2020年浙江省绍兴市数学高二下期末调研试题含解析
2020年浙江省绍兴市数学高二下期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=?的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f
B ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f
C ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -
D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f 【答案】C 【解析】 【分析】
由()y x f x '=?的图象可以得出()y f x '
=在各区间的正负，然后可得()f x 在各区间的单调性，进而可得
极值. 【详解】 由图象可知：
当3x =-和3x =时，()=0x f x ?'，则(3)=(3)=0f f ''-； 当3x <-时，()0x f x '?>，则()0f x '<； 当30x -<<时，()0x f x '?<，则()0f x '>； 当03x <<时，()0x f x '?>，则()0f x '>； 当3x >时，()0x f x '?<，则()0f x '<.
所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减；在(3,0),(0,3)-上单调递增；在(3,)+∞上单调递减. 所以()f x 的极小值为(3)f -，极大值为(3)f . 故选C. 【点睛】
2．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】A 【解析】
2+5+14+41+122100S =>，故输出5n =.
3．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．
715
B ．
730
C ．
115
D ．
130
【答案】A 【解析】
分析：先求出基本事件的总数2
1045n C ==，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，
由此即可求出.
详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，
基本事件的总数2
1045n C ==，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数11
7321m C C ==，
恰好取到1件次品的概率2174515
m P n ===. 故选：A.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 4．已知21()sin()42
f x x x π
=
++，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】 先化简f （x ）＝
2211
sin cos 424
x x x x π??++=+ ???，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在,33ππ??
- ???
上单调递减，从而排除C ，即可得出正
确答案． 【详解】 由f （x ）＝
2211
sin cos 424
x x x x π??++=+ ???， ∴1
()sin 2f x x x '
=
-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当﹣3π＜x ＜3π时，cosx ＞12
，∴()f x ''
＜0，
故函数y ＝'
()f x 在区间,33ππ??
- ???
上单调递减，故排除C ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．
5．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5
，则此数列前135项的和为( )
A ．18253-
B ．18252-
C ．17253-
D ．17252-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n 项和为S n n
1212
-==-2n ﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()n n 12
+=
，
可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135， 由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列， 则第16行的第16项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1， 则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 6．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i
(1i)1i
z -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．
1i 2
D ．1i 2
-
【答案】A 【解析】 由题意可得：()
2
111111
22222
1i
i z i i i i --=
=
=-=--+， 则1122z i =-
+，据此可得，z 的虚部为1
2
. 本题选择A 选项.
7．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占
1
6
，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） A ．
1 B ．
1 C ．
1 D ．
1
【解析】 【分析】
根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果. 【详解】
因为高三某班有60名学生（其中女生有20名）， 三好学生占
1
6
，而且三好学生中女生占一半， 所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生， 由题意知，本题可以看作一个古典概型，
试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果， 满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果， 所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是51=408
， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.
8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足3z i i ?=+，则z 的虚部为（ ） A ．-1 B ．3i -
C ．1
D ．-3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算可得z ＝1﹣3 i ，从而可得答案． 【详解】
313i
z i i
+=
=-,∴复数z 的虚部是-3 故选：D 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 9．下列说法错误的是（ ）
A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B ．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C ．线性回归方程对应的直线???y bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点
D ．在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 【答案】C 【解析】
对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线
???y
bx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.
10．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A ．
143
π
B ．
163
π
C ．
409
π
D ．
529
π
【答案】D 【解析】 【分析】
取BC 的中点为D ，由二面角平面角的定义可知60SDA ∠=；根据球的性质可知若ABC ?和SBC ?中心分别为,E F ，则OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC ，根据已知的长度关系可求得,OD BD ，在直角三角形OBD 中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 【详解】
取BC 的中点为D
由SBC ?和ABC ?都是正三角形，得SD BC ⊥，AD BC ⊥ 则SDA ∠是二面角S BC A --的平面角，即60SDA ∠= 设球心为O ，ABC ?和SBC ?中心分别为,E F 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SBC 又3
3
DE =
，tan tan 30OE ODE DE ∠== 13OE ∴=，2223OD OE DE =+=
∴外接球半径：2
222213133R OD BD ??=+=+= ?
?? ∴外接球的表面积为：2
2
13524439S R πππ??===
? ???
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.
11．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．234a π?
?
-
??
?
B ．262a π??
-
??
?
C ．264a π??
-
??
?
D ．2364
a π??-
??
?
【答案】C 【解析】 【分析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉
1
8
个球而形成的，所以它的表面积为22
22
213346484a S a a a a πππ????=+-+?=- ? ?????
.
