第三节 双曲线
一、填空题
1. (2010·安徽改编)双曲线方程为x 2-2y 2
=1,则它的右焦点坐标为________.
2. 双曲线2x 2-y 2
+6=0上一点P 到一个焦点的距离为4,则它到另一个焦点的距离为________.
3. (2011·江苏扬州中学模拟)如图,在△ABC 中,∠CAB =∠CBA =30°,AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ,则以A 、B 为焦点,且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为________.
4. (2010·苏州市高考信息卷)若双曲线经过点(3,2),且渐近线方程是y =±1
3
x ,则
这条双曲线的方程是________.
5. 双曲线x 29-y 2
16
=1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直
线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为________.
6. (2011·南通市第三次调研测试)双曲线x 216-y 2
9
=1上的点P 到点(5, 0)的距离是6,
则点P 的坐标是________.
7. 设双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的半焦距为c .已知原点到直线l :bx +ay =ab 的距离
等于1
4
c +1,则c 的最小值为________.
8. (2011·皖南八校联考)双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)中,F 为右焦点,A 为左顶点,
点B (0,b )且AB ⊥BF ,则此双曲线的离心率为________.
二、解答题
9. 已知定圆M :(x -2)2+y 2
=8,动圆P 过点N (-2,0),且与定圆M 外切,求动圆P 的圆心的轨迹方程.
10. 已知双曲线的渐近线方程为y =±43
x ,并且焦点都在圆x 2+y 2
=100上,求双曲线
方程.
11. (2010·山东改编)如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2
2
,以该椭圆上的
点和椭圆的左、右焦点F 1,F 2为顶点的三角形的周长为4(2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2,证明:k 1·k 2=1.
参考答案
1. ? ??
??62,0 解析:化为标准方程x 21-y 212
=1,知a 2=1,b 2=12,∴c 2=3
2,c =62,∴右焦点为
? ??
??
62,0. 2. 26+4 解析:原双曲线方程可化为y 26-x 2
3=1,∴a =6,b =3,
∵2a =26>4,
∴点P 到另一焦点的距离为26+4.
3. 3 解析:设AB =2c ,则BD =c ,AD =3c ,所以椭圆与双曲线的离心率分别是23+1
与
23-1
,所以倒数和为
3+12+3-1
2
= 3. 4. y 2
-x 29=1 解析:设所求双曲线方程为y 2
-x 2
9
=
(
,将点(3,2)代入得2-9
9
=
,
解得=1,∴这条双曲线的方程是y 2
-x 2
9
=1.
5. 32
15
解析:双曲线右顶点为A (3,0),右焦点为F (5,0),双曲线一条渐近线的斜率是43,直线FB 的方程是y =43(x -5),与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为-3215
, 故△AFB 的面积为12AF y B |=123215=32
15.
6. (8,
3) 解析:由题意可知点P 只能在双曲线的右支上,根据双曲线的第二定
义得点P 到右准线的距离为6e 45=245,又右准线的方程为x =165,所以点P
的横坐标为245+
16
5
=8,代入双曲线方程解得纵坐标为
3,所以点P 的坐标是(8,3).
7. 4 解析:由题意可知ab a 2+b 2=14
c +1,得14c 2+c =ab ≤a 2+b 2
2=12c 2
,解得c ≥4,即c 的最
小值为4.
8. 5+12
解析:由题意可知AB =c ,AF =a +c ,BF =b 2+c 2
,
∵AB ⊥BF ,∴AB 2+BF 2=AF 2
, ∴c 2+b 2+c 2=(a +c )2,化简得b 2
=ac , ∴c 2-a 2=ac ,两边同时除以a 2得e 2
-e -1=0,
解得e =52,又e >1,∴e =1+5
2.
9. 因为动圆P 过点N ,所以PN 是圆P 的半径,又因为动圆P 与圆M 外切,所以PM =PN +22,
即PM -PN =22(小于4),
故点P 的轨迹是以M ,N 为焦点,实轴长为22的双曲线的左支.
因为实半轴长a =2,半焦距c =2,所以虚半轴长b =c 2-a 2
= 2.
从而动圆P 的圆心的轨迹方程为x 22-y 2
2
=1(x ≤-2).
10. 方法一:当焦点在x 轴上时,设双曲线的方程为x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0).因为渐近线的
方程为y
4
3
x ,且焦点都在圆x 2+y 2=100上,∴?????
b a =43,a 2+b 2=100,
解得???
