《复变函数》模拟考试试题解读
《复变函数》模拟考试试题
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（4x10=40分）：
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ）
2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ）
3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( )
4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ）
5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ）
6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
7、若)(lim 0
z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ）
8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C
dz z f 。
（ ）
9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分）
1、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-?
C n
dz z z )(1
__________。
2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则
=+→)(lim 1z f i
z _________。
3、设1
1
)(2+=
z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞
=0
n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n z
z e _____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、设
)2)(1(1
)(--=
z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式。
2、求
??==+--+3||1
||1)4)(1(21sin z z z z z dz
i zdz e π。
3、求函数
)2sin(3
z 的幂级数展开式。 4、求)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求0154=+-z z ，在|z |<1内根的个数。
《复变函数》考试试题（二）
一、判断题（4x10=40分）：
1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ）
2、有界整函数必为常数。（ ）
3、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( )
4、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。（ ）
5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
6、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。（ ）
7、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ）
8、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ）
9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 10、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。（ ） 二、填空题（4x5=20分）
1、=-?=-1||00)
(z z n
z z dz
__________。 2、设1
1)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________。
3、若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________。
4、=+z z 2
2
cos sin _________。
5、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、.cos 1
1
||?=z dz z
2、求).,1(
Res 2
i z e iz
+ 3、.62lim n
n i ??? ??-∞
→
4、求)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在+∞<<|z |2内的罗朗展式。
5、求02822
69=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数。
《复变函数》考试试题（三）
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ）
2、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ）
3、如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0
z f z z →一定不存在。( )
4、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ）
5、若函数f (z )=u (x ,y )+ iv (x ,y )在D 内连续，则二元函数u (x ,y )与(x ,y )。（ ）
6、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界。（ ）
7、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 8、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 9、存在整函数)(z f 将复平面映照为单位圆内部。（ ）
10、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若n n n
i n n z )1
1(12++-+=
，则=∞→n z n lim __________。
2、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-?
C n
dz z z )(1
__________。
3、函数z sin 的周期为___________。
4、设1
1
)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5、幂级数∑∞
=0
n n nx 的收敛半径为__________
6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点。
7、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内_________。、 8、函数||)(z z f =的不解析点之集为________。
9、=)0,(Res n z
z
e ____________，其中n 为自然数。 10、公式x i x e ix sin cos +=称为_____________. 三、计算题（8x5=40分）：
1、设?-++=C d z
z f λλλλ1
73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 2、求??==+--+
3||1
||1)
4)(1(21sin z z z z z dz
i zdz e π。 3、设1
)(2-=z e z f z
，求).),((Re ∞z f s
4、求函数z
e 1在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求复数1
1
+-=
z z w 的实部与虚部。 6、求.21212
2
??? ??-+??? ??+i i
四、证明题（6+7+7=20分）：
1、设∞是函数f (z )的可去奇点且C A z f z ∈=∞
→)(lim ，试证：
))((lim )),((Re A z f z z f s z --=∞∞
→。
2、若整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则)(0)(C z z f ∈?≡。
3、证明0364=+-z z 方程在2||1< 《复变函数》考试试题（五） 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点。( ) 4、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析。（ ） 5、若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛。（ ） 6、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ） 7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 8、存在整函数f (z )将复平面映照为单位圆内部。（ ） 9、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，且在D 内的某个圆内恒等于常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。（ ） 10、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数 ∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、函数e z 的周期为__________。 4、设2 11 )(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有__________。 的收敛半径为_________。 5、幂级数∑∞ =0n n nx 的和函数为____________。 6、若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 7、若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 2 1______________。 