专升本高等数学知识点汇总审批稿
专升本高等数学知识点
汇总
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1）
c
bx ax y b kx y ++=+=2
一般形式的定义域：x ∈R
（2）x
k
y =
分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性
定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。
三、基本初等函数
1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。
3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数
定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数
(1) 正弦函数: x y sin =
π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(2) 余弦函数: x y cos =.
π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(3) 正切函数: x y tan =.
π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π
， ),()(+∞-∞=D f .
(4) 余切函数: x y cot =.
π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .
5、反三角函数
(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(π
π-=D f 。
(2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。
(3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2,2()(π
π-=D f 。
(4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则
设A u x =→λ
lim ， B v x =→λ
lim ，则
（1）B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ
λ
λ
lim lim )(lim
（2）AB v u v u x x x =?=?→→→λ
λ
λ
lim lim )(lim .
推论
（a)v C v C x x λ
λ
→→?=?lim )(lim ， (C 为常数)。
（b ）n x n x u u )lim (lim λ
λ
→→=
（3）B
A v u v u x x x ==→→→λ
λ
λlim lim lim ， (0≠B ).
（4）设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=- 110)(， 则)()(lim 00
x P x P x x =→
（5）设)(),(x Q x P 均为多项式， 且0)(≠x Q ， 则 )
()
()()(lim
000x Q x P x Q x P x x =→
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，
x x ~arcsin ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-，2
2
1~
cos 1x x -。 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0 □→时， □~ □sin ，其余类似。
四、两个重要极限
重要极限I 1sin lim
0=→x
x
x 。
它可以用下面更直观的结构式表示：1
□
□sin lim
0 □=→
重要极限II e x x
x =???
??+∞
→11lim 。
其结构可以表示为：e =??? ??
+∞→
□ □ □
11lim
八、洛必达(L ’Hospital)法则
“00”型和“∞
∞
”型不定式，存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)()(lim )()(lim ''（或∞）。
一元函数微分学 一、导数的定义
设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量?x （点
x x ?+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果当
0→?x 时，函数的增量y ?与自变量x ?的增量之比的极限
lim
→?x x y
??=0lim →?x x
x f x x f ?-?+)()(00=）（0x f ' 注意两个符号x ?和0x 在题目中可能换成其他
的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式 （1）0)(='C (C 为常数) （2）1)(-='αααx x （α为任意常数）
（3）a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x x e e =')( （4）a
x e x x a a ln 1log 1)(log ==
')1,0,0(≠>>a a x ， x x 1
)(ln ='
（5）x x cos )(sin =' （6）x x sin )(cos -='
（7）x
x 2'cos 1
)(tan =
（8）x
x 2'sin 1
)(cot -=
（9）2
'11)(arcsin x
x -=
)11(??-x
（10）)11(11)(arccos 2
'??---=x x
x
（11）2
'11
)(arctan x
x +=
（12）2
'11
)cot (x
x arc +-= 2、导数的四则运算公式
（1）)()(])()([x v x u x v x u '±'='± （2）)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=' （3）u k ku '='][（k 为常数）
（4）)()
()()()()()(2
x v x v x u x v x u x v x u '-'='??