??
a =6,
b =8,
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2O M A B b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,, 则M N I = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A .22 +11()x y += B .221(1)x y +=- C .22(1)1y x +-= D .2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===,,, 则 A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .b c a << 4.古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-( 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -.若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A .165 cm B .175 cm C .185 cm D .190 cm 5.函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A . B . C . D . 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A . 516 B . 1132 C . 2132 D . 1116 7.已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A . π6 B . π3 C . 2π3 D . 5π6 8.如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
天一原创试题(理科) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.集合{}2log 2A x x =≤,{}1B x x =>-则A B =( ) A .{14}x x -<≤ B .{14}x x -<< C .{04}x x <≤ D .{4}x x ≤ 【答案】D 【解析】根据题意可得{}{}2log 204x A x x x ≤<=≤=,因为A B ={04}x x <≤,故选 C . 2.以下四个命题中,真命题的个数是 ① 存在正实数,M N ,使得log log log M N MN a a a +=; ② 若函数满足(2018)(2019)0f f ?<,则()f x 在(2018,2019)上有零点的逆命题; ③ 函数(21)()log x a f x -=(0a >≠且a 1)的图像过定点(1,0) ④ “x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】根据对数运算法则知①正确;函数()f x 在(2018,2019)上有零点时,函数()f x 在x =2018和x =2019处的函数值不一定异号,故逆命题错误,故②错误;因为无论a 取何值(1)0f =,所以函数()f x 的图像过定点(1,0),故③正确;当x =-1时,x 2-5x -6=0;x 2-5x -6=0时,x =-1或x =6,所以是充分不必要条件,故④错误;故选B 3.若,,,a b c R a b ∈>,则下列不等式成立的是 A .22ac bc > B .a c b c > C.1 1()()22a b > D.2211 a b c c >++ 【答案】D 【解析】对于A ,当c=0,显然不成立;对于B ,令a =1,b =-2,c =0,错误;对于C ,根据指数函数的单调性应为11()()22a b <;对于D ,∵a>b ,c 2+1>0,∴2211 a b c c >++,故选D. 4.已知函数,0()(),0 x e x f x g x x ?≥=???
第51讲 双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F 1,F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做__双曲线的焦点__,两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__. 集合P ={}M ||| ||MF 1-||MF 2=2a ,||F 1F 2=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0. (1)当__a <c __时,点P 的轨迹是双曲线; (2)当__a =c __时,点P 的轨迹是两条射线; (3)当__a >c __时,点P 不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤-a ,y ∈R y ≤-a 或y ≥a ,x ∈R
3.常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2-y b 2=0(a >0,b >0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ,b ,c 为边长的直角三角形. (2)如下图: x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0) 则有:P 1,P 2两点坐标都为????c ,b 2 a ,即||FP 1=||FP 2=b 2 a . 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)平面内到点F 1 (0,4),F 2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (3)方程x 2m -y 2 n = 1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × ) (4)双曲线方程x 2m 2-y 2n 2=λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2-y 2n 2=0,即x m ±y n = 0.( √ ) 解析 (1)错误.由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (2)错误.因为||||MF 1-||MF 2=8=||F 1F 2,表示的轨迹为两条射线. (3)错误.当m >0,n >0时表示焦点在x 轴上的双曲线,而m <0,n <0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.
