全微分及其应用

第四节 全微分及其应用

一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ?的线性函数x A ?近似地描述函数值增量y ?,从而可简化y ?的计算.我们自然要问:给定二元函数

()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ??,时,相应的函数值的改变量z ?与y x ??,有何关系?

可否用y x ??,的线性函数y B x A ?+?来近似代替z ??

一、全微分

1. 全微分的定义

对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ?时,若函数的增量y ?可表示为

)(x o x A y ?+??=?,其中,A 与x ?无关而仅与x 有关,当0→x ?时,)(x o ?是比x ?高阶

的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ?叫做)(x f y =在点x 的微分,记作

dy ,即x A dy ?=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.

定义 如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ??,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?.称z ?为函数

),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ?可表示为:

)(ρo y B x A z +?+?=? (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ??,无关,22)()(y x ?+?=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ?+?为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即:

y B x A z d ?+?=. (6.4.2) [说明]

(1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即:

()

()()

(

);0)()()()(lim

lim

2

22

20,0,0

=?+??+?=

→??→y x y x o o y x ρ

ρρ

(2) 习惯上,自变量的增量x ?与y ?常写成dx 与dy (类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量y x ,的微分.这样,函数()y x f z ,=的全微分也可写为:

Bdy Adx z d +=

(3) 如果函数在区域D 内的各点都可微,则称函数在区域D 内可微,或称函数为D 内的可微函数.

例1 求证函数2

2

y x z +=在()00,y x 处可微,并求其全微分.

解 因为()00,y x 处函数的全增量为:

()()()

()(),222

2

002

02

02

02

0y x y y x x y x y y x x z ?+?+?+?=+-?++?+=?

且

()()

()()

.0)()(lim

)()()()(lim

220,0,2

2220,0,=?+?=

?+??+?→??→??y x y x y x y x y x

所以,根据可微的定义知,函数2

2

y x z +=在()00,y x 处可微,且其全微分为:

.22220000y d y x d x y y x x z d +=?+?=

2. 全微分与偏导数、连续的关系

(1) 可微必连续

在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时

()()

0lim 0,0,=?→??z y x ,也就是

()()

[]0),(),(lim

0,0,=-?+?+→??y x f y y x x f y x ,

即

()()

),(),(lim 0,0,y x f y y x x f y x =?+?+→??.从而),(y x f z =在点),(y x P 处连续.

在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.

(2) 可微必可偏导

定理1(可微的必要条件) 若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在点)

,(y x P 的两个偏导数

y

z

x z ????,都存在(即函数),(y x f z =在点),(y x P 可偏导),且 dy y

z dx x z y y z x x z z d ??+??==???+???=

. (6.4.3)

证明 因),(y x f z =在点),(y x P 可微,所以对于),(y x P 的某一邻域()P U 内的任意一点),(y y x x ?+?+,都有)(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f +?+?=-?+?+.特别地,当0y ?=时,||x ρ=?且|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ?+?=-?+,两边同除以x ?,取极限得

=??x z A x

x o A x y x f y x x f x x =??+=?-?+→?→?)|)(|(lim ),(),(lim 00,

同理

y

z ??=B ,所以 y y z

x x z z d ???+???=. 然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如

在原点(0,0)处有0)0,0(,0)0,0(='='y x f f (即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.

但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.

定理2(可微的充分条件) 如果函数),(y x f z =的两个偏导数),(),,(y x f y x f y x ''在点

),(y x P 的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.

由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为

??

???)

()(可偏导偏导数存在连续

可微且连续可偏导偏导数存在 一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算

由定理1知，二元函数),(y x f z =的全微分可以写成: dy y x f dx y x f dy y

z dx x z y x df dz y x ),(),(),('+'=??+??==. (6.4.4) 称上式为全微分公式.

全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数()z y x f u ,,=可微分,那么它的全微分公式为:

dz z y x f dy z y x f dx z y x f dz z

u

dy y u dx x u u d z y x ),,(),,(),,('+'+'=??+??+??=

(6.4.5) 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微

22

22

22,0;(,)0,0.

xy x y x y

f x y x y +≠+=+=

分公式进行组装即可得到.