故选：C
【点睛】
12．已知双曲线的焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 是双曲线右支上的一点，22PF c =，12PF F ?的面积为23c ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
7 B ．
31
+ C ．3
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
由12PF F ?的面积为23c ，可得2123
PF F π
∠=，再由余弦定理求出123PF c =，根据双曲线的定义可得2232a c c =-，从而可得结论. 【详解】
因为12PF F ?23c ， 1222F F PF c ==， 所以
2212221211
sin 2sin 32
F F PF PF F c PF F c ??∠=∠=， 可得212132sin 3
PF F PF F π
∠=
?∠=
， 2211
4422232
PF c c c c c =++???
=， 122232PF PF a c c -==-，
所以离心率31
231
c e a ===
-，故选B. 【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 二、填空题：本题共4小题
133
，双方战成了27平，按照如下规则：①每
回合中，取胜的一方加1分；②领先对方2分的一方赢得该局比赛；③当双方均为29分时，先取得30分的一方赢得该局比赛，则选手L 取得本局胜利的概率是______. 【答案】3227
【解析】 【分析】
设双方27平后的第k 个球L 赢为事件()1,2,3
k A k =，P （L 胜利）
()()()
12123123P A A P A A A P A A A =++,用独立事件乘法概率公式，即可求出.
【详解】
解：设双方27平后的第k 个球L 赢为事件()1,2,3k A k =，
则P （L 胜利）()()()
12123123P A A P A A A P A A A =++
33313133274444444432
=?+??+??=. 故答案为：3227
. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，属于中档题. 14．若函数()3
f x x a =+为奇函数，则()1f =______．
【答案】1 【解析】 【分析】
由函数()3
f x x a =+在0x =时有意义，且()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()00f =，求出,a 再
代入求解即可. 【详解】
解：因为函数()3
f x x a =+为奇函数，
所以()3
000f a =+=，即0a =，
所以()3
f x x =，
所以()3
111f ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
15．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1
()2
S a b c r =
++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________． 【答案】
()12341
3
R S S S S +++． 【解析】
试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积
之和，从而可得公式1
()2
S a b c r =
++，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式()12341
3
V R S S S S =+++．
考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．
【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．
16．如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ?=-,则BA BC ?的值为____________.
【答案】36 【解析】
分析：利用极化恒等式可快速解决此题
详解：如图，O 为BC 中点，2EF EG EM += (1) 2EG EF MG -= (2) 把(1)式和(2)式两边平方相减得：22EF
EG EM MG =-该结论称为极化恒等式
所以在本题中运用上述结论可轻松解题， 所以22
所以264AO =
2236BA BC BO AO ?=-=
点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[
)20,30，[)30,40，[)40,50，
[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.
【答案】 (1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下：
X
0 1 2
P
1
15
815 615
数学期望3
EX = 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为
25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为
1
2
处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出． 试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在[
)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++?=， 所以40名读书者中年龄分布在[
)40,70的人数为400.7530?=. （2）40名读书者年龄的平均数为
250.05350.1450.2550.3?+?+?+? 650.25750.154+?+?=.
设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ?+?+?+?-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[
)20,30的读书者有0.00510402??=人， 年龄在[
)30,40的读书者有0.0110404??=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()20242
41
015C C P X C ===， ()1124248
115C C P X C ===，
()02242
46
215
C C P X C ===， X 的分布列如下：
数学期望01
21515153
EX =?
+?+?=. 18．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -，右顶点为(),0A a ，上顶点为()0,B b ，
FAB S ?=
1FB FO ?=（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；
存在点P （不与原点重合）处的切线交椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点为D .直线OD 与过点P 且平行于x 轴的直线的交点为Q ，证明：点Q 必在定直线上.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）由1FB FO ?=得出1c =
，再由FAB S ?=(
)2211a b a b
?+=??-=??a 、b 的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）设点的坐标为()2,m 04m P m ??
≠ ???
，根据中定义得出直线MN 的方程，并设点()11,M x y 、()22,N x y ，()00,D x y ，将直线MN 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点D 的坐标，
得出直线OD 的方程与PQ 的方程y m =联立，求出点Q 的坐标，可得出点Q 所在的定直线的方程. 【详解】 （1
）由FAB S ?=
12FA OB ??=，即(
)a c b +?=(),FB c b =，(),0FO c =，2
1FB FO c ∴?==，可得1c =，联立(
)2
2
11a b a b
?+=??-=??得()(
)()22
2
12711a b a a b ?+=??-+=??，则()()311272a a a +-=?=
，所以b = 所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）设点()2,m 04m P m ??≠ ???，则由定义可知，过抛物线2
4y x =上任一点2,4m P m ?? ???
处的切线方程为2
2
44222
m x m my x +=?=+，所以
22
m y x m =+. 设()11,M x y 、()22,N x y ，()00,D x y .
联立方程组22
1,432,
2x y m y x m ?+=????=+??
，消去y ，得22
21638120x x m m ??+++-= ???.