高一数学单元测试题 一、选择题 1.已知{}2),(=+=y x y x M ,{} 4),(=-=y x y x N ,则N M ?=( ) A .1,3-==y x B .)1,3(- C .{}1,3- D .{})1,3(- 2.已知全集U =N ,集合P ={ },6,4,3,2,1Q={}1,2,3,5,9则() P C Q =U I ( ) A .{ }3,2,1 B .{}9,5 C .{}6,4 D {}6,4,3,2,1 3.若集合{} 21|21|3,0,3x A x x B x x ?+? =-<=?-?? 则A ∩B 是 ( ) (A ) 11232x x x ??-<<-<??? 或 (B) {} 23x x << (C ) 122x x ??-<??? (D) 112x x ??-<<-??? ? 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B {x y |x A y A}=∈∈﹣,中元素的个数是( ) (A ) 1 (B ) 3 (C ) 5 (D ) 9 5.下列图象中不能作为函数图象的是( ) A B C D 6.下列选项中的两个函数具有相同值域的有( )个 ①()1f x x =+,()2g x x =+;②()1f x x = +,()2g x x =+; ③2 ()1f x x =+,2 ()2g x x =+;④22()1x f x x =+,2 2()2 x g x x =+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 化简:22221 (log 5)4log 54log 5 -++= ( ) A .2 B .22log 5 C .2- D .22log 5-
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于 点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是( ) A . 110 B . 310 C . 35 D . 25 2.给出下列说法: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3.如果 4 2 π π α<< ,那么下列不等式成立的是( ) A .sin cos tan ααα<< B .tan sin cos ααα<< C .cos sin tan ααα<< D .cos tan sin ααα<< 4.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ; ③p ∧(?q );④(?p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④ 5.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ,下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图,那么算法流程图输出的结果是( ) A .7 B .8 C .9 D .10
6.在下列区间中,函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A .1,04?? - ??? B .10,4?? ??? C .11,42?? ??? D .13,24?? ??? 7.设i 为虚数单位,复数z 满足21i i z =-,则复数z 的共轭复数等于( ) A .1-i B .-1-i C .1+i D .-1+i 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A . 2 2 B . 3 C . 5 D . 72 9.已知i 为虚数单位,复数z 满足(1)i z i +=,则z =( ) A . 14 B . 12 C . 22 D .2 10.已知某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积是( ) A .108cm 3 B .100cm 3 C .92cm 3 D .84cm 3 11.在ABC ?中,A 为锐角,1lg lg()lgsin 2b A c +==-,则ABC ?为( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 12.已知a R ∈,则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 二、填空题 13.若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线,则m 的值为 . 14.函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________. 15.若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 双曲线 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线; (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线; (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2- y2 b2=1 (a>0,b>0) y2 a2- x2 b2=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点 顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线y=± b a x y=± a b x 离心率e= c a,e∈(1,+∞),其中c=a 2+b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双 曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做 双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 概念方法微思考
1.平面内与两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么? 提示 不一定.当2a =|F 1F 2|时,动点的轨迹是两条射线; 当2a >|F 1F 2|时,动点的轨迹不存在; 当2a =0时,动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2+By 2=1表示双曲线的充要条件是什么? 提示 若A >0,B <0,表示焦点在x 轴上的双曲线;若A <0,B >0,表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2+By 2=1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a ,b 只限制a >0,b >0,二者没有大小要求,若a >b >0,a =b >0,0b >0时,1
椭圆与双曲线性质--(重要结论) 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 02y a x b K K AB OM = ?,即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
Centre Number Candidate Number Surname Other Names Candidate Signature General Certificate of Education Advanced Level Examination January2011 Mathematics MPC4 Unit Pure Core4 Monday24January20119.00am to10.30am For this paper you must have: *the blue AQA booklet of formulae and statistical tables. You may use a graphics calculator. Time allowed *1hour30minutes Instructions *Use black ink or black ball-point pen.Pencil should only be used for drawing. *Fill in the boxes at the top of this page. *Answer all questions. *Write the question part reference(eg(a),(b)(i)etc)in the left-hand margin. *You must answer the questions in the spaces provided.Do not write outside the box around each page. *Show all necessary working;otherwise marks for method may be lost. *Do all rough work in this book.Cross through any work that you do not want to be marked. Information *The marks for questions are shown in brackets. *The maximum mark for this paper is75. Advice *Unless stated otherwise,you may quote formulae,without proof, from the booklet. For Examiner’s Use Examiner’s Initials Question Mark 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL P38267/Jan11/MPC46/6/6/MPC4 (JAN11MPC401)
