人口结构分析
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西北工业大学明德学院数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目第二次模拟
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西北工业大学明德学院第J 9005 队
摘要
从20世纪70年代后期以来，计划生育政策对建设中国特色社会主义、实现国家富强和民族振兴产生了巨大影响，为促进世界人口发展发挥了重大作用。但另一方面，其负面影响也开始显现。本文重点研究了计划生育政策调整对人口数量、结构的影响问题，为了研究方便，我们将该问题分为三个小问题来讨论。
问题一，我们通过对中国历年人口出生率、死亡率（见附录1）的分析，利用软件Eviews画出了从1980年到2012年人口出生率、死亡率和自然增长率的拟合曲线，并分别建立了非线性回归预测模型和Logarithmic模型来预测未来人口的变化。通过matlab进行预测，得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿，预测最小误差达%。
问题二，结合问题一的预测数据，我们对《国家人口发展战略研究报告2012》[1]中的一些假设与结论发表了自己的见解。
问题三，针对计划生育新政策的实施，我们将夫妻双方“是否为独生子女”看成性状来分析，A表示为非独生，a表示为独生，进行随机性的组合，利用孟德尔第一定律，建立中国人口发展的生物遗传学预测模型。进而对2015至2025年的中国人口数量进行预测，得到中国2025年的总人口数量将近万人。之后通过与问题一模型的数据做对比，分析总结出新政策对中国未来人口数量，结构等的影响。然后结合分析出深圳市2015至2025年的人口发展规律，总结出计划生育新政策的优劣条件，并且很好的解释了计划生育新政策的好坏与
施行方式。
关键词：Eviews分析, 非线性回归预测模型, matlab编程,生物遗传学预测模型,人口预测
目录
一、问题重述 .......................................................... 错误!未定义书签。
二、问题分析 .......................................................... 错误!未定义书签。
三、问题假设 .......................................................... 错误!未定义书签。
四、符号说明 .......................................................... 错误!未定义书签。
五、模型的建立与求解........................................... 错误!未定义书签。
模型一、非线性回归分析法 ............................. 错误!未定义书签。
模型建立 ...................................................... 错误!未定义书签。
模型求解 ...................................................... 错误!未定义书签。
模型（二）Logarithmic人口模型 ..................... 错误!未定义书签。
模型的建立 .................................................. 错误!未定义书签。
模型的求解 ................................................ 错误!未定义书签。
结果分析： ................................................ 错误!未定义书签。
问题二 ................................................................ 错误!未定义书签。
问题三 ................................................................ 错误!未定义书签。
新政策下的生物遗传学预测模型 ............... 错误!未定义书签。
模型建立与求解........................................... 错误!未定义书签。
对计划生育政策改革的看法 ....................... 错误!未定义书签。
六、模型评价和推广............................................... 错误!未定义书签。参考文献 .................................................................. 错误!未定义书签。附录........................................................................ 错误!未定义书签。
一、问题重述
该问题的提出是基于对计划生育政策的讨论。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视，进而引发了对新政策“开放二胎”的讨论。基于以上因素，本文主要求解以下问题：问题一：为了研究计划生育改革前对中国人口数量的影响，我们通过对中国历年人口出生率、死亡率的分析，分别建立了非线性回归预测模型和Logarithmic模型来预测未来人口的变化。问题二：根据每十年一次的全国人口普查数据对一些典型的研究评论报告的假设和结论，建立模型做出独立见解。问题三：以某地区为研究对象，讨论计划生育（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
二、问题分析
分析问题一：为了研究计划生育改革前对中国人口数量的影响，我们通过对中国历年人口出生率、死亡率的分析，利用软件Eviews 画出了从1980年到2012年人口出生率、死亡率和自然增长率的拟合曲线，并分别建立了非线性回归预测模型和Logarithmic模型来预测未来人口的变化。
分析问题二：通过对问题1的建模所收集的预测数据分析，结合《国家人口发展战略研究报告2012》[1]，我们对其中的一些假设与结论发表了自己的见解。体现中国自二十世纪七十年代初以来实行的计划生育国策所取得的举世瞩目伟大成就，我们从中可以看出人口的转变与经济有着十分重要的联系，人口的增长会对经济产生压力，但反之如果人口负增长则会导致劳动力缺失，人口老龄化严重的问题，因此运用新旧计划生育对于我国人口的影响可见一班。
分析问题三：由于计划生育新政策是在农村如果第一胎是女孩，可以生第二胎；然而在城市，则对于夫妻双方中有一人为独生子女，即可生二胎政策（由先前假设，则20%的城市夫妇不生育第二胎），因此本文要将夫妻双方是否为独生子女看成性状来分析，A表示为非独生，a表示为独生，这样进行随机性的组合，从而建立深圳市人口发展的生物遗传学预测模型。其中死亡率的未来几年数据由问题一的预测可得。所以进而对2015至2025年人口数量的进行预测。然后再分析其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
三、问题假设
1.不考虑战争，瘟疫，大规模流行病对人口的影响。
2.假设收集的数据误差在允许的范围内，不会影响模型的最终结果。
3.在预测人口模型中，不考虑与境外的迁入与迁出问题。
4.男女性别比为1:1
5.假设出生率、死亡率和自然增长率比例不随人口流动而变化。
6.不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响。
7.据国家统计局的城市收入等级表数据可得，20%以上属于高收入人群，故假设20%的城市夫妇不生育第二胎。
四、符号说明
五、模型的建立与求解
首先我们根据中国统计摘要得出的数据进行处理得到我国前30年的出生率、死亡率、自然增长率，并利用Eviews软件做出线形图
图5-1
出生率、死亡率、自然增长率曲线图
我国计划生育政策是从八十年代全国范围内开始实施的，改革是从2011年开始的。故从图中可以直观表达出：从1980年之前开始一直到2012年，我国人口出生率和自然增长率总体上是成下降趋势的，这是旧计划生育政策做出的突出贡献。但是人口死亡率一直是呈缓慢上升趋势的发展。
模型一、非线性回归分析法
5.1.1模型建立
建立非线性回归方程 模型公式推导
201122k
k k y x x x ββββε=+++++L
（1）
令21122,,k k k z x z x z x === 转化为多元线性回归分析
01122k k h z z z ββββε=+++++L
（2）
设（1i z ，2i z ，……im z ，i h ）是（1z ，2z ，……m z ，h ） 其中各i ε相互独立，且i ε~N （0，2σ）
令β=（0β，1β，……，m β）T ，ε=（1ε，2ε，……，n ε）T
h =（1h ，2h ，……，n h ）T 1112121222121111m m n n nm x x x x x x z x x x ?????