8、=)0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数。 9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________。 10、函数2 11 )(z z f += 的幂级数展开式为__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、.) )(9(2||2? =+-z dz i z z z 2、求).,1(Res 2 i z e iz + 3、.62lim n n i ?? ? ??-∞→ 4、求函数z e 1 在+∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求方程14258=+-z z z 在单位圆内零点的个数。 6、求n n i ?? ? ??+∞→21lim 。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是在D 内解析。 2、如果函数)(z f 在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则 )1|(|1|)(|≤≤z z f 。 3、设方程014258=-+-z z z 证明：在开单位圆内根的个数为5。 《复变函数》考试试题（六） 一、判断题（3x10=30分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 3、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件。( ) 4、若函数f (z )在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ ） 5、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 6、若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。（ ） 7、若)(0)('D z z f ∈?≠，则函数f (z )在是D 内的单叶函数。（ ） 8、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ， 则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ） 10、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若n n n i n n z )1 1(12++-+= ，则=+∞→n z z lim __________。 2、设1 1 )(2+=z z f ，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数sin z 的周期为___________。 4、=+z z 22cos sin ________。 5、幂级数∑+∞ =0n n nz 的收敛半径为_____________。 6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 7、若函数f (z )在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f (z )=|z |的不解析点之集为__________。 9、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为_________。 10、公式x i x e ix sin cos +=称为__________。 三、计算题（5x6=30分）： 1、.62lim n n i ?? ? ??-∞ → 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),).s f z i 4、求函数63 sin z z 在∞<<||0z 内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-=z z w 的实部与虚部。 6、求i e 3 π -的值。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程0169367=-++z z z 在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，v(x,y)等于常数，则()f x 在D 内恒等于常数。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 《复变函数》考试试题（七） 一、判断题（3x8=24分） 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0满足Cauchy-Riemann 条件。（ ） 3、如果z 0是f (z )的可去奇点，则)(lim 0 z f z z →一定存在且等于零。( ) 4、若函数f (z )是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠。（ ） 5、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 6、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 7、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（ ） 8、)(1|sin |C z z ∈?≤。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若11 sin (1)1n n z i n n =++-，则lim n n z →+∞=__________。 2、设2()1 z f z z =+，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数z e 的周期为___________。 4、=+z z 22cos sin ________。 5、幂级数2 20n n n z +∞ =∑的收敛半径为_____________。 6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 7、若函数f (z )在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f (z )=|z |的不解析点之集为__________。 9、方程833380z z z -++=在单位圆内的零点个数为_________。 10、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（5x6=30分） 1、求.21212 2?? ? ??-+??? ??+i i 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设2()z e f z z =，求Re ((),0).s f z 4、求函数 (1)(2) z z z --在1||2z <<内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-= z z w 的实部与虚部。 6、利用留数定理计算积分：20,(1).cos dx a a x π>+? 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程7633249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， |()|f z 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{:||1,Im 0}z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{:||1}w w <。 《复变函数》考试试题（九） 一、 判断题（2x10=20分） 1、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ） 2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 3、如果z 0是f (z )的极点，则)(lim 0 z f z z →一定存在且等于无穷大。( ) 4、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 6、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 7、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则f (z )在 区域D 内恒等于常数。（ ） 8、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（ ） 9、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析，且)1|(|1|)(|=≤z z f ，则)1|(|1|)(|≤≤z z f 。（ ） 10、lim z z e →∞ =∞。（ ） 二、填空题（2x10=20分） 1、若2 sin (1)1n n n z i n n =+-+，则=+∞→n z z lim __________。 2、设1 ()sin f z z =，则)(z f 的定义域为__________。 3、函数sin z 的周期为___________。 4、=+z z 22cos sin ________。 5、幂级数∑+∞ =0n n nz 的收敛半径为_____________。 6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 7、若函数f (z )在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。 8、函数 ()f z z =的不解析点之集为__________。 9、方程832011350z z z -++=在单位圆内的零点个数为_________。 10、2Res(,1)1 z e z =-_____________。 三、计算题（5x6=30分） 1、.62lim n n i ?? ? ??-∞ → 2、设?-++=C d z z f λλλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 3、设2()1 z e f z z =+，求Re ((),).s f z i ± 4、求函数 (1)(2) z z z --在1||2z <<内的罗朗展式。 