2018年浙江省高考模拟试卷 数学卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共40分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式: 如果事件A ,B 互斥,那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh = 如果事件A ,B 相互独立,那么 其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ?=? 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 1 3 V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 ()() ()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=L 棱台的体积公式 球的表面积公式 24S R π= () 11221 3 V h S S S S =++ 球的体积公式 34 3 V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积, 其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分。) 1、(原创)已知集合R U =,集合},2{R x y y M x ∈==,集合)}3lg({x y x N -==,则()=N M C U I ( ) A .{}3≥y y B. {}0≤y y C. {} 30< 二、双曲线 1、(21)(本小题满分14分)08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F,一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. (Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ,求k的取值范围. (21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力.满分14分. (Ⅰ)解:设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=(0,0 a b >>).由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ,解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ,所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=. 的方程为y kx m =+(0 k≠).点 11 (,) M x y, 22 (,) N x y的坐标满足方程组(Ⅱ)解:设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式,得 22 () 1 45 x kx m + -=,整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=. 此方程有两个一等实根,于是2 50 4k -≠,且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>.整理得22 540 m k +->.③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - , 002 5 54 m y kx m k =+= - . 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- . 此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - , 2 9 (0,) 54 m k - .由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- .整理得 22 2 (54) || k m k - =,0 k≠. 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->,整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->,0 k≠. 高三数学基本初等函数 单元测试题 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 时杨中学2009届高三数学单元检测卷(2) 基本初等函数 时量:60分钟 满分:80分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 二.填空题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1. 若{|1}A x y x ==-,2{|1}B y y x ==+,则A B ?=_____________ 2. 已知函数:①2sin y x =;②3y x x =+;③cos y x =-;④5y x =,其中偶函数的个数为_______________ 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x ______________ 4. 函数2 12x x y -+-=的单调递增区间是_________________ 5. 一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示. (至少打开一个水口) 给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是____________ 6. 函数12y x =-,[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2 12,1, ()1,1,1x x f x x x ?--≤?=?>?+? 则[](1)f f = . 8. 函数()2 2231m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减,则实数m 的值为 . 二、解答题:本大题共3小题,满分40分,第9小题12分,第小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤. 9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域;(2) 求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数;(3) 求函数()f x 的值域. 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 【学习目标】 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用. 【高考模拟】 一、单选题 1.设、分别是双曲线C:的左右焦点,点在双曲线C的右支上,且,则() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质求出c的值,结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可. 【详解】 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的意义,根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键. 2.设是双曲线的左右焦点,为左顶点,点为双曲线右支上一点, , ,, 为坐标原点,则 A . B . C . D . 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出双曲线的方程为,再求出点P 的坐标,最后求 . 【详解】 【点睛】 (1)本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算,考查双曲线方程的求法,意在考查学生对这些 知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为. 3.已知直线的倾斜角为,直线与双曲线()的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴(其中、分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率为() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设点,,则,又由直线的倾斜角为,得,结合点在双曲线上,即可求出离心率. 【详解】 直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,且、都垂直于轴, 根据双曲线的对称性,设点,, 则,即,且, 又直线的倾斜角为, 直线过坐标原点,, ,整理得,即,解方程得,(舍) 故选D. 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法,考查化简整理的运算能力和转化思想,属于中档题. 圆锥曲线离心率的计算,常采用两种方法: 1、通过已知条件构建关于的齐次方程,解出. 根据题设条件(主要用到:方程思想,余弦定理,平面几何相似,直角三角形性质等)借助之间的关系,得到关于的一元方程,从而解得离心率. 极限单元测试卷 (满分:150分 时间:120分钟) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下面四个命题中,不正确... 的是( ) A .若函数f (x )在x =x 0处连续,则lim x →x +0f (x )=lim x →x -0f (x ) B .函数f (x )=x +2 x 2-4 的不连续点是x =2和x =-2 C .若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )-g (x )]=0,则lim x →∞f (x )=lim x →∞g (x ) D.lim x →1 x -1x -1=1 2 答案:C 解析:A 中由连续的定义知函数f (x )在x =x 0处连续,一定有lim n →x +0 f (x )=lim x →x -0f (x ),且还满足lim x →x +0f (x )=lim x →x -0f (x )=f (x 0),故A 对.B 中函数f (x )=x +2 x 2-4在x =2和x =-2无定义,故不连续,B 对.C 中只有lim x →∞f (x ),lim x →∞g (x )存在时,才有lim x →∞f (x )=lim x →∞ g (x ),否则不成立. D 中lim x →1 x -1x -1=lim x →1 1x +1=1 2 ,故D 对.故选C. 2.下列命题中: ①如果f (x )=1 3x ,那么lim x →∞ f (x )=0 ②如果f (x )=1 x ,那么lim x →∞f (x )=0 ③如果f (x )=x 2+3x x +3 ,那么lim x →-3f (x )不存在 ④如果f (x )=??? x (x ≥0)x +2 (x <0) ,那么lim x →0 f (x )=0 其中错误命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案:D 解析:②中x →-∞时无意义; ③中lim x →-3f (x )=lim x →-3 x =-3; ④中左、右极限不相等.故选D. 3.(2009·阳泉模拟)lim n →∞ 1+2+3+…+n n 2 等于( ) A .2 B .1 C.1 2 D .0 答案:C 解析:lim n →∞ 1+2+3+…+n n 2=lim n →∞ n +12n =lim n →∞ 1+1n 2=1 2 .故选C. 4.已知函数f (x )=????? x 2+2x -3x -1 (x >1)ax +1 (x ≤1) 在点x =1处连续,则a 的值是( )高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结
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