例2 求函数2

2

y y x z +=的全微分. 解 因为

y x y

z xy x z 2,22+=??=??,所以dy y x xydx dz )2(22++=. 例3 求函数3

2

),(y x y x f =在点)1,2(-处的全微分.

解 因为 2233),(,2),(y x y x f xy y x f y x ='=',所以12)1,2(,4)1,2(=-'-=-'y x f f .由于两个偏导数是连续的,故

dy dx df 124)1,2(+-=-.

例4 求函数y

z

y x u arctan 2cos

+-=的全微分. 解 因为

2

222,2sin 21,1z y y

z u z y z y y u x u +=??+-=??=??.所以 dz z

y z

dy z y z y dx du 2

222)2sin 21(+++-+=.

二、全微分在近似计算中的应用

二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微,则有

,

)(),(),()

,(),(00000000ρo y y x f x y x f y x f y y x x f z y x +?'+?'=-?+?+=?

其中22)()(y x ?+?=

ρ.故当|||,|y x ??充分小时,有

dz y y x f x y x f z y x =?'+?'≈?),(),(0000, (6.4.6) 即

y y x f x y x f y x f y y x x f y x ?'+?'≈-?+?+),(),(),(),(00000000.

移项得

y y x f x y x f y x f y y x x f y x ?'+?'+≈?+?+),(),(),(),(00000000 (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.

例5 计算3397.102.1+的近似值.

解 设函数33),(y x y x f +=

,所计算的值可看作是函数在97.1,02.1==y x 处

的函数值.取03.0,2,02.0,100-====y y x x ??.则

3

3

23

3

223),(,23),(y

x y y x f y

x x y x f y x +=

'+=

'.

而2)2,1(,21

)2,1(,3)2,1(),(00='=

'==y x f f f y x f ,所以 95.2)03.0(202.02

1

397.102.133=-?+?+≈+.

例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到05.20厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.

解 设圆柱体的半径,高和体积分别为V h r ,,,则h r V 2

π=.记V h r ,,的增量依次为

V h r ???,,,且1,05.0,100,20-=?=?==h r h r ,由公式(6.4.6)得

.

200)1(2005.010*******πππππ-=-??+???=?+?=???+???≈

?h r r rh h h

V r r V V

即此圆柱体在受压后体积约减少了π200立方厘米.

习 题 6-4

1. 求下列函数的全微分: (1) 22ln

y x z +=; (2) 5ln 23+-=-x xe z y ; (3) z

x y u 1??

?

??=.

2. 求函数x y e x z y

sin 2

2

+=在点()0,π处的全微分. 3. 求函数y

x e z =当1.0,15.0,1,1=?=?==y x y x 时的全微分.

4. 计算()

02

.204.1的近似值.

5. 设生产两种产品B A ,的产量分别为y x ,时的联合总成本函数为:

()223215,y xy x y x C +++=.

求当产量分别为40,50时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.

03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用 分布图示 ★ 偏增量与全增量 ★ 全微分的定义 ★ 可微的必要条件 ★ 可微的充分条件 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用 ★ 例5 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 例6 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8—3 ★ 返回 例题选讲 例1(E01) 求函数62354y x xy z +=的全微分. 解 因为 ,3012,1045 2263y x xy y z xy y x z +=??+=?? .)3012()104(52263dy y x xy dx xy y dz +++= 例2 (E02) 计算函数xy e z =在点(2, 1)处的全微分. 解 ,xy ye x z =??,xy xe y z =?? ,2)1,2(e x z =??,2 2) 1,2(e y z =?? 所求全微分 .222dy e dx e dz += 例3 求函数 yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 由 ,1=??x u ,2cos 21 yz ze y y u +=?? ,yz ye z u =?? 故所求全微分