???? 3、复合函数求导公式：设)(u f y =, )(x u ?=，且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数
)]([x f y ?=的导数为
)().('x u f dx
du
du dy dx dy ?'=?=。 三、导数的应用
1、函数的单调性
0)('>x f 则)(x f 在),(b a 内严格单调增加。 0)(' 2、函数的极值 0)('=x f 的点——函数)(x f 的驻点。设为0x （1）若0x x <时，0)('>x f ；0x x >时，0)(' 0)(''>x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是凹的。 0)('' 4、曲线的拐点 （1）当)(''x f 在0x 的左、右两侧异号时，点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，此时 0)(0''=x f . （2）当)(''x f 在0x 的左、右两侧同号时，点))(,(00x f x 不为曲线)(x f y =的拐点。 5、函数的最大值与最小值 极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。 四、微分公式 dx x f dy )('=，求微分就是求导数。 一元函数积分学 一、不定积分 1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。 2、不定积分的性质 （1）)(])(['x f dx x f =?或dx x f dx x f d )()(=? （2）C x F dx x F +=?)()('或C x F x dF +=?)()( （3）????±±±=±±±dx x x dx x f dx x x x f )()()()]()()([ψ?ψ? 。 （4）dx x f k dx x kf ??=)()(（k 为常数且0≠k ）。 2、基本积分公式（要求熟练记忆） （1）?=C dx 0 （2）)1(1 11 -≠++= +?a C x a dx x a a . （3）C x dx x +=?ln 1 . （4）C a a dx a x x +=?ln 1 ) 1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=? （6）?+-=C x xdx cos sin （7）?+=C x xdx sin cos （8）C x dx x +=? tan cos 1 2. （9）C x dx x +-=? cot sin 1 2 . （10）C x dx x +=-?arcsin 112 . （11）C x dx x +=+? arctan 11 2 . 3、第一类换元积分法 对不定微分dx x g ?)(，将被积表达式dx x g )(凑成 )()()()]([)('x d x f dx x x f dx x g ????==，这是关键的一步。 常用的凑微分的公式有： （1）)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f ++=+ （2）)()(1 )(1b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ++=?+- （3）x d x f dx x x f 21)(=? （4）x d x f dx x x f 1 )1(1)1(2-=? （5）)()()(x x x x e d e f dx e e f =? （6）)(ln )(ln 1 )(ln x d x f dx x x f =? （7）)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f =? （8）)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f -=? （9）)(tan )(tan cos 1 )(tan 2 x d x f dx x x f =? （10）)(cot )(cot sin 1 )(cot 2x d x f dx x x f -=? （11）)(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2 x d x f dx x x f =-? （12）)(arccos )(arccos 11)(arccos 2x d x f dx x x f -=-? （13）)(arctan )(arctan 11 )(arctan 2 x d x f dx x x f =+? （14）))((ln ) () ('x d dx x x ???= )0)((≠x ? 4、分部积分法 二、定积分公式 1、（牛顿—莱布尼茨公式） 如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一个原函数，则有)()()( a F b F dx x f b a -=?。 2、计算平面图形的面积 如果某平面图形是由两条连续曲线 )(),(21x f y x g y ==及两条直线a x =1和b x =2所围成的（其中1y 是下面的曲线，2y 是上面的曲线），则其面积可由下式求出： 3、计算旋转体的体积 设某立体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线 所形成)(,b a b x a x <==及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周 的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式 求出： 多元函数微分学 1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常 数。 2、全微分公式：y B x A y x df dz ?+?==),(。 3、复合函数的偏导数——利用函数结构图 如果),(y x u ?=、),(y x v ψ=在点),(y x 处存在连续的偏导数 x u ?? ，y u ??，x v ?? ，y v ??，且在对应于),(y x 的点),(v u 处，函数),(v u f z =存在连续的偏导数 u z ??，v z ??，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 处存在对x 及y 的连续偏导数，且 x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4、隐函数的导数 对于方程0),(=y x F 所确定的隐函数)(x f y =，可以由下列公式求出y 对x 的导数'y ： ) ,() ,(' '' y x F y x F y y x -=， 2、隐函数的偏导数 对于由方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数),(y x f z =，可用下列公式求偏导数： ),,(),,(' 'z y x F z y x F x z z x -=??， ),,(),,(''z y x F z y x F y z z y -=??