厘米，这两个三角形的周长分别是。 (2)它们的面积之和是26平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。例2：如图：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半。已知BC=2，求△ABC平移的距离。 C F E

5.如图1,在△ABC 中,D 是AB 的中点，DE//BC ，则(1)S △ADE ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DBCE = . 6.如图2,在△ABC 中,D 、F 是AB 的三等分点，DE//FG//BC ，则(1)S △ADE ﹕S △AFG ﹕S △ABC = ; (2)S △ADE ﹕S 梯形DFGE ﹕S 梯形FBCG= . 7.在△ABC 中，DE//BC ，且△ADE 的面积等于梯形BCED 的面积，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______。 8.在△ABC 中， DE// FG// BC ，且△ADE 的面积,梯形FBCG 的面积,梯形DFGE 的面积均相等，则△ADE 与△ABC 的相似比是_______；△AFG 与△ABC 的相似比是_______. 9.已知：如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ，△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9。求：△ABC 的面积。 10.如图，平行四边形ABCD 中，AE ：EB=1：2， (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)如果S △AEF=6 cm 2,求S △CDF 。图2

相似三角形的性质练习题

§18.3.3 相似三角形的性质一、教学目标 1.利用前面几节的相关结论经过简单的推导得出相似三角形的各条性质； 2.运用相似三角形性质解决简单的问题。二、教学重难点教学重点：相似三角形的各条性质的掌握教学难点：相似三角形性质中面积比的结论的得出。三、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？ 2、探索研究，形成新知 △ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．（通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦。）思考图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？

可以得到的结论是_________________________________________．想一想：两个相似三角形的周长比是什么？可以得到的结论是_________________________________________．（让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力。） 3、深入探究，得出结论图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________. 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于________________________．（通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受。） 4、反馈练习，思维拓展练习（1）如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少? （2）相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________. （3）如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比. （4）若两个相似三角形的最大边长为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，则教大三角形的周长是多少？

初中相似三角形性质与判定复习 (1)

一、基础训练１、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足条件时，△ADC ∽△ACB 。 E D C B A 第１题第３题第４题第５题 10，则后一个三角形的面积2），如果点C 在X 轴上（C 与A 不重合）， B ，O ， C 组成的三角形与△ABC 相似。 ,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边：：：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是二、例题精讲 1、如图，AB ∥EF ∥CD ，若AB=6cm ，CD=9cm ，求EF 的长。２、如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，（1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？（2）设△ABE 的边BE 上的高为h 1，△ECD 的边CD 上的高为h 2，△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，求2 1 h h 的值及△BCE 的面积。 E F D C B A P D C B A O D C B A E D C B A

3、如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两条直角边BC 、AC 的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大； 4、如图，在△PAB 中，点C 、D 在边AB 上，PC=PD=CD ，∠APB=120°。（1）△APC 与△PBD 相似吗？为什么？（2）CD 是AC 与BD 的比例中项吗？ 5、如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =．（1）如果30BAC ∠= ，105DAE ∠= ，试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由．ＢＣＥＡＤ P D C B A

(完整版)人教版初三数学相似三角形的判定基础练习题(含答案)

相似三角形的判定(基础）一、选择题 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为、、2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A. B. C. D. 3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）． ①②③④ A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④ 4. 在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ) A. 只有① B. 只有② C. ①和②分别都是 D. ①和②都不是 5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（） A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF 6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ) A. B. 8 C. 10 D. 16 二、填空题 7. 如图所示，D、E两点分别在AB、AC上且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件___使△ADE∽△ACB.

8. 如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________. 9. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 10. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________. 11. 如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为____. 12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.