5、求复数1 1 +-= z z w 的实部与虚部。 6、利用留数定理计算积分242 2 109 x x dx x x +∞-∞ -+++? 。 四、证明题（6+7+7=20分） 1、方程0169367=-++z z z 在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， ),(y x u 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。 3、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。 五、计算题（10分） 求一个单叶函数，去将z 平面上的带形区域{:Im }2 z z π π<<保形映射为w 平面 的单位圆盘{:||1}w w <。 《复变函数》考试试题（十） 二、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C dz z f 。 （ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）： 1、.) )(9(2||2? =+-z dz i z z z 2、求).,1(Res 2 i z e iz -+ 3、 n n i i ? ?? ??-+??? ??+2121。 4 设22(,)ln()u x y x y =+。求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数， 且满足(1)ln 2f i +=。其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。 5、求0154 =+-z z ，在|z|<1内根的个数 《复变函数》考试试题（十一） 一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2?5=10分） 1．当复数0=z 时，其模为零，辐角也为零。 （ ） 2．若0z 是多项式011)(a z a z a z P n n n n +???++=--（0≠n a ）的根，则0z 也是)(z P 的根。 （ ） 3．如果函数)(z f 为整函数，且存在实数M ，使得M z f <)(Re ，则)(z f 为 一常数。 （ ） 4．设函数)(1z f 与)(2z f 在区域D 内解析，且在D 内的一小段弧上相等， 则对任意的D z ∈，有)(1z f ≡)(2z f 。 （ ） 5．若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则0)(Re =∞ =z f s z 。 （ ） 二、填空题（每题2分） 1． ____65432=????i i i i i 。 2．设0≠+=iy x z ，且ππ≤<-z a r g ，2 arctan 2 π π <<-x y ，当0,0> arg +=x y z 。 3．函数z w 1 =将z 平面上的曲线1)1(22=+-y x 变成w 平面上的曲线 __________。 4．方程)0(044>=+a a z 的不同的根为________________________。 5．__________________________________)1(i i +。 6．级数n n n z ∑∞ =-+0])1(2[的收敛半径为________________________。 7．nz cos 在n z <||（n 为正整数）内零点的个数为________________________。 8．函数)6(sin 6)(633-+=z z z z f 的零点0=z 的阶数为______。 9．设a 为函数) () ()(z z z f ψ?=的一阶极点，且0)(,0)(,0)(≠'=≠a a a ψψ?，则 ___________________)(Re ==z f s a z 。 10．设a 为函数)(z f 的m 阶极点，则___________________) () (Re ='=z f z f s a z 。 三、计算题。（50分） 1．设)ln(2 1 ),(22y x y x u +=。求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数， 且满足2ln 2 1 )1(= +i f 。其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。（15分） 2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分） （1） z 2 tan ； （5分） （2）1 1 1--z z e e 。（5分） 3．计算下列积分。（15分） （1） dz z z z z ?=++4||3 44219)2()1(（8分）， （2）?+πθθ 02cos 1d （7分）。 4．叙述儒歇定理并讨论方程025247=-+-z z z 在1|| 四．证明题。（20分） 1．设),(),()(y x iv y x u z f +=是上半复平面内的解析函数，证明)(z f 是下半复平面内的解析函数。（10分） 2．设函数)(z f 在R z <||内解析，令)0(|,)(|max )(||R r z f r M r z <≤==。证明：) (r M 在区间),0[R 上是一个上升函数，且若存在1r 及2r （R r r <<≤210），使 )()(21r M r M =，则≡)(z f 常数。（10分） 《复变函数》试卷(十三) 一、填空题。(每题2分) 1、设)sin (cos θθi r z +=，则 _________________1 =z 。 2、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则 A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。 3、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分_______)(=?dz z f C 。 4、设a z =为)(z f 的极点，则______)(lim =→z f a z 。 5、设z z z f sin )(=，则0=z 是)(z f 的______阶零点。 6、设2 11 )(z z f +=，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式为_______________________。 7、设b a z a z =++-||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 8、设6 cos 6sin π πi z --=，则z 的三角表示式为__________________。 9、___________________cos 40 =?dz z z π 。 10、 设2)(z e z f z -=，则)(z f 在0=z 处的留数为_________。 二、计算题。 1、计算下列各题。(9分) (1) i cos ; (2) )32ln(i +-; (3) i -33 2、求解方程083=+z 。(7分) 3、设xy y x u +-=22，验证u 是调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(，使之 i i f +-=1)(。(8分) 4、计算积分。(10分) (1) ? +C dz iy x )(2，其中C 是沿2x y =由原点到点i z +=1的曲线。 (2) ? ++-i dz ix y x 10 2])[(。积分路径为自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向 右到i +1。 5、试将函数) 2)(1(1 )(--= z z z f 分别在圆环域1||0< 朗级数。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1) dz z z z z ?=--2||2 )1(2 5; (2) dz z z z z ?=-4||22)1(sin . 7、计算积分dx x x ?∞ +∞-+4 2 1。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分) （1） 1 1-∞ =∑n n z n （2）n n n z n ∑∞ =-1 !)1( 9、讨论2||)(z z f =的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。 1、设函数)(z f 在区域D 内解析，|)(|z f 为常数，证明)(z f 必为常数。(5分) 2、试证明0=++b z a z a 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数。(5分) 《复变函数》考试试卷(十四) 一、填空题。(每题2分) 1、设)sin (cos θθi r z +=，则_________________=n z 。 2、设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=，则 A z f z z =→)(lim 0 的充要条件是___________________________。 3、设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，则)(z f 在D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分_______)(=?dz z f C 。 4、设a z =为)(z f 的可去奇点，则)(lim z f a z →为。 5、设)1()(2 2-=z e z z f ，则0=z 是)(z f 的______阶零点。 6、设2 11 )(z z f -= ，则)(z f 在0=z 的邻域内的泰勒展式为_______________________。 7、设b a z a z =++-||||，其中b a ,为正常数，则点z 的轨迹曲线是______。 8、设ααcos sin i z +=，则z 的三角表示式为__________________。 9、_________ __________11=?+dz ze i z 。 10、设z z z f 1 sin )(2=，则)(z f 在0=z 处的留数为_________。 二、计算题。 1、计算下列各题。(9分) (1) )43(i Ln +-; (2) 6 1i e π+ -; (3) i i +-1)1( 2 求解方程023=+z 。(7分) 3设y x u )1(2-=，验证u 是调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(，使之 i f -=)2(。