第12章 圆锥曲线

【章节训练】第12章圆锥曲线-1

一、选择题（共10小题）

1．（2014?西湖区校级学业考试）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）

A ．B

．

C

．

D

．

2．（2014?福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）

A ．5B

．

+C

．

7+D

．

6

3．（2014?岳麓区校级模拟）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（2015?南充三模）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）

A ．4 B

．

C

．

8 D

．

5．（2014?邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）

A ．7倍B

．

5倍C

．

4倍D

．

3倍

6．（2014?广西）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）

A

．+=1 B

．

+y2=1

C

．+=1

D

．+=1

7．（2014?武汉模拟）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）

A ．2 B

．

2C

．

2D

．

4

8．（2014?江北区校级模拟）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）

A ．y2=4x或

y2=8x

B

．

y2=2x或

y2=8x

C ．y2=4x或

y2=16x

D

．

y2=2x或

y2=16x

9．（2015?南澳县校级二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）

A ．B

．

C

．

D

．

10．（2014?甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F 的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2014?陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．

12．（2014?包头一模）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为

．

13．（2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1

的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．14．（2014?江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．

15．（2014?山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．

三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）

16．（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

17．（2013?天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若

=8，求k的值．

18．（2014?赫章县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．19．（2011?陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

20．（2015?遵义校级一模）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，

过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（Ⅰ）求|AB|；

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

【章节训练】第12章圆锥曲线-1

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．（2014?西湖区校级学业考试）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：椭圆的标准方程．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右

焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得

，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．

解答：

解：设椭圆的方程为，

可得c==1，所以a2﹣b2=1…①

∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3

∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②

联解①②，可得a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为

故选：C

点评：本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．

2．（2014?福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点

间的最大距离是（）

A5B+C7+D6

．．．．

考

点：

椭圆的简单性质；圆的标准方程．

专

题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．

解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则

∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，

∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为

==≤5，

∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．

故选：D．

点

评：

本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

3．（2014?岳麓区校级模拟）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

专题：计算题．

分析：确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．

解答：

解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且

∴c=2，a2=8

∴b2=a2﹣c2=4

∴椭圆的方程为

故选C．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．

4．（2015?南充三模）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）

A ．4 B

．

C

．

8 D

．

考点：圆的标准方程．

专题：直线与圆．

分析：

圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，

解方程求得a值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值．

解答：解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，

∴a=5+2，或a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2）和（5﹣2，5

﹣2），

故两圆心的距离|C1C2|==8，

故选C．

点评：本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5．（2014?邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）

A ．7倍B

．

5倍C

．

4倍D

．

3倍

考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题．

分析：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．再由两点间距离公式分别求出|P F1|

和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数．

解答：解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），

如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1的中点坐标为（，）

∵线段PF1的中点M在y轴上，

∴=0

∴x=3

将P（3，y）代入椭圆=1，得到y2=．

∴|PF1|=，

|PF2|=．

∴．

故选A．

点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．6．（2014?广西）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）

A

．+=1 B

．

+y2=1

C

．+=1

D

．+=1

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．

解答：解：∵△AF1B的周长为4，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∴4a=4，

∴a=，

∵离心率为，

∴，c=1，

∴b==，

∴椭圆C的方程为+=1．

故选：A．

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

7．（2014?武汉模拟）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）

A ．2 B

．

2C

．

2D

．

4

考点：抛物线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上

的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．

解答：解：∵抛物线C的方程为y2=4x

∴2p=4，可得=，得焦点F（）

设P（m，n）

根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，

即m+=4，解得m=3

∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24

∴n==

∵|OF|=

∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2

故选：C

点评：本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，

属于基础题．

8．（2014?江北区校级模拟）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）

A ．y2=4x或

y2=8x

B

．

y2=2x或

y2=8x

C ．y2=4x或

y2=16x

D

．

y2=2x或

y2=16x

考点：抛物线的标准方程．

专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF

中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到

∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p

的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．

解答：解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），

∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，

∵以MF为直径的圆过点（0，2），

∴设A（0，2），可得AF⊥AM，

Rt△AOF中，|AF|==，

∴sin∠OAF==，

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，

∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，

∵|MF|=5，|AF|=

∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8

因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．

故选：C．

方法二：

∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），

设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，

因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，

由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，

则M点纵坐标为4，

即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．

所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．

故答案C．

点评：本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解

直角三角形等知识，属于中档题．

9．（2015?南澳县校级二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．

解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，

∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c

∴2a=3x，2c=x，

∴C的离心率为：e==．

故选D．

点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．

10．（2014?甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F 的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：椭圆的标准方程．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得

