二次函数的一题多问(解析版)

二次函数解决实际问题归纳

二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题→建模(建立二次函数模型)→解模(求解)→回答(用生活语言回答，即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题

解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公

式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题

巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点； 抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点 纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售

二次函数最值问题(含答案)

二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）

A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

中考数学二次函数压轴题第2问基本题型

中考数学二次函数压轴题第2问基本题型 在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求这个二次函数的关系解析式； 长度型：（2）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 当点M 的坐标为多少时，线段MN 有最大值，并求出其最大值； （3）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 作ME ⊥AC 于点E ，当点M 的坐标为多少时，△MEN 的周长有最大值，并求出其最大值； 面积型：（4）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（铅垂法） 变式：点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，使△ACP 的面积为整数的点P 有几个，并说明理由； （5）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使10ACQ S =？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在， 说明理由；（铅垂法） （6）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使32ACQ ACO S S =？若存在，求出点Q 的坐标；若不 存在，说明理由；（转化法） 变式：抛物线上是否存在点P ，使OPC OPA S S =，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；（同侧作平行， 异侧过中点）

特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（等腰直角三角形：弦图） （8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使△BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （等腰三角形：两圆一线） （9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为直角三角形；若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （直角三角形：两线一圆） 几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△BCQ 的周长最小；若存在，求出点Q 的坐标与周长最小 值；若不存在，说明理由；（线段和最小与差最大：大同小异） （12）若D 为OC 的中点，P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是x 轴上一动点，当P 、Q 两点的坐标为多少时四边形CPQD 的周长最小？并直接写出四边形CPQD 周长的最小值； D D P Q

二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）求四边形ABCD的面积． （4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长 （5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN 的长度最大? 最大是多少? （6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？ （7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？

（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。 （11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 (13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？ （15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。 （16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。 （17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

二次函数一题多问)

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）求四边形ABCD的面积． （4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐 标及△BPC的周长。

（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少? （6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？ （7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积 最大，且最大面积是多少？

（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出

点N的坐标；若不存在，说明理由。 （11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ, 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在， 求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分 △AFM的面积？ （15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。

2018二次函数一题多问试卷

如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h ）2+k ，所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求h 、k 的值；及A 、B 、C 、D 坐标。 （2）判断△ACD 的形状，并说明理由； (动点直角三角形)（3）在Y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在。求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。 (动点直角三角形)（4）在抛物线上是否存在一点E ，使∠EAD=90°,△ADE 为直角三角形，若存在。求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。 (动点等腰三角形)（5）在Y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由。 ( 线段之和最小即饮水问题)（6）在对称轴上找一点P ，使PB+PC 最小，求出P 点坐标。 (周长最小问题)（7）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出P 点坐标及△ BPC 的周长。 (同侧线段之差最大)(8）在y 轴上是否存在一点H

(异侧线段之差最大)(9）在对称轴上是否存在一点H (截得线段最长)（10）在AC下方的抛物线上有一动点N,过点N作直线L∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN最长。 (动点三角形面积最大)（11）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大。且最大面积是多少？ (动点三角形面积最大)（12）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使点N到直线AC的距离最大, 若存在，求出点N的坐标,并求出最大距离；若不存在，说明理由。 ？(四边形面积最大)（13）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？ (动点三角形面积最大)（14）若Q是线段AB是的一个动点(不与A,B重合),作QE∥BC,交AC于点E,当△QEC的面积最大时,求Q点的坐标. （15）在抛物线上是否存在一点N,使S △ABN =S △ABC ，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。 （16 ）在抛物线上是否存在一点 H ，使S △BCH =S △ABC ，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明 理由。

专题01 二次函数图象与性质一题多问(解析版)