.)2 cos 21(dz ye dy ze y dx du yz yz +++= 例4 (E03) 求函数z y x u =的偏导数和全微分. 解 z z y z y z x x y x y x u ?=?=??-1 z z y z z y x y x y z x y z x y u ??=???=??-ln ln 1 y x y x y y x x z u z y z y z z ln ln ln ln ???=??=?? dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=.ln ln ln ??? ? ???+?+=ydz x y dy y x y z dx x y x z z z y z 例5 (E04) 计算02.2)04.1(的近似值. 解 设函数.),(y x y x f =.02.0,04.0,2,1=?=?==y x y x ,),(,1)2,1(1-==y x yx y x f f ,ln ),(x x y x f y y =,0)2,1(,2)2,1(==y x f f 由二元函数全微分近似计算公式得 02.0004.021)04.1(02.2?+?+≈.08.1= 例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 以及40cm ，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差. 解 以x 、y 、z 为边长的矩形盒的体积为,xyz V = 所以dz z V dy y V dx x V dV ??+??+??=.xydz xzdy yzdx ++= 由于已知 ,2.0||≤?x ,2.0||≤?y ,2.0||≤?z 为了求体积的最大误差,取,2.0===dz dy dx 再结合,40,60,75===z y x 得 dV V ≈?2.060752.040752.04060??+??+??=,1980= 即每边仅0.2cm 的误差可以导致体积的计算误差过到.19803cm 例7 利用摆摆动测定重力加速度g 的公式是.42 2T l g π= 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为cm l 1.0100±=、s T 004.02±=. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少? 解 如果把测量l 与T 时所产生的误差当作||l ?与|,|T ?则题设公式计算所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增的绝对值.||g ?由于||||T l ??、都很小，因此可用dg 近似的

多元函数微分学及其应用

第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？

例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）

(整理)多元函数微分学及其应用归纳总结.

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数 的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 22 22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？

例4（07年期末考试 一、2，3分）设2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有

多元函数微分学及其应用

《高等数学》课程学习指导与讨论题 第五章多元函数微分学及其应用 在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。 本章教学实施方案(总计30学时) 讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时) 7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。 习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。 讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。 第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识 一、教学内容与重点 n R中点列的极限与点集的初步知识。 二、教学要求 1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中

第九章 多元函数微分学及应用(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 第九章 多元函数微分学及应用 一. 设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求x v x u ?????. 解. y f f x u ''21+=??, )1('y g x v +=??. 所以 )''(')1(21y f f g y v v x u ++=????? 二. 设??? ? ??=+y z y z x ?22, 其中?为可微函数, 求 y z ??. 解. 原式两边对y 求导. 2'2y z y y z y z y y z y z z -????? ? ??+???? ??=????. 所以 ? ?? ? ??-???? ??-???? ??=??y z y yz y z z y z y y z '2'??? 三. 设x u z x t t x y z y x f u ??===，求 ，，又),(),(),,(ψ?. 解. 由上述表达式可知x, z 为自变量, 所以 ()'''''''''''''x t y x y x x t x y x y x f f f f f x y f f x u ψ??ψ??++=++=??+=?? 四. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ，求0),,(=+++; 2. dz y z xz f z ，求，)(-=. 解. 1. 0)1('' '321=??++??+x z f x z f f , 所以''''3231f f f f x z ++-=?? 0)1('''231=??++??+y z f y z f f , 所以''''3221f f f f y z ++-=?? 所以 ' ')''()''(322131f f dy f f dx f f dy y z dx x z dz ++++-=??+??= 2. x z f x z x z f x z ??+??+=??')('21, 所以''1'211f xf zf x z --=?? )1(''21-??+??=??y z f y z x f y z , 所以''1'212f xf f y z ---=??