， 5、二元函数的极值 设函数),(00y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且 0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y 又设A y x f xx =),(00''，B y x f xy =),(00''，C y x f yy =),(00' '， 则： （1）当02<-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值，且当0A 时有极小值。 （2）当02>-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处无极值。 （3）当02=-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。 平面与直线 1、平面方程 （1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),,(0000z y x M ，以},,{C B A n =为法向量的平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 称之为平面的点法式方程 （2）平面的一般式方程 0=+++D Cz By Ax 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程 0=++Cz By Ax 表示过原点的平面方程 0=++D By Ax 表示平行于Oz 轴的平面方程 0=+By Ax 表示过Oz 轴的平面方程 0=+D Cz 表示平行于坐标平面xOy 的平面方程 3、两个平面间的关系 设有平面 0:11111=+++D z C y B x A π 平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是：0212121=++C C B B A A 4、直线的方程 （1）直线的标准式方程 过点),,(0000z y x M 且平行于向量},,{p n m s =的直线方程 常称},,{p n m s =为所给直线的方向向量 （2）直线的一般式方程 ?? ?=+++=+++00 22221111D z C y B x A D z C y B x A 称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系 设直线1l ，2l 的方程为 直线1l ，2l 互相垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m 6、直线l 与平面π间的关系 设直线l 与平面π的方程为 直线l 与平面π平行的充分必要条件为：??? ≠+++=++0000D Cp Bn Am Cp Bn Am o 直线l 落在平面π上的充分必要条件为??? =+++=++0000 D Cp Bn Am Cp Bn Am o 将初等函数展开成幂级数 1、定理: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且 称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。 2、几个常用的标准展开式 常微分方程 1、一阶微分方程 （1）可分离变量的微分方程 若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(= 或 )()(y g x f y ='则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解 方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。其中： ?=dy y g y G )()(,?=dx x f x F )()(. 即两边取积分。 （2）一阶线性微分方程 1、定义：方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——0)(≠x Q ； (2) 齐次方程 —— 0)(=+'y x P y . 2、求解一阶线性微分方程 （1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解：?=-dx x P Ce y )(, 其中C 为任意常数。 （2）将齐次通解的C 换成)(x u 。即 ?=-dx x P e x u y )()( （3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+', 得 2、二阶线性常系数微分方程 （1）可降阶的二阶微分方程 1、)(x f y =''型的微分方程 例3： 求方程x e y x sin 212-= ''的通解.分析：12cos 4 1 C x e dx y y x ++=''='?； 212sin 8 1 C x C x e dx y y x +++='=?. 2、),(y x f y '=''型的微分方程 解法： (1) 令y p '=，方程化为 ),(p x f p ='； (2) 解此方程得通解 ),(1C x p ?=； (3) 再解方程 ),(1C x y ?=' 得原方程的通解 21),(C dx C x y +=??. 3、),(y y f y '=''型的微分方程 解法： (1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?== '', (2) 代入原方程, 得 ),(p y f dy dp p = (3) 解此方程得通解 ),(1C y p ?=； (4) 再解方程 ),(1C y y ?=' 得原方程的通解 21),(C x C y dy +=??. 例4：求方程02='-''y y y 的通解. 分析：(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?== '', (2) 代入原方程, 得 02=-p dy dp yp 或 y dy p dp = (3) 解上方程, 得 C y p ln ||ln ||ln += ? y C p 1=, (C C ±=1). (4) 再解方程 y C y 1=' ? 1C y y =' ? 2 1||ln C x C y '+=. (5) 于是原方程的通解为 x C e C y 12=, (2 2C e C '±=) （2）常系数线性微分方程 （1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。 写出特征方程并求解 02=++q pr r . 下面记q p 42-=?,21,r r 为特征方程的两个根. （1）042>-=?q p 时, 则齐次方程通解为： x r x r e C e C y 2121+=。 （2）042=-=?q p 时, 则齐次方程通解为 )(2121111x C C e xe C e C y x r x r x r +=+=. （3）042<-=?q p 时,有,1βαi r +=)0( 2≠-=ββαi r ,则齐次方程通解为 （2）二阶常系数非齐次方程解法 方程的形式：)(x f qy y p y =+'+'' 解法步骤： (1) 写出方程的特征方程 02=++q pr r ； (2) 求出特征方程的两个根21,r r ； (3) 原方程的通解如下表所示: (4) 再求出非齐次方程的一个特解 )(*x y ； (5)那么原方程的通解为 )()()(*2211x y x y C x y C y ++=。