?=???
???
L
L M M M L
（3） 则方程用矩阵表达为h=z β+ε
假定矩阵z 的秩满足m+1，即列满秩，则
μ()T T z h z z β
= 解得μ1()T T z z z h β-= （4）
逆推算1k
k Lnz k
x e
-=，y=h 得出非线性回归函数
5.1.2模型求解
1.对出生率进行拟合，得到拟合图如下
出生率拟合图
y = 0.003x 3 - 0.1866x 2 + 3.0282x + 7.4349
R 2 = 0.7611
05
10
15
20
25
5
10
15
20
25
30
35
40
图5-2
得到拟合函数：32 y = 0.003x -0.1866x + 3.0282x+7.4349
2R =（好）
通过得出的拟合函数，我们预测未来10年出生率得到下表
年份出生率2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
表5-1
死亡率拟合图
y = -6E-07x 5 + 5E-05x 4 - 0.001x 3 + 0.0012x 2 + 0.1225x + 6.0466
R 2 = 0.8585
66.2
6.4
6.6
6.8
7
7.2
7.4
5
10
15
2025303540
图5-3
得到拟合函数：
5432y =-6E-07x +5E-05x -0.001x +0.0012x 0.1225 6.0466x ++
2R =
通过得出的拟合函数，我们预测未来10年死亡率得到下表
年份 死亡率 2013 2014 2015
2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
表5-2
自然增长率拟合图
y = 0.0023x 3 - 0.1477x 2 + 2.3349x + 4.2291
R 2 = 0.8631
0246810121416180
5
10
15
20
253035
40
图5-4
得到拟合函数：'111=80%(1)24
i i b b b +=??+城
2
R=
通过得出的拟合函数，我们预测未来10年自然增长率得到下表
年份自然增长率率
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
表5-3
根据拟合函数我们经过Graphing Calculator 3D软件得到出生率、死亡率、自然增长率的预测拟合图如下所示
预测函数图5-5
自然增长率=出生率-死亡率
图中0之前是2012年之前的变化，0之后反映的是预测后10年的变化。我们可直观的看出出生率是逐年增加的，而死亡率缓慢增加，变化率不大，由公式可知自然增长率。我们从图中看出拟合的效果比较好，基本符合“自然增长率=出生率-死亡率”这一公式。然而根据2011年改革之后的计划生育政策我们可以看出出生率变化幅度加大。
模型（二）Logarithmic 人口模型
5.2.1模型的建立
logistic 是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数r(x)。则它应是减函数。于是有:
dx
()dt
r x x = ,0(0)x x = (5) 设r(x)为x 的线性函数，即 :
()r x r sx =- (r>0,s>0) (6)
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人
口不再增长，即增长率r(m x )=0，代入（6）式得m
r s x =，于是（6）
式为:
()(1)m
x
r x r x =- (7)
将（7）代入方程（1）得：
0(1)(0)m dx
x r x
dt
x x x
?=-???=?
(8) 解方程（8）可得：
()1(1)m
rt m
x x t x e x -=
+- (9)
5.2.2 模型的求解
为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库上查到我国从1990年到2008年全国总人口的数据如下表：
表5-4 各年份全国总人口数（单位：亿）
将1990年看成初始时刻即t=0，则1991为t=1，以次类推，以2008年为t=19作为终时刻。通过Matlab 编程（源程序见附录1），用公式（9）对表5-4中的数据进行非线性拟合，拟合图像如下：
图5-6 1990-2008人口实际变化与预测变化趋势图
且得到相关的参数r=,
x=
m
将r=,
x=代入公式（9），求出用指数增长模型预测的1990-2009的
m
人口数，其中
2010年（21=t）、2020年（31=t）、及2033年（44=t）进行预测得（单位：亿）：
x(21)=，x(31)=，x(44)=
5.2.3 结果分析：
根据《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值，我们知道一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020年分别达到亿人和亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。为了理解模型1的准确性，我们计算出了与专家预测的误差估计值，统计如下：预测值
理论值15
表5-5 预测误差估计值
20世纪70年代以来，我国实行计划生育。从1990-2008年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以我们的结果应是比较可信的。我们分别根据（9）对各年份中国总人口进行预测得到结果如下表：
表5-6 各年份全国总人口用拟合曲线预测数（单位：亿）为了更清晰地了解全国总人口数随年代的变化趋势，我们也作出了相应的图像（源程序见附录二）：