(整理)多元函数微分法及其应用81534

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(, )P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用 εδ-定义证明2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的 结论。 例3 设 22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设 2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否 存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数 332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。

高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用

§8.3 全微分及其应用 一、全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分: f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x , f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y , f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ). 计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) 可表示为 ) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ, 其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y . 如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ), 于是 0lim 0 =?→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件: 定理1(必要条件) 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ??、y z ??必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ???+???=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有

多元函数微分学及应用(word版)

《多元函数微分学及应用》练习题 一、填空题 1.已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f . 2.函数 y x z -= 的定义域为 {(y x ,)| y x ≥，0≥y }. 3.设f(x,y)=ln(x 2+y 2),g(x,y)=e (x+y),则f[x 2,g(x,y)]= . 4.设y x y x y x f tan )1(),(22-+=，则=)1,(x f x . 5.设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z . 6.设()22ln y x z +=，则=??==1 1y x x z ， . 7.设函数u x y (,)= y x du ,(,)则34= . 8.设?? ? ??=x y f y z ，其中)(u f 具有一 阶连续导数，则 =??y z . 9.设),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中 2x u = ,y e v sin =,y w ln =，则 10.设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，du=. . 11.设u x y x y =+-4422 4，则??22u x = . 12.设y x z =，则=???y x z 2 . 13.设))z y x (g y x (f z --+-=,其中g ,f 可导, x z ??= . 14.设函数),(y x z z =由方程z e z y x =-+2sin 所确定，则=??x z . 15.设x y z 2 tan =,则=dz . 16.设y x u =（0>x ，1≠x ），则.=u d . 17．设()xy z arctan =，则=dz 18.设)sin ,,(y x ye x f z =μ，则du =

全微分及其应用

第四节 全微分及其应用 一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ?的线性函数x A ?近似地描述函数值增量y ?,从而可简化y ?的计算.我们自然要问:给定二元函数 ()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ??,时,相应的函数值的改变量z ?与y x ??,有何关系? 可否用y x ??,的线性函数y B x A ?+?来近似代替z ?? 一、全微分 1. 全微分的定义 对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ?时,若函数的增量y ?可表示为 )(x o x A y ?+??=?,其中,A 与x ?无关而仅与x 有关,当0→x ?时,)(x o ?是比x ?高阶 的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ?叫做)(x f y =在点x 的微分,记作 dy ,即x A dy ?=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义. 定义 如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ??,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?.称z ?为函数 ),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ?可表示为: )(ρo y B x A z +?+?=? (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ??,无关,22)()(y x ?+?=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ?+?为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即: y B x A z d ?+?=. (6.4.2) [说明] (1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即: () ()() ( );0)()()()(lim lim 2 22 20,0,0 =?+??+?= →??→y x y x o o y x ρ ρρ

多元函数微分学及其应用

第五章多元函数微分学及其应用 导学：在上册已经学习了一元函数的微分学及其应用。用导数和微分可以研究函数的很多性质。一元函数描述的是两个变量之间的关系，现实中或者理论上很自然的需要研究多个自变量之间的关系，形成多元函数的概念，研究多元函数需要把一元函数的微分学的有关概念和方法推广到多元函数情形，这就是本章的主要任务。在学习中要充分注意到相关概念、理论和思想方法的平行特点，这使得理解本章内容比较容易，同时要注意到新产生的差异的地方。 第一节 n维Euclid空间n R中的点集的初步知识 导学：一元函数的定义域和值域都是实直线上的区间，多元函数的定义域和值域都是高维空间的点集，因此，需要先对n维空间的点集及其性质做些研究，这些概念还可以推广到一般的无穷维空间。 问题1 回忆n维线性空间、向量的运算、内积运算，定义n维空间的距离、范数。具体化为1、2、3维空间看看距离、范数的几何特征。问题2类比n R中点列的到极限、极限的性质、聚点原理、柯西收敛原理。特别注意：n R中点列收敛和实直线R中数列收敛的关系。 问题3 n R中的极限点、聚点、孤立点、内点；点的邻域；集合的导集、开集、闭集；集合的内部、外部、边界；集合的紧性、集合的凸性；有界集合、区域、有界闭区域。注意对比实直线上的开区间、闭区间和n R中的开集合、有界闭区域的关系。 问题4 注意n R中开集合的三条性质、闭集合的三条性质。这三条性质可以推广成一般的抽象的拓扑空间上去。