．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化

为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

代入椭圆方程得，

相减得，

∴．

∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．

∴，

化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．

∴椭圆E的方程为．

故选D．

点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．

二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．（2014?陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．

考点：圆的标准方程．

专题：直线与圆．

分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．

解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，

可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，

故答案为：x2+（y﹣1）2=1．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．

12．（2014?包头一模）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为

x2+y2=2．

考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

分析：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．

解答：解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．

故答案为：x2+y2=2

点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

13．（2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1

的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，

∴A点坐标为（c，b2），

设B（x，y），则

∵|AF1|=3|F1B|，

∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）

∴B（﹣c，﹣b2），

代入椭圆方程可得，

∵1=b2+c2，

∴b2=，c2=，

∴x2+=1．

故答案为：x2+=1．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（2014?江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相

交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心

率．

解答：

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，

∵M是线段AB的中点，

∴=1，=1，

∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，

∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），

∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于

A，B两点，M是线段AB的中点，

∴①②两式相减可得，即，

∴a=b，

∴=b，

∴e==．

故答案为：．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．15．（2014?山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

考点：圆的标准方程．

专题：直线与圆．

分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一

半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解

得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，

∵圆C截x轴所得弦的长为2，

∴t2+3=4t2，

∴t=±1，

∵圆C与y轴的正半轴相切，

∴t=﹣1不符合题意，舍去，

故t=1，2t=2，

∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．

三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）

16．（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆

C的离心率；

（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答：

解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，

∴a=2，b=，c=，

∴椭圆C的离心率e==；

（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则

∵OA⊥OB，

∴=0，

∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，

∵，

∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）

2

=x 02+y 02

+

+4=x 02

+

++4=+4（0＜

x 02

≤4）， 因为

≥4（0＜x 02

≤4），当且仅当

，即x 02

=4时等号成立，所

以|AB|2

≥8．

∴线段AB 长度的最小值为2．

点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．（2013?天津）设椭圆=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若

=8，求k 的值．

考点： 椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c 代入求出弦长使其等于

，再由离

心率为

，可求出a ，b ，c 的关系，进而得到椭圆的方程．

（Ⅱ）直线CD ：y=k （x+1），设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由

消

去y 得，（2+3k 2

）x 2

+6k 2

x+3k 2

﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得

，利用

=8，即可求得k 的值．

解答：

解：（Ⅰ）根据椭圆方程为

．

∵过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为，

∴当x=﹣c时，，得y=±，

∴=，

∵离心率为，∴=，

解得b=，c=1，a=．

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），

∴

=（x1+，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1），

=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，

=6+=8，解得k=．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．

18．（2014?赫章县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．

专题：直线与圆．

分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，

写出圆的方程；

法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接

求出参数，

（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过

OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程

确定出a的值．

解答：解：

（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，

0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），

则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，

所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．

法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0

x=0，y=1有1+E+F=0

y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，

即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组

，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．

在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，

由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）

+a2=0②

由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，

考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．19．（2011?陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．

考

点：

专

计算题．

题：

分

（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，析：

结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，

可得椭圆的方程．

（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），

将（0，4）代入C的方程得，即b=4

又得=；

即，∴a=5

∴C的方程为

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程代入C的方程，得，即x2﹣3x﹣8=0，解得，，

∴AB的中点坐标，

，

即中点为．

点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．

20．（2015?遵义校级一模）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，

过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（Ⅰ）求|AB|；

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

考点：椭圆的应用．

专题：综合题．

教师招聘圆锥曲线经典总结

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n

构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题

构造齐次方程解决一类问题 一准备知识 定理：若直线与二次曲线 交于P，Q两点，则P，Q与原点O连线的方程是 ﹡ 证明：设点P的坐标为（）,则：—————————① —————————————————— ② 又直线OP上任一点的坐标可设为，其中，当时，有 =〔〕 =()=0, 故直线上任一点的坐标（）都适合方程﹡，从而直线OP上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。同理直线OQ 上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。 又设直线OP，OQ的方程分别是，则由上证明知方程﹡的左边必含有因式，因为方程﹡的左边为关于的齐二次式， 根据多项式因式分解是唯一的，所以方程﹡必与两方程同解。综上知：P，Q与原点O的连线方程可以表示为﹡。 注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时，两交点与原点连线的直线方程的构造法。