16
因为2
122
8316
m x x m +=-+， 所以2
024316
m x m =-+，从而()20228331622316m m m y m m =-+=++， 所以()3
222
32316348
316
OD
m m m k
m m +=
=-
-+，所以直线OD 的方程为38m y x =-. 而过点2,4m P m ??
???
且平行于x 轴的直线方程为y m =， 联立方程38y m
m
y x =??
?=-??
，解得83x =-，所以点Q 在定直线上83x =-. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，解题的关键在于利用题中的定义写出切线方程，并将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查方程思想的应用，属于难题.
19．《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：
（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？
（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为ξ，求ξ的期望．
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联；（2）4 【解析】 【分析】
（1）根据数据填表，然后计算2
χ，可得结果.
（2）根据计算，可得未获得分数的人数，然后可知获得分数的概率，依据二项分布数学期望的计算方法，可得结果. 【详解】
解：（1
）根据表中数据统计，可得2x2列联表
22
20(13322) 4.356155155
χ??-?=≈???
4.356 3.841>，
（2）分析学生得分，5040%5080%60?+?=，
3040%6080%60?+?=，
平时分41分的学生中测验分只需达到41分，
而平时分31分的学生中测验分必须达到51分，才能获得学分 平时分41分的学生测验分未达到41分的只有1人， 平时分31分的学生测验分未达到51分的有3人 ∴从这些学生中随机抽取1人， 该生获得学分的概率为441205
-
= 4~5,5B ξ??
???
，4545E ξ∴=?=．
【点睛】
本题考查统计量2
χ的计算以及二项分布，第（2）问中在于理解4~5,5B ξ??
???
，理解题意，细心计算，属
基础题.
20．已知函数2
1()ln 1()2
f x x a x a R =
-+∈. （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若20a -≤<，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式1212
11
()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）1a ≤；（Ⅱ）12m ≥. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将问题转化为()0f x '≥对[]1,2x ?∈恒成立，然后利用参变量分离法得出()
2
min
a x ≤，于是可得
出实数a 的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()y f x =在[]1,2上是增函数，设1212x x ≤≤≤，并设()h x =
()m
f x x
+
，得知()y h x =在区间[]1,2上为减函数，转化为()0h x '≤在[]1,2上恒成立，利用参变量分离法得到3m x ax ≥-，然后利用导数求出函数()3
g x x ax =-在[]1,2上的最大值可求出实数m 的取值范
围。 【详解】
∴'()0a
f x x x
=-
≥恒成立，所以2a x ≤，只需2min ()1a x ≤=； （Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤， 则()()1212
11
f x f x m x x -≤-，可化为2121())m m f x f x x x +≤+（， 设21()()ln 12m m
h x f x x a x x x
=+
=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[1,2]上的减函数，即2()0a m
h x x x x
=--≤'在[1,2]上恒成立，
等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立，
设3
()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，
因20a -≤<，所以2
'()30g x x a =->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数，
所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）． 所以12m ≥．即m 的最小值为1． 【点睛】
本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。
21．已知集合{
}|3327x
A x =≤≤，{}
2log 1B x x =． (1)分别求A B ?，()R C B A ?；
(2)已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ?，求实数a 的取值集合． 【答案】 (1) {|23}A B x x ?=<≤，(){|3}R C B A x x =≤ (2) 3a ≤
【解析】 【分析】
(1)根据题干解不等式得到{|13}A x x =≤≤，{}
2B x x =，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ?，分C 为空集和非空两种情况得到结果即可. 【详解】
(1)因为3327x ≤≤，即13333x ≤≤， 所以13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤，
因为2log 1x >，即22log log 2x >，所以2x >， 所以{}
2B x x =，所以{|23}A B x x ?=<≤．
{|2}R C B x x =≤，所以(){|3}R C B A x x ?=≤．
(2)由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ?， 当C 为空集时，1a ≤.
当C 为非空集合时，可得13a <≤. 综上所述3a ≤. 【点睛】
这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2(2x y θ
θθ
?=+??
=+??为参数．在以原点O 为极点，为参数）．在以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
11
3sin 4cos ραα
=
+．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设()2,1A ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求||||AM AN ?的值． 【答案】（Ⅰ）2
2
(2)(2)8x y -+-=，43110x y +-=；（Ⅱ）7. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接把曲线C 的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线l 的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及t 的几何意义，即可求出。 【详解】
(I ) 曲线C 的普通方程:()()2
2
228x y --＋＝，
直线l 的直角坐标方程：4311
0x y -＋＝； （II ）设直线l 的参数方程为325
415x t y t
?
-??????
＝＝＋（t 为参数）
代入()()2
2
:228C x y --＋＝，
得3
29418
255t t ??- ???
＋＝，故28705t t --＝； 设,M N 对应的对数分别为12t t ?， 则12128
,75
t t t t -＋＝＝， 故127AM AN t t ?＝＝. 【点睛】
本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化。易错点是在应用直线参数方程中参数t 的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误。
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