专题01 二次函数图象与性质一题多问 1.判断a 、b 、c 的符号，abc 的符号. a 的符号的判断根据开口方向： 开口方向向上a >0， 开口方向向下a <0. b 的符号根据对称轴的位置： 当对称轴在y 轴左侧b 和a 的符号相同， 当对称轴在y 轴右侧b 和a 的符号相反. 简称“左同右异” c 的符号根据图像与y 轴的交点： 图像与y 轴正半轴相交c >0， 图像与y 轴负半轴相交c <0. 2.判断a 、b 的关系 解题策略：根据对称轴x=a 2b -， 可判断a 、b 的等量关系或不等关系 3.判断a 、b 、c 的关系 解题策略： 等量关系代入图像与y 轴的交点x 的值， 不等关系根据a 、b 前的系数代入x 的值. 4.判断a 、c 的关系 解题策略：联立2和3的关系，推出a 、c 的关系. 5.求与x 轴另一交点 解题策略：已知一交点，利用两交点关于对称轴对称，求另一交点. 6.已知x 比较y 的大小关系 解题策略：在对称轴同一侧可根据增减性判断 在对称轴两侧可根据距离对称轴的远近判断 7.与一次函数结合，y 1>y 2，求x 的取值范围 解题策略：根据数形结合的思想，结合图像判断而不是去解不等式 8.与不等式结合n c bx ax >++2，求x 的取值范围 解题策略：结合图像判断而不是去解不等式 9.与一元二次方程结合n c bx ax =++2时根的情况或者求根与系数的关系 解题策略：令y =n ，观察图像对应x 的情况 根据一元二次方程根与系数的关系1212,b c x x x x a a +=-= 10.最值(顶点坐标)b a m +≤+）（b am 解题策略：m 是否包含顶点横坐标决定不等号是否带等号 11、根的判别式和顶点式 解题策略：2 2 44,(, )24b ac b b ac a a -=--

一道二次函数经典题的50种问法

一道二次函数经典50问 已知：如图，抛物线2 y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D 。 （1）求此抛物线的解析式； （2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）求四边形ABCD 的面积； X X X

（4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。 （5）在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线//l y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？ （6）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？ X X X X

（7）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？ （8）在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。 （9）在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N ，使ABN ABC =S S △△，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。 X X X

（11）在抛物线上是否存在一点H ，使BCH ABC =S S △△，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。 （12）在抛物线上是否存在一点Q ，使AOQ COQ =S S △△，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。 （13）在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。 （14）在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？ X X X X

二次函数一题多问

☆中考数学二次函数一题多问? 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（4）在对称轴上找一点P，使PB+PC最小，求出P点坐标。 （5）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。 （6）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线L∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN最长。

（7）在AC 下方的抛物线上，是否存在一点N 使△CAN 面积最大。且最大面积是多少？ （8）在AC 下方的抛物线上，是否存在一点M ，使四边形ABCN 面积最大，且最大面积是多少？ （9）在Y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在。求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。 （10）在Y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由。 （11）在抛物线上是否存在一点N,使S △ABN=S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由。 （12）在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点 L ，若使A,B,K,L 为顶点形成平行四边形，求出 K,L 点的坐标。

(15) 在抛物线上是否存在一点P，使S△PBC=S△ABC, 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 (16) 在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 (17) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （18）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？（19）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。 （20）做垂直于X轴的直线 X=-1 ， 交直线 AC 与点 M,交抛物线与点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。

2020年九年级数学一题多问--一道二次函数经典题的20种问法(无答案)

一道二次函数经典 50 问 已知：如图，抛物线y =x2+bx +c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D。 （1）求此抛物线的解析式； X （2）判断△ACD 的形状，并说明理由； X （3）求四边形ABCD 的面积； X （4）在对称轴上找一点P，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。 X

（5） 在直线 AC 下方的抛物线有一点 N ，过点 N 作直线l // y 轴，交 AC 于点 M ，当点 N 的坐标是多少时，线段 MN 的长度最大？最大值是多少？ X （6） 在直线 AC 下方的抛物线上，是否存在一点 N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？ X （7） 在直线 AC 下方的抛物线上，是否存在一点 N ，使四边形 ABCN 的面积最大？最大面积是多少？ X （8） 在 y 轴上是否存在一点 E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由。 X A O B C D A

（9）在y 轴上是否存在一点F，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由。 X （10）在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN =S△ABC，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。 X （11）在抛物线上是否存在一点H，使S △BCH =S △ABC，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。 X （12）在抛物线上是否存在一点Q，使S △AOQ =S △COQ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。 X

二次函数题一题多问

一个18问的二次函数题姓名__________ 如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y 轴交于点C（0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值及点P 的坐标。 （3）在对称轴上是否存在一点P，使△APC的周长最小．若存在，请求出P点的坐标和△APC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（4）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC 于点E，且PE＝OD，求点P的坐标； （5）点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．若点P在第三象限内，当OE=2PE时，求点P的坐标及△POD的面积．

（6）点P在x轴上，若△APC是等腰三角形，试直接写出点P的坐标。 （7）直线ED是抛物线的对称轴，抛物线顶点是D.点P是线段BD上一点，当PE=PC 时，求点P的坐标；

（8）点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标． （9）点P在抛物线对称轴上，若△PBC是直角三角形，试求点P的坐标。