若将方程﹡的左边展开整理后得到关于的齐二次方程 ，其中A=，B=， C=，则可以得到以下两个推论。 推论1：若方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，则这两条直线的夹角满足。 证明：因为方程（C）表示过原点且不重合的两条直 线，所以，则其可以化为，又，所以该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率，则 ，依两直线的夹角公式得： 。 注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张角大小的计算方法。 推论2：方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则。 证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，，的值不存在，而=0，即，所以。 注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张直角问题的解决方法。 二例题 例1（97年上海高考题）抛物线方程为，直线 与轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q，R，，求关于的函数的表

圆锥曲线椭圆双曲线的性质

圆锥曲线椭圆双曲线的性质 1.直线x y 3-=与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点,以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点, 则椭圆离心率为 13- 解:如图,由题可得,圆的直径为AB ,也为21F F ,且?=∠1202AOF ,连接 21,AF AF ,则?=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由椭圆的定义得a AF AF 2||||21=+,则 a c c 23=+,则a c 2)31(=+.解得离心率13-=e . 2.设21,F F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点,以||1OF 为半径的圆交双曲线左枝于B A ,两 点,2ABF ?为等边三角形,双曲线的离心率为13+ 解:如图,由题可得,圆的直径为21F F ,连接1AF ,则?=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由双曲线的定义得 a AF AF 2||||12=-,即a c c 23=-,则a c 2)13(=-.解得离心率13+=e . 3.设21,F F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦点,过1F 作直线l 交椭圆于B A ,两点,若2ABF ?是等腰直 角三角形,?=∠902B AF ,椭圆离心率为 12- 解:如图,由题可设),(A y c A -,因为点A 在椭圆上,则 1)(22 22=+-b y a c A ,解得a b y A 2 =.由题知c F F 2||21=. 因为2ABF ?是等腰直角三角形,则21F AF ?也是等腰直角三角形,则||||211F F AF =, 即c a b 22 =,则ac b 22=. 即ac c a 22 2 =-,即e e 212 =-,解得12-= e .

高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结

二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠．

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 例题、（07山东） 已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， （*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**） 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”） 解法二（齐次式法） 由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

“圆锥曲线与方程”复习讲义

“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆

解几专题2：圆锥曲线的齐次1

齐次化在圆锥曲线中的应用 圆锥曲线中常见一类问题，其特点是条件中的两直线斜率之和或之积是一个指定常数.这类问题的求解方法很多，但是采用齐次化方法，可以将这两种题型统一处理. 一、两直线斜率之积为常数

二、两直线斜率之和为常数

三、与斜率之和、斜率之积相关的问题 四、巩固练习 1、（2017年全国Ⅰ卷理科20）已知椭圆C ：22 22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， ），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1， 证明：l 过定点. 试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由 2222 1113 4a b a b +>+ 知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直

时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2 214x y +=，写出判别式， 利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由 2222 1113 4a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2 22 1 1,131, 4b a b ?=????+=??解得224,1.a b ?=??=?? 故C 的方程为2214x y +=. （2）常规解法：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，（t ，）. 则121k k +-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2 214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知2 2 =16(41)0k m ?-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841 km k -+，x 1x 2=22 4441m k -+. 而121212 11y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)() kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141m km k m k k --+?+-?=++.解得1 2 m k +=- .

高中数学-圆锥曲线双曲线

高中数学- 圆锥曲线 第3课 双曲线 【考点导读】 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则1 4 m =- 2. 方程 13 322 =+--k y k x 表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或 3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 2 1 ±=，则此双曲 线的离心率为5 4. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为22 1916 x y - = 【范例导析】 例 1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为 9 (3,,5)4 -，求双曲线的标准方程; （2）求与双曲线19 162 2=-y x 共渐近线且过() 332-，A 点的双曲线方程及离心率． 分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>>①；

∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。 将9(3,,5)4- 分别代入方程①中，得方程组：22 2 22 22(319() 2541 a b a b ?--=????-=?? 将21a 和21b 看着整体，解得221 116 11 9 a b ?=????=??， ∴2 2169 a b ?=??=??即双曲线的标准方程为221169y x -=。 点评：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。 （2）解法一：双曲线191622=- y x 的渐近线方程为：x y 43±= 当焦点在x 轴时，设所求双曲线方程为122 22=-b y a x ()0,0a b >> ∵ 34a b =，∴a b 4 3 = ① ∵() 332-，A 在双曲线上 ∴ 19 1222=-b a ② 由①－②，得方程组无解 当焦点在y 轴时，设双曲线方程为122 22=-b x a y ()0,0a b >> ∵ 43=a b ，∴a b 3 4 = ③ ∵() 332-，A 在双曲线上，∴112 922=-b a ④ 由③④得4 9 2=a ，42=b

