初中数学-三角形的证明单元检测试题(有答案)

初中数学-三角形的证明单元检测试题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、单选题（共10题；共30分）

1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,

则PC与PD的大小关系是( )

A. PC>PD

B. PC=PD

C. PC

D. 不能确定

2.如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，

交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）

A. AE＝EC

B. AE＝BE

C. ∠EBC＝∠BAC

D. ∠EBC＝∠ABE

3.已知△ABC三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为( )

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 不能确定

4.如图,点C是△ABE的BE边上一点,点F在AE上,D是BC

的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:

①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（）

A. 互余

B. 互补

C. 相等

D. 不确定

6.一个等腰三角形的两条边长分别3和6，则该等腰三角形的周长是（）

A. 12

B. 13

C. 15

D. 12或15

7.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）

A. cm2

B. 2cm

C. 3cm2

D. 4cm2

8.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，

△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4cm

9.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个

顶点所组成的三角形都是等腰三角形。这样的点一共有（）

A. 1个

B. 4个

C. 7个

D. 10个

10.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的

中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）

A. 8

B. 4

C. 12

D. 16

二、填空题（共8题；共24分）

11.已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为________．

12.如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，

D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=________ ．

13.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，

则∠BAC的度数为________，∠C的度数为________．

14.如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于________度．

15.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，

其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于________．

16.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________．

17.如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ，PD⊥OA ，若PC=6，则PD等于________.

18.如图，已知点P是角平分线上的一点，，，M是OP的中点，，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为________cm．

第14题图第15题图第17题图第18题图

三、解答题（共5题；共30分）

19.如图：点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，证明AB=AC.

20.如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．

21.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．

22.如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．

23.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．

四、综合题（共4题；共36分）

24.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．

25.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于D。（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．

26.如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边

，连接．（1）求证：≌．

（2）延长至，为上一点，连接、使，若，求的长．

27.如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？

（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】A

二、填空题

11.110°12.45°13.72°；54°14.30 15.2：3：4 16.30°或150°或90°17.3 18.4

三、解答题

19.证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AD=AE，∴DF=EF，∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC．

20.证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．

在△BFG和△DEG中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE

∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF

21.解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，

△BCE≌△CBD．理由如下：

在△ADO与△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，

∴△ADO≌△AEO（HL），∴∠DAO=∠EAO，AD=AE．

在△DOC与△EOB中，

∴△DOC≌△EOB（ASA），∴DC=EB，OC=OB，∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，

∵∠DAO=∠EAO，∴AM⊥BC，CM=BM．

在△COF与△BOF中，∠OMC=∠OMB=90°，

∴△COF≌△BOF（HL）．

在△ACF与△ABF中，∠AFC=∠AFB=90°，

∴△ACF≌△ABF（HL）．

在△ADB与△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

在△BCE与△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，

∴△BCE≌△CBD（HL）．

22.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，

∵AD是∠BAC的平分线，∴AD是EF的垂直平分线

23.证明：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．

四、综合题

24.（1）证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，

∴DF是线段AB的垂直平分线

（2）解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°

25.（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，

在△DBC和△ECA中，

∵∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，在Rt△CDB和Rt△AEC中

，∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），∴BD=CE，

∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC= BC= AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．

26.（1）证明：∵，均为等边三角形，

∴，∴，即，在和中，

，∴≌

（2）解：∵等边△ABC中，AO平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°.

如下图，过点作，垂足为，

由（）知≌，

则，∴，

∴在中，，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，∴．

27.（1）解：∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）解：∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴点P，点Q运动的时间秒，∴v Q= cm/秒；

（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得x=3x+2×10，解得x= ．

∴点P共运动了×3=80cm．∴80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．