（10）点E在对称轴上，点P在抛物线上.若以B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，试求点P的坐标。 （11）点M在对称轴上，点P在x轴上，以M、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形.试求点P的坐标。

（12）点P在抛物线上，点N在x轴上，若以点A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形，试直接写出点P的坐标。 （13）在抛物线上有一点P，作PH垂直x轴，垂足为点H，若△APH相似于 △BOC，试求点P的坐标。

2018二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213? ±-= ，m x 321-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-01 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）

经典二十问,二次函数一网尽

先确定坐标，再用待定系数法求关系式，这是基础中的基础，要求人人掌握。2） 判断△ACD 的形状，并说明理由； 22214(x 1)4 y x x =++-=+-解： 已知关系式，求顶点坐标（二次函数必备基础）。应用点与点的距离公式，利用也可以用两直线斜率K 之积为-1（代数与几何结合；

已知关系式，求抛物线与坐标轴交点坐标（二次函数必备基础）。应用割补法灵活多变，多种方法求多边形面积。（代数与几何结合，数形结合思想） （4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出22214 (x 1)41 '(2,3),BC'y x 1(1,2) BCP 210 y x x x C P =++-=+-=---=-∴--?+解：对称轴直线周长=CP+BP+BC=3 最值问题。已知关系式，求抛物线的对称轴，求直线解析式，求两条直线的交点坐标（函数知识必备基础）。应用将军饮马求两点一线的最短距离，主要数学方法化折为直。当然将军饮马还可以变式（代数与几何结合，数形结合思想） 标为多少时，线段MN 的长度最大? 最大是多少?

（ 6）在 AC 下方的抛物线上，是否存在一点N 使△CAN面积最大？最大面积是多少？ 是否存在性问题。点的坐标，求直线解析式，解析式设点法（函数知识必备基础） ）的基础上，通过割四边形的方法，并求最值。（代数与几何结合，数形结合思想，函数思想求最值） 为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若 =-1(2)AED=90(m+4)=-1 33 (m+4)=-1 m m ∠ ,2，时, ,2

是否存在性问题。点的坐标，两点间的距离公式构建方程（函数知识必备基础）定点与动点的判别与使用，圆心到圆上的距离处处相等。（数形结合思想，方程思想，分 ）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点

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求四边形 ABCD的面积. 二次函数压轴题一题多问 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C, 0A=0C=3,顶点为D. 求此函数的关系式； (2)判断AACD的形状，并说明理由; ⑷ 在对称轴上找一点P,使ABCP的周长最小，求出P点坐标及ABPC的周长。 (5)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线/〃y轴，交AC与点虬当点N坐标为多少时, 线段MN的长度最大？最大是多少？ ⑹ 在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使ACAN面积最大？最大面积是多少?

（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少? ⑻ 在y轴上是否存在一点E,使AADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （9）在y轴上是否存在一点F,使AADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说 明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N,使S AAWF S AABC,若存在，求出点N的坐标；若不存在,

（11）在抛物线上是否存在一点H,使S^BO FS MBC,若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。 D

在抛物线上是否存在一点Q,使S AAOQ=S ACOQ,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 (13)在抛物线上是否存在一点E,使BE平分AABC的面积，若存在, (14) 在抛物线上找一点F,做FM±X轴，交AC与点H,使AC平分△AFM的面积? 在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。 (15) (16) 坐 标。 作垂直于x轴的直线x-1,交直线AC于点虬交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的Array D (17)在抛物线上能不能找到一点P,使ZPOC=ZPCO?若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

经典二十问,二次函数一网尽 一道二次函数,经典二十问答案

一道二次函数二十问,二次函数一网尽! 安居育才中学—杨华 学生在学习了一次函数，正比例函数，反比例函数的基础上来学习二次函数，是拥有一定经验的。二次函数是初中阶段，研究的最后一个具体的函数，也是最重要的。历年来中考中占有较大比例，同时二次函数和以前学过的一元二次方程一元二次不等式有着密切的联系，进一步学习二次函数，将为他们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解树形结合的重要思想。二次函数题型多变，考点多，思维量大，融合知识面大，计算复杂。怎样从纷繁复杂的考题中抓出二次函数考题的基本问题进行归纳总结，让学生真正的掌握学的方向，并应用二次函数知识解决数学问题与实际应用问题，是我们教师应当思考的问题，那么怎样教学二次函数的，我就以一道二次函数题为例进行教学引导。 例：已知：如图，抛物线y=2x+b x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3， 顶点为D． （1）求此函数的关系式； 先确定坐标，再用待定系数法求关系式，这是基础中的基础，要求人人掌握。（2）判断△ACD的形状，并说明理由； 2 2 214 (x1)4 (1,4)A(3,0)C(0,3) y x x D =++- =+- ---- 解： 2222 22 222 AD=4+2=20AC=3+3=18 CD=1+1=2 AD=AC+CD ACD ∴ ∴? ， 即为直角三角形 已知关系式，求顶点坐标（二次函数必备基础）。应用点与点的距离公式，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。也可以用两直线斜率K之积为-1（代数与几何结合；代数方法与几何方法分别使用）