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

圆锥曲线与方程单元知识总结

圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质

2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、

的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质

3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程：

122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-

圆锥曲线与方程复习资料

高中数学选修2－1 第二章 圆锥曲线与方程 知识点： 一、曲线的方程 求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 二、椭圆 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=> 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M ==。 常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标和离心率. 【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论 椭圆与双曲线对偶结论 椭圆双曲线 标准方程 () 22 22 10 x y a b a b +=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - () 22 22 10,0 x y a b a b -=>> 焦点()() 12 ,0,,0 F c F c - 焦半径 1020 , PF a ex PF a ex =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 1020 , PF ex a PF ex a =+=- e为离心率， x为点P的横坐标. 焦半径范围 a c PF a c -≤≤+ P为椭圆上一点，F为焦点. PF a c ≥- P为双曲线上一点，F为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 如图，直线l过焦点 1 F与椭圆相交于,A B 两点.则 2 ABF △的周长为4a. （即 22 4 F A F B AB a ++=） 如图，直线l过焦点 1 F与双曲线相交于 ,A B两点.则 22 4 F A F B AB a +-=. 焦点弦 倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交 于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = -+ . 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相 交于,A B两点. 焦点弦长()2 2222 2 sin ab AB a b b α = +- .

AF与BF 数量关系 直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点， 则 2 112a AF BF b +=. 直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两 点，则 2 112a AF BF b +=. 已知点P是椭圆上一点，O坐标原点， 则b PO a ≤≤. 已知点P是双曲线上一点，O坐标原点， 则PO a ≥. 焦三角形 如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点， 已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则 （1） 12 2tan 2 PF F S b θ = △ ； （2）离心率 sin sin sin e θ αβ = + . 如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点， 已知 12 F PFθ ∠=， 12 PF Fα ∠=， 21 PF Fβ ∠=，则 （1） 12 2 2cot 2tan 2 PF F b S b θ θ == △ ； （2）离心率 sin sin sin e θ αβ = - . 垂径定理 如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点， 点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =-. 如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两 点，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OM AB b k k a =. （注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B 两点，其他条件不变，结论依然成立）

【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值 例1：12,Q Q 为椭圆22 2212x y b b +=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂 线OD ，求D 的轨迹方程. 解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+， 联立22 221 2y kx m x y b b =+???+=??化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 22222221212222222 2()(2) ,22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以 222222222222 121222222222 2()(2)2()2=0222121 b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1) m b k ∴=+* 又因为直线12Q Q 方程等价于为0 000()x y y x x y -=--，即200000 x x y x y y y =-++ 对比于

y kx m =+，则00200 x k y x y m y ?-=????+=??代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 解法二（齐次式）： 设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222 2 222211 11022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=???????+=+-=???? 222 22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b +---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2 x ，则 222 2 2 2 22 1222 12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=?=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，22 22 12122m b b n -=-- 22232() b m n ∴=+* 又因为直线12Q Q 方程等价于为0 000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于 1mx ny +=，则0 2200022 00 x m x y y n x y ?=?+???=?+?代入*中，化简可得：22 20023x y b +=. 例2：已知椭圆2 214 x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB

专题-圆锥曲线与方程(教师)

专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=

圆锥曲线-双曲线

圆锥曲线-双曲线 一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的： x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的： y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 3.双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() 1x a x a <>≤-≥范围：，或 <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 <>= >41离心率：e c a e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。 <>± 5渐近线：y b a x = <>=±62 准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ± = 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x

1 22 121 x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（） A m B m m ..-<<-<->-2121或 C m m D m R ..≠-≠-∈21且 2. 2 2 0ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 2 2 sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 4.曲线3sin 2x 2+θ+2 sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。 （A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的双曲线 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的椭圆 5.平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是（ ）。 （A ）16x 2－9y 2＝1 (x ≤－4) （B ）9x 2－16y 2 ＝1(x ≤－3) （C ）16x 2－9y 2＝1 (x>≥4) （D ）9 x 2－16y 2 ＝1 (x ≥3) 6若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋3y=0，则此双曲线的标准方程只能是（ ）。 （A ）36x 2－12y 2=1 （B ）36y 2－12x 2=1 （C ）36x 2－12y 2=±1 （D ）36y 2－12 x 2 =±1