相似三角形的性质与判定练习题含答案

相似三角形的性质与判定副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共7小题，共分） 1.如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．【解答】解：当，，所以∽；当，，所以∽；当，即AC：：AC，所以∽；当，即PC：：AB，而，所以不能判断和相似．故选D． 2.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据对称性可知：，，又，所以 ∽，根据相似的性质可得出：，，在中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．【解答】

解：设BE的长为x，则、在中，， ∽两对对应角相等的两三角形相似，，，故选：C． 3.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而，，树在地面的实际影子长是，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，，树高是．故选C．此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同． 4.如图，是在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是16：9，则OA：为( ) A. 4：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 16：9 【答案】A 【解析】【分析】本题考查了位似变换、位似图形和相似三角形的性质的知识点，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可【解答】

相似三角形的判定()

年级九年级课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例定理和推论； 3．掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法. 过程方法类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法. 情感态度发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系. 教学重点掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似. 教学难点能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入 1.什么是相似多边形? 2.怎样判断两个多边形相似? 3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？ 4.给相似三角形下定义. 5.怎么样判断两个三角形相似？二、自主探究（一）平行线分线段成比例定理及其推论教材40页探究1 ● 平行线分线段成比例定理分析: 1.线段AB,BC,DE,EF 的长度随着直线5,43,l l l 的位置的变化而变化吗？ 2.猜测BC AB 与EF DE 相等吗？ 3.通过画图，测量，计算验证你的猜想. 4.用数学语言描述你的发现. 得到：平行线分线段成比例定理教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置，所得比就是相等的. ● 平行线分线段成比例定理的推论 1.定理图形中的直线21,l l 交点在直线43,l l 上时，对应线段还成比例吗？ 2.擦去四周的部分，只留下△ABC 和△ADE ，原来的对应线段还成比例吗？你可以得到什么结论？得到：平行线分线段成比例定理构的推论（二）相似三角形的判定方法 ● 平行线法在上面的两幅图形中，△ABC 和△ADE 相似吗？你能用学过的知识说明吗？教师提出问题，学生回忆，思考，并回答教师组织学生按照探究要求进行活动，并回答教师设计的问题，逐步完善探究到的结论. 教师进行必要点拨，让学生认识到所有的成比例线段以及他们的内在联系. 教师利用图形的变化自然将教学内容过渡到推论的探究，引导学生思考问题，逐步认识到定理内容在三角形中体现，从而得到推论，学生尝试叙述，教师引导完善，规范. 复习相关知识，引出课题。建立新旧知识之间的联系，感知事物之间由一般到特殊，由特殊到一般的关系. 激起学生的好奇心，探索欲望. 通过实践，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(定理). 让学生亲自进行观察，分析，探究，得到结论，培养学生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法. 23

相似三角形性质与判定复习

相似三角形复习【知识要点】 1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法 1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一： 2. 两个角对应相等的两个三角形__________． 3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质： ? ? ? ? ? ? ? 比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等 4 3 2 1 判定： ? ? ? ? ? 、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等 3 2 1 1.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。 2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。 ②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。 ③三边对应成比例，两三角形相似。 3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。 ②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。 ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

F E D C B A 【典型例题】 1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？ 2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明 3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证： BC AB EF DE =．(2)证明：BDE ?与EFC ?相似。 4、已知，如图，CD 是Rt ABC ?斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ，说明：⑴ ADE ?∽FDB ?； ⑵DF DE CD ?=2． 5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。求：AM ：AC 。 A D B F