第二节多元函数的极限与连续性 导学：多元函数的概念是一元函数概念的直接推广，多元函数极限、连续的概念也是一元函数极限、连续的概念的直接推广。注意二元函数等值线、三元函数等值面的意义及几何直观。注意二重极限、多重极限与一元函数极限思想的类同与不同之处。注意有界闭区域上多元连续函数的性质与一元函数有界闭区间上连续函数的性质的类同之处。 问题 1 类比多元数量值函数的概念和一元函数概念的类同；二元函数定义域的几何图像；二元函数的几何意义；等值线、等值面； 问题2 注意多元向量值函数的概念、记号。 问题 3 注意二重极限、连续的概念与一元函数概念的相同与不同之处；特别注意例2.5，2.6的的思想方法；注意从二元到n元函数的极限概念的推广？ 问题 4 注意闭区间上一元连续函数到有界闭区域上多元连续函数的性质的直接推广。 讨论题： 1、回答P.21练习(A)习题2的问题. 2、讨论P.22练习(A)习题11、12中的问题

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28 习题8-1 1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ； 解：0,0x y D ≥≥?= ( ){,0,x y y x ≥≥ (2) 2 2 1)ln(y x x x y z --+ -=； 解：2 2 0,0,1y x x x y D -≥≥--?=(){} 2 2,01x y y x x y >≥+<且 (3) )0(1 2 2 2 2 2222>>-+++ ---= r R r z y x z y x R u ； 解：2 2 2 2 2 2 2 2 0R x y z x y z r ≤---<++-?，0 D ?= (){} 2 2222,,x y z r x y z R <++≤ (4) 2 2 arccos y x z u +=。 221,0x y D ≤+≠?= ( ){} 22,0x y z x y ≤ +≠ 2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2 2 y 0 1)e ln(lim y x x y x ++→→； 解：y 1ln 2x y →→= = (2) xy xy y x 4 2lim 0+-→→； 解：令t=xy ，1 2 0000 1(4)1 2lim 14x t t y t -→→→→-+===-

2 / 28 (3) x xy y x sin lim 5 0→→； 解：0050 sin sin lim 5lim 55x x y y xy xy x x →→→→== (4) 2 2x 2 2220 0e )()cos(1lim y y x y x y x ++-→→； 解：2222222 2 222x 001cos()1 1cos()2(sin ),lim 20022()e y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=??=+Q (5) xy y x y x )(lim 220 +→→。 解：0,xy >设22 ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理 2200 222222lim ln() 2 2 2 2000 ln()()ln() 0lim ln()0,lim()1 x y xy x y xy x x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e →→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得, 3. 证明下列极限不存在： (1) y x y x y x -+→→0 0lim ； 证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x +=== -当沿直线趋于原点(0,0)时. 00 1lim ,1x y x y m m x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。 (2) 222220 0)(lim y x y x y x y x -+→→。 证明： 22 22200 (,)(,)(,)1,lim 1 ()x y x y x y y x f x y f x x x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,

第八章多元函数微分学及其应用习题解答

习题8-1 1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ； 解：0,0x y D ≥≥?= ( ){,0,x y y x ≥≥ (2) 2 2 1)ln(y x x x y z --+ -=； 解：2 2 0,0,1y x x x y D -≥≥--?=(){} 2 2,01x y y x x y >≥+<且 (3) )0(1 2 2 2 2 2222>>-+++ ---= r R r z y x z y x R u ； 解：2 2 2 2 2 2 2 2 0R x y z x y z r ≤---<++-?，0 D ?= (){} 2 2222,,x y z r x y z R <++≤ (4) 2 2 arccos y x z u +=。 221,0x y D ≤+≠?= ( ){} 22,0x y z x y ≤ +≠ 2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2 2 y 0 1)e ln(lim y x x y x ++→→； 解：y 1ln 2x y →→= = (2) xy xy y x 4 2lim 0+-→→； 解：令t=xy ，1 2 0000 1(4)1 2lim 14x t t y t -→→→→-+===-

