中考数学压轴题(二)动点问题
图（3）B
图（1）
B 图（2）
一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市）直线
3
6
4
y x
=-+与坐标轴分别交于A B
、两点，动点P Q
、同时
从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长
度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A B
、两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ
△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
48
5
S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q
、、为顶点的平行四边形的第
四个顶点M的坐标．
提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP 为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
2、（2009年衡阳市）
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o．
（1）求⊙O 的直径；
（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；
（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 注意：第（3）问按直角位置分类讨论 3、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点 4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点 图（1） 图（2） 同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 提示：第(3)问按 Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 面积比等于底边的比 。 5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 注意：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间分段分类； 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余，画出点P 运动过程中， ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值. 6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C （0，2)．动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的 速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF 上AB ，交BC 于点F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒． (1)求∠ABC 的度数； (2)当t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为S． ①求S关于t的函数关系式； ②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案即可)． 注意：发现特殊性，DE∥OA 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且 ∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设(08) t t <≤秒后，直线PQ交OB于点D. （1）求∠AOB的度数及线段OA的长； （2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）当 4 3,3 3 a OD ==时，求t的值及此时直线PQ的解析式； （4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB ?相似？当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB ?不相似？请给出你的结论，并加以证明. B A C D P O Q x y 8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式； （2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 27 ？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （4）当动点P 在线段AB 上移动时，能否在线段OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由． 9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线14 10189x -与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平 行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜ 9 2 时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换， 得PF=OA （定值）。 第（4）问按哪两边相等分类讨论 A B D C O P x y A B D C O y （此题备用） ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、 直线上动点 8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a b c ，，的值； （2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 提示：第（2）问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△ BNQ ，再判断是否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线1 12 y x = +与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线 2 12 y x bx c = ++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。 提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②； 第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。 10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标； (3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由． 注意：第（4）问按点P 分别在AB 、BC 、CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三 角形“三线合一”。 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 ()6,0A -，()6,0B ，(0,43C ，延长AC 到点D,使CD=1 2 AC ,过点D 作DE ∥AB 交 BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标； （2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明） 提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。 12、(2009年上海市) A D P C B Q 图1 D A P C B （Q ） 图2 图3 C A D P B Q 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足 AB AD PC PQ = （如图1所示）． （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当3 2 AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ， APQ PBC S y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数 解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求QPC ∠的大小． 注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC ⊥BD 时，点Q 、B 重合，x 获得最小值； 当P 与D 重合时，x 获得最大值。 第（3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP ＝∠BCP ，得B 、Q 、C 、P 四点共圆也可求解。 13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，P 是边AB （含端点）上的动点．过P 作BC 的垂线PR ，R 为垂足，∠PRB 的平分线与AB 相交于点S ，在线段RS 上存在一点T ，若以线段PT 为一边作正方形PTEF ，其顶点E ，F 恰好分别在边BC ，AC 上． （1）△ABC 与△SBR 是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS 与PA 的长度之间的关系； （3）设边AB ＝1，当P 在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF 的面积y 的最小值和最大值． T P S R E A B C F T P S R E A B C F 提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R 重合时，PA=TS 为最大；当P 与A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。 14、(2009年河北)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立 的情形， ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ； （４）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形， ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t 时， ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时． 15、（2009年包头）已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，， (02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 提示： O y x B E A D C F 第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形； 第（3）问，四边形ABEF 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（2）问中两种情形分别讨论。 四、 抛物线上动点 16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 17、（2009年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上， D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于 E BC ，交x 轴负半轴于 F ，1OE =，抛物线 24y ax bx =+-过A D F 、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若3 2 FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状； （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由． 注意：第（2）问，发现并利用好NM∥FA且NM＝FA; 第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明