（3）求四边形ABCD的面积． 已知关系式，求抛物线与坐标轴交点坐标（二次函数必备基础）。应用割补法灵活多变，多种方法求多边形面积。（代数与几何结合，数形结合思想） （4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。 2 2 214 (x1)4 1 '(2,3),BC'y x1 (1,2) BCP210 y x x x C P =++- =+- =- --=- ∴-- ?+ 解： 对称轴 直线 周长=CP+BP+BC=3 最值问题。已知关系式，求抛物线的对称轴，求直线解析式，求两条直线的交点坐标（函数知识必备基础）。应用将军饮马求两点一线的最短距离，主要数学方法化折为直。当然将军饮马还可以变式（代数与几何结合，数形结合思想） （5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少?

二次函数一题十问(含参考答案)

二次函数一题十问(参考答案) 如图，y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y 轴交于点C(0，－3) 1. 求这个二次函数的表达式；322--=x x y 2. 线段和或差的极值； (1) 若点T 是抛物线对称轴上一动点，求△TAC 周长最小值和T 点坐标； (2) 若点M 是抛物线对称轴上一动点，求|MA －MC|的最大值和此时点M 的坐标； 解：(1)∵点A(－1，0)关于对称轴x =1的对称点是点B(3，0) ∴连接BC 交对称轴于点T ，这时TA+TC+AC=TB+TC+AC=BC+AC 最小 最小值为AC+BC=2310+ 易求y BC =x —3，∴点T 的坐标为T(1，－2) (2)延长AC 交对称轴于点M ，这时|MA －MC|=AC 最大，最大值为10 易求y AC =－3x —3，∴点M 的坐标为M(1，－6) 3. 线段的极值；若点M 是线段OB 上一动点，过M 作x 轴的垂线，交BC 于P ， 交抛物线于Q ，求PQ 的最大值。 解：设点M 的坐标为(t ，0)，则P(t ，t －3)、Q(t ，t 2―2t ―3) ∴PQ ＝(t －3)－(t 2―2t ―3)＝－t 2＋3t ＝49)23(2+--t 即PQ 的最大值为4 9 4. 面积的极值；若点P 是抛物线上B 、C 之间一动点，当点P 运动到什么位置时， △PBC 的面积最大？求此时点P 的坐标； 解：过P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，交线段BC 于点M ， 设P(t ，t 2―2t ―3)，则N(t ，0)、M(t ，t －3) ∴ON=t ，NB ＝3－t ，PM ＝(t －3)－(t 2―2t ―3)＝－t 2＋3t ∴S △PBC ＝S △PMC ＋S △PMB ＝8 27)23(233)3(2121212122+--=?+-=?=?+?t t t OB PM NB PM ON PM ∴当点P 的坐标为(23，4 15-)时，△PBC 面积的最大值为827 5. 等腰三角形；若点N 是抛物线对称轴上一动点，且△NAC 是等腰三角形，求点N 的坐标； 解：设点N 的坐标为(1，t )，则NA=24t +，NC=2)3(1++t ，AC=10 ①当AN=AC 时，即1042=+t ，解得t 1＝6，t 1＝6- ②当CN=CA 时，即10)3(12=++t ，解得t 1＝0，t 1＝－6(舍去) ③当NA=NC 时，即22)3(14++=+t t ，解得t ＝－1 综上所述，当点N 的坐标为(1，6)、 (1，6-)、(1，0)、(1，－1)时，△NAC 是等腰三角形