(3) x xy y x sin lim 5 0→→； 解：0050 sin sin lim 5lim 55x x y y xy xy x x →→→→== (4) 2 2x 2 2220 0e )()cos(1lim y y x y x y x ++-→→； 解：2222222 2 222x 001cos()1 1cos()2(sin ),lim 20022()e y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=??=+ (5) xy y x y x )(lim 220 +→→。 解：0,xy >设22 ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理 2200 222222lim ln() 2 2 2 2000 ln()()ln() 0lim ln()0,lim()1 x y xy x y xy x x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e →→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得, 3. 证明下列极限不存在： (1) y x y x y x -+→→0 0lim ； 证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x +=== -当沿直线趋于原点(0,0)时. 00 1lim ,1x y x y m m x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。 (2) 222220 0)(lim y x y x y x y x -+→→。 证明： 22 22200 (,)(,)(,)1,lim 1 ()x y x y x y y x f x y f x x x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,

多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???= ???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 44 22y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

多元函数微分法及其应用总结

第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、 值域、图形 二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算（P61、P62、P63（6）） 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →= 二元函数 (),f x y 在区域D

连续 在有界闭区域上的连续函数 (),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定 义域内是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的定义 例如，计算

()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ， y 的偏导数(),x f x y ，(),y f x y 的定义 算法练习（P69、1，4） 多元函数的高阶偏导数（P69、6（1），7，8） 多元函数的全微分 (),z f x y =，

()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习（P75、1（1），2，3） 多元复合函数的求导法则 树形法则（P82、1，3，8，10） 隐函数求导法则 若(),0F x y =，则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =， 则x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-? 算法练习（P89、1，3

微分学基本定理及其应用

第六章 微分学基本定理及其应用 1 设多项式],[)(b a x p 在区间上有n 个根（计算重根的重数），则)()(x p j 在],[b a 上有n-j 个根，1,,1,0-=n j Λ. 2 证明不等式 h h h h <+<+)1ln(1 对一切0,1≠->h h 成立. 3 设b a <且0>ab , 函数f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导. 证明在),(b a 内存在一点ξ, 使得 )(')()() (1ξξξf f b a b f a f a b -=- 4 1)设h>0, 函数f 在],[h a h a +-上可导. 证明存在)1,0(∈θ, 使得 )(')(')()(2)(h a f h a f h h a f a f h a f θθ--+=-+-+; 2)设函数g 在点a 二阶可导. 证明 )('') ()(2)(lim 20a g h h a g a g h a g h =-+-+→. 5 若函数f 在区间I 上可导且'f 在I 上有界, 证明f 在I 上一致连续. 6 求下列函数在x=0处的带有佩亚诺型余项的泰勒公式 1)2 )1(1)(x x f +=; 2)2sin )(x x f =. 7 若函数f 在区间),(b a 内二阶可导, 且恒有0)(''>x f . 证明对于任何),(,21b a x x ∈, 都有 )2 ()]()([212121x x f x f x f +≥+ 其中等号当且仅当21x x =时才成立. 8 若函数f 在点a 二阶可导, 且0)(''≠a f , 证明对于拉格郎日中值公式

10),(')()(<<+=-+θθh a f a f h a f 中的2/1lim 0 =→θθh 有. 9 设函数f 在(+∞,a )上可导, 而且 A x f x =+∞→)(lim , B x f x =+∞ →)('lim 求证B=0. 10 利用泰勒公式求极限 2240cos lim x x x e x -→-. 11 求21cos lim tan x x x π→+. 12 求)1ln()21(lim 22 /10x x e x x ++-→. 13 求3lim x e x x +∞→. 14 求x x x ln lim 0+→. 15 求)11 1 (lim 0--→x x e x . 16 证明当x>0时, )1ln(x x +>. 17 设0,0>>b a 证明方程 03=++b ax x . 有唯一负实根0x . 18 求函数 34)1()(-=x x x f 的极值. 19 考察曲线 3223-+=x x x y 渐进线.