相似三角形的性质和判定测试试题

F E A C 相似三角形的性质和判定测试姓名得分? ? 一、填空题（每题3分,共３0分) 1、相似三角形对应、、的比都等于相似比. ２、相似多边形的周长比等于 ,面积比等于． 3、如图,要使ΔABC ∽ΔACD ，从角的角度,需补充的条件是 . 4、已知ΔＡBC ∽ΔA′Ｂ′C′，若ＡC ＝1，Ａ′C′＝2，则ΔA′Ｂ′C′与ΔＡBC 的相似比是 . 5、已知ΔA ＢC ∽ΔA′B′C′，ΔABC 的周长是20ｃｍ,ΔA′B′C′的周长是12cm,ΔＡB Ｃ的最长边为8cm ，则ΔＡ′B′C′的最长边是 cm ． 6、如图，P 是ΔABC 的边AB 上一点，若ΔＡPC ∽ΔA CB ，，则∠1＝∠ ． 7、在ΔA ＢC 中，AB ＝4，BC=9，A Ｃ＝８，在AC 上取一点M,当A Ｍ的长为时， ΔAM Ｂ∽ΔABC . （第1１题) (第13题) 8、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高,且AB=15ｃm,BD=9cm ，则AD ＝，C Ｄ＝。 9、若△AB Ｃ∽△A ′B ′Ｃ′,且4 3 =''B A AB ,△ＡBC 的周长为1２ｃm ，则△A ′ B ′ C ′的周长为 ;若△ABC 的面积为1８cm 2 ，则△A ′B ′C ′的面积为 c ｍ2。 10、两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是．二、选择题（每题３分,共３０分) 11、如图，在Rt △ＡBC 中，AD ⊥B Ｃ与Ｄ，ＤE ⊥AB 与E,若AD ＝3，ＤE=２，则ＡC ＝（） D （第2题） 1 C P （第5题）

相似三角形判定练习试题

成功源于努力！相似三角形的判定(提高）一、选择题 1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为() A. 16：15 B. 15：16 C. 3：5 D. 16：15或15：16 2．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）． A．1条B．2条C．3条D．4条 3. 如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为() A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）． A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．

A．4对B．3对C．2对D．1对 6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP相似的是() A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP：BC=2：3 二、填空题 7. 如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________ 8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_________对. 9. 如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF 的值是________.

相似三角形的判定性质经典例题分析

相似形（一）一、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±?=（分子加（减）分母,分母不变）． 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 5.黄金分割： ○ 1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值. 例题2．已知 111 x y x y +=+，求y x x y +的值。概念：谈重点： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．知识点二、平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○ 4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○ 4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。【重难点高效突破】例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE =吗？请说明理由。（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF = 吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。【即时训练】一、选择题例题精讲 A E D B C A B C D A D C B F

相似三角形的判定--巩固练习(提高带答案)

相似三角形的判定--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形 1. 判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？【思路点拨】注意相似三角形判定定理的灵活运用.【答案与解析】 (1).不一定相似，反例：直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似，反例：等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.一定相似.因为等边三角形各边都相

相似三角形的性质_练习题(有答案)word版本

18.6 相似三角形的性质同步课堂检测学考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为，继续往前走到达处时，测得影子的长为，他的身高是，那么路灯的高度 A. B. C. D. 2.如图，在中，若，，若的面积等于，则的面积等于（） A. B. C. D. 3.如图，中，，如果，，那么的值为（） A. B. C. D. 4.如图，在中，，是边上的高，，，则 A. B. C. D.

5.如图，是斜边上的高，，，则的长为（） A. B. C. D. 6.两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（） A. B. C. D. 7.一个三角形的三边分别为，，，另一个与它相似的三角形中有一条边长为，则这个三角形的周长不可能是（） B. C. D. A. 8.一个的面积被平行于它的一边的两条线段三等分，如果，则这两条线段中较长的一条是（） A. B. C. D. 9.如图，中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论①； ②；③；④，其中结论正确的个数有（）

A.个 B.个 C.个 D.个 10.如图，、分别是边、上的点，，若，则的值为（） A. B. C. D. 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11.相似三角形的判定方法若（型（图）和型（图））则________．射影定理：若为斜边上的高（双直角图形）图则且________，________， ________． 12.如图，，，已知，，则图中线段的长 ________，________，________．

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。考查重点与常见题型 1．相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如：若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2．考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8，则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3．综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。预习练习 1．已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（） 2．有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3．有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是------------- 4．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（）（A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（）（A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8