(8分) 4、计算积分?++-i dz ix y x 10 2])[(。积分路径为(1)自原点到i +1的直线段；(2) 自 原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向右到i +1。(10分) 5、试求2 1 )(-= z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1) dz z z z ? =-2 ||2 )2 (sin π ; (2) dz z z z z ?=--4||22)3(2 . 7、计算积分? +πθ θ 20 cos 35d 。(6分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分) （1） n n n z i ∑∞ =+0 )1( （2）n n n z n n ∑∞ =12)!( 9、设)()(2323l x y x i y nx my z f +++=为复平面上的解析函数，试确定n m l ,,的值。(8分) 三、 证明题。 1设函数)(z f 在区域D 内解析，)(z f 在区域D 内也解析，证明)(z f 必为常数。(5分) 2试证明0=++b z a z a 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数。(5分) 第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<< 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。 ()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=? (1) 3 + 2/ (3) l-2z 2-i 3 — 4, 57 习题1复数与复变函数 1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角: (2) 2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式: (1)一1 +病 (2) l-cosQ + isin。 3.求下列各式的值: ⑴呻 (2) (V3-O2015 4.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线. 5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0 证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z] 7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3 一 z 3 - z, z 2 并说明这些等式的儿何意义。 8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T. 习题2解析函数 1.填空： ■f a (1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________ 2 dy (2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。 (3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸 - --------------------------- ° (4)、对数函数W = lnz的解析区域为。 (5)Z JZ(—2) =、In(—2) = . 2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T, 3.下列函数何处可导？何处解析? (1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i 2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业: 二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1 《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导 的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。（20分） 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函 数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。（20分） 3.表述Cauchy定理（不证）。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。（15分） 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15分） 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解 析同胚映射。证明你的结论； (b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)= i,f′(0)>0。（15分） 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0，问这样 1 的分解是否是唯一的，为什么？（8分） 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z) 是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分） (编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江) 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿． 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的 罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 1．第1题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 2．第2题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 3．第3题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 4．第4题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 5．第5题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 6．第6题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 7．第7题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 8．第8题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 9．第9题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 10．第10题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2.0 此题得分：2.0 11．第11题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 12．第12题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 13．第13题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 14．第14题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 15．第15题 A.. B.. C.. D.. 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：一 命题教师： 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）： 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 单项选择题： 以下各题只有一个正确答案，请将它选择出来（4分/题）。 1. ( 1 + i )10 = ( C )。 A. 1024 B. 1024i C. 32i D. 32 2. 若函数13)(+=z z z f ，则其导数等于 ( D )。 A. () 2 133+z z B. () 2 13+z z C. () 2 131 2++z z D. () 2 131 +z 3. 以下函数中，只有( D) 不是全复平面上解析的函数。 A. e z B. cos z C. z 3D. Ln z 4. 对于复积分?c dz z f )(，若曲线C 的参数方程为z (t ) = x (t ) + iy (t ) (a ≤ t ≤ b ) ， 则此复积分可化为如下( B)中的普通定积分。 A. ? b a dt t z t z f )())(( B. ? 'b a dt t z t z f )())(( C. ? b a dt t z t f )()( D. ? 'b a dt t z t f )()( 5. 复积分?==-2z dz i z z ( C )。 A. –2πi B. 2πi C. –2π D. 2π 6. 复积分?==-121 2z dz z z (D )。 A. 4πi B. 2πi C. πi D. 0 7. 下列序列中，存在极限的是( A )。 A. n n n i n n z != B. n i z n n 1+= C. n n z z z ?? ? ??= D. i z n n 2= 8. 下列级数中，绝对收敛的是( B)。 A. () ∑∞ =+0 1n n i B. ∑ ∞ =1 !n n n i C. ∑ ∞ =??? ??+0 2 1 n n n i D. ∑ ∞ =1 n n n i 9. 下列幂级数中，收敛半径不等于1的是(D )。 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.复变函数试题2
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