二次函数压轴题一题多问

1 二次函数 如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3，顶点为D ． （1）求此函数的关系式； （2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）求四边形ABCD 的面积． （4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出P 点坐标及△BPC 的周长。 （5）在AC 下方的抛物线上有一点N,过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M,当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大? 最大是多少? （6）在AC 下方的抛物线上，是否存在一点N 使△CAN 面积最大？最大面积是多少？ （7）在AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 面积最大，且最大面积是多少？ （8）在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在。求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。 （9）在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N,使S △ABN =S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由。 （11）在抛物线上是否存在一点H ，使S △BCH =S △ABC ，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说 明理由。 (12) 在抛物线上是否存在一点Q ，使S △AOQ =S △COQ , 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说 明理由。 (13) 在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积, 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。 （14）在抛物线上找一点F ，做FM ⊥X 轴，交AC 与点H ，使AC 平分△AFM 的面积？ （15）在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A,B,K,L 为顶点形成平行四边形，求出K,L 点的坐标。 （16）作垂直于x 轴的直线x=-1，交直线AC 于点M,交抛物线于点N ，以A,M,N,E 为顶点作平行四边形，求第四个顶点E 的坐标。 （17）在抛物线上能不能找到一点P ，使∠POC=∠PCO ？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由． （18）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． （19）点P 是抛物线上一个动点，作PH ⊥x 轴于H ，是否存在点P ，使得△PAH 与△OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． （20）若点 P 从点 A 出发向 B 运动，同时点Q 从点O 出发向 C 运动，当一点到达终点时， 另一点也停止运动，设运动的时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式， 并求出S 的最大值.

最新二次函数应用题----面积问题

二次函数应用题----面积问题 1、（2013滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长体方形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 2、如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)． (1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积， 并说明围法；如果不能，请说明理由． 3、（2012绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

4、（2012?营口）如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒． （1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高； （2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm2），求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大． （2012无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）． （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

二次函数一题多问解答题专题练习.docx

<7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多 少？ <8）在y轴上是否存在一点E,使AADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 （9）在y轴上是否存在一点F,使AADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在, 说明理由。 （10）在抛物线上是否存在一点N,使S AABN=S AABC,若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。 （11）在抛物线上是否存在一点H,使S ABCH=S AABC>若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。

（12）在抛物线上是否存在一点Q,使S AAOQ=S ACOQ,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 （14）在抛物线上找一点F,做FM丄X轴，交AC与点H,使AC平分AAFM的面积? （15）在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。 （16）作垂直于x轴的直线交直线AC于点M,交抛物线于点N,以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E 的坐标。 （17）在抛物线上能不能找到一点P,使ZPOC=ZPCO?若能，请求出点P的坐标；若不能, 请说明理由. （13）在抛物线上是否存在一点E,使BE平分AABC的面积，若存 在 ,

(18)在线段AC±是否存在点M,使AAOM与ZkABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. (20)若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为I秒，△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式，并求出S的最大值. D

二次函数一题20问

二次函数综合训练 已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x^2+2x+3与x轴交于A、B（A在B的左侧）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。 1.在坐标平面内存在点W使得以B、C、D、W为顶点的四边形是平行四边形，求点W的坐标。 2.在抛物线上存在点E使得S?BCE=S?BCD，求点E的坐标。 3.在抛物线上恰好存在三个点F使得S?BCF=K，求K的值及点F的坐标。 4.在抛物线上存在点G使得以B、C、D、G为顶点的四边形为梯形，求点G的坐标。 5.点H为x轴上一点，且使?ACH是等腰三角形，求点H的坐标。

6.在抛物线上存在点I，使得?ACI是以AC为直角边的直角三角形，求点I的坐标。 7.在线段BC上是否存在点J，使得以B、O、J为顶点的三角形与?ABC相似，求点J的坐标； 8.点K在抛物线对称轴上且使得|KA-KC|的值最大，点L在抛物线对称轴上，过点L任作不与x轴平行的直线l交抛物线于M、N两点，若?KMN的内心始终在抛物线对称轴上，求点L 的坐标； 9.点P是抛物线对称轴上一点，若对于抛物线上的任意一点Q，都满足点Q到直线y=17/4的距离等于线段PQ的长度，求点P的坐标；

10.在9的条件下，过点P任作一直线m与抛物线交于R、T两点，证明RT/PR·PT的值为定值； 11.设直线CD交x轴与点V，作BS垂直x轴交直线CD于点S，将抛物线沿对称轴上下平移，若平移后的抛物线始终与线段VS有公共点，求抛物线向上平移和向下平移的最大单位长度； 12.若点U在线段OC上，且使得AU+1/3CU最小，求点U的坐标； 13.若点Z是x轴下方抛物线上的一点，且使得∠CBZ=∠ABD,求点Z的坐标；