(甘志国)谈谈对称式不等式的证明
谈谈对称式不等式的证明
甘志国(该文已发表 中小学数学(高中)，2011(6)：36-38)
普通高中课程标准实验教科书《数学选修4-5·A 版·不等式选讲》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《不等式选讲》) 第22-23页的例3及第23页的第4题(其解答见与《不等式选讲》配套使用的《教师教学用书》(下简称《教师用书》)第24页)分别是：
题1 已知b a ,是正数，求证a
b b a b a b a ≥，当且仅当b a =时，等号成立.
证明 将不等式两边相除，得
b
a a
b b a a b b a b a b a b a b a ---??
? ??=≥
根据要证的不等式的特点(交换b a ,的位置，不等式不变)，不妨设0>≥b a ，于是
0,1≥-≥b a b
a
所以
1≥??
? ??-b
a b a
当且仅当b a =时，等号成立.所以
a b b a b a b a ≥
当且仅当b a =时，等号成立.
题2 已知c b a ,,是正数，求证b a a c c b c
b
a
c b a c
b a +++≥222.
证明 因为c b a ,,是正数，不妨设0>≥≥c b a ，则
1,1,1≥??
? ??≥??
? ??≥??
? ??---b
a c
b b
a a c c
b b a
因为0>+++b a a c c
b c b a
，且
1222222≥??
? ????
?
????
? ??==---------+++b
a c
b b
a b
a c a c
b
c b a b
a a c c
b
c b a a c c b b a c b a c b a c b a
所以
b a a
c c b c b a c b a c b a +++≥222
不少学生对题1的证明中的“根据要证的不等式的特点(交换b a ,的位置，不等式不变)，不妨设0>≥b a ”是怎么来的，不甚清楚；对题2的证明中的“因为c b a ,,是正数，不妨
设0>≥≥c b a ”是怎么来的，更是一头雾水.
我们先来看题1，要证明的式子是a
b b a b a b a ≥(当且仅当b a =时取等号)，这个式子
是关于b a ,对称的，也就是说b a ,的地位相同，即把b a ,互换．．
后得到的不等式b
a a
b a b a b ≥与原不等式a
b b a b a b a ≥是同一个不等式，所以，若能证得“b a ≥时原不等式成立”，则
把这个证得的结论b a ,互换．．
后得到的结论也成立，也就是“a b ≥时原不等式成立”.因为a b b a ≥≥,时原不等式均成立，所以欲证成立.
这就说明，若要证的不等式是关于b a ,对称的，则证明时可添加条件“可不妨设b a ≥”，若b a ,都是正数，则证明时可添加条件“可不妨设0>≥b a ”.
再来看题2，要证明的式子是b a a c c b c
b
a
c b a c
b a +++≥222，这个式子是关于
c b a ,,对称的，
也就是说c b a ,,的地位相同，即把b a ,互换．．后、c b ,互换．．后、a c ,互换．．后得到的不等式与原不等式是同一个不等式(请读者验证)，所以，若能证得“c b a ≥≥时原不等式成立”，则把这个证得的结论b a ,互换．．后、或c b ,互换．．后、或a c ,互换．．
后得到的结论均成立，这样便得，对于c b a ,,的所有大小顺序的情形(共633=A 种情形)均有欲证成立.
这就说明，若要证的不等式是关于c b a ,,对称的，则证明时可添加条件“可不妨设
c b a ≥≥”，若c b a ,,都是正数，则证明时可添加条件“可不妨设0>≥≥c b a ”.
运用题1的结论还可简证题2：
c a a c b c c b a b b a a c a c c b c b b a b a ≥≥≥,,
把它们相乘即得欲证.
下面再介绍几道典型的对称式不等式的证明.
例1 已知c b a ,,是正数，求证3
)
(c b a c b a abc c b a ++≥.
证法 1 因为要证明的不等式关于c b a ,,对称，所以可不妨设0>≥≥c b a ，得
c a c b b a ---,,均为非负数，c
a
c b b a ,,均不小于1.所以有
1)
(3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
23
23
23
≥??
? ????
? ????
? ??===---------------++c a b a b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a c b
a
c a c b b a c
c
b
b
a
a
c
b
a
abc c
b a
得欲证成立.
证法2 可不妨设0>≥≥c b a ，得
1222222222≥??
? ??==≥-+---+------------c
b a b
a c c
b a b a
c a c b c b a b a c a c b c b a c b c b c b b c b a
得欲证成立.
证法3 由题2的结论，立得c b a b a c c b a c
b
a
c b a c
b a ++++++≥333，再得欲证.
注 可把例1的结论推广为： 若∈n a a a ,,,21 R +，则n
a a a n a n a a n
n
a a a a a a +++≥ 212
1
)
(2121.
例2 已知c b a ,,是正数，求证：
(1)
c b a abc c b a ++≥++4
44； (2)
2225
55c b a abc
c b a ++≥++. 证明 可不妨设0>≥≥c b a ，得
(1) )()()()()()(222222222222ab c b ca b b bc a b ab c c ca b b bc a a -+-+-≥-+-+-
0])()()[(2
1)(2222
2222≥-+-+-=
---++=a c c b b a b ca bc ab c b a b 得欲证成立.
(2) )()()()()()(232323232323ab c c ca b b bc a b ab c c ca b b bc a a -+-+-≥-+-+-
)()()(222323223ca bc ab c b a c ab c c ca bc b a b ---++≥-+--+=
0])()()[(2
12222
≥-+-+-=
a c c
b b a b 得欲证成立.
例3 已知c b a ,,是正数，求证2
222c
b a b a
c a c b c b a ++≥+++++. 证明 可不妨设0>≥≥c b a ，得
b a cb ca
c a c bc ba b c b ac ab a c b a b a c a c b c b a +--++--++--=???
? ??++-+++++22222222222 b
a b a c c a c c a b b c a c b a b b a b a c c a c c a b b c b c b a a +--+
+--++--≥+--++--++--=
)
2()2()2()2()2()2(0)2)(()2()2(≥+-+-=+--++-+≥c
a c
b a
c b b a b a c c c a c b a b
得欲证成立. 例 4 (IMO25·1)设z y x ,,是非负实数，且1=++z y x ，证明：
27
720≤
-++≤xyz xy zx yz . 证明 可不妨设0≥≥≥z y x .由1=++z y x ，得3
2
,31≥+≤
y x z ，所以 xy xy xyz ≤≤
3
2
2 xyz xy zx yz 20-++≤
可设??
? ??
≤≤-=+=
+31031,32εεεz y x ，得 ??
?
??++??? ??+??? ??-=-++=-++εεε2313231)21()(2xy z xy y x z xyz xy zx yz
27
7
212277242772312313231232
2
≤
??? ??--=+-=??? ??+??? ??++??? ??+??? ??-≤εεεεεεεε 最后，笔者要提醒的是，有些不等式貌似对称式不等式，实则不是，比如，
题3 已知d c b a ,,,是正数，求证
da
cd bc ab d c b a 1
11111112222+++≥+++. 该题中的不等式就不是对称式不等式，因为把b a ,互换．．
后得到的不等式与原不等式不同，所以在证明时就不能添加条件“可不妨设0≥≥≥≥d b b a ”.
这道题可用柯西(Cauchy ，Augustin-Louis,1789-1857)不等式来证明：
2
22222222111111111111
??? ??++
+≥??? ??+++??? ??+++da cd bc ab a d c b d c b a
我们再来看与《不等式选讲》配套使用的教辅资料《世纪金榜》(未来出版社，2010年
印刷)第42页的最后一题：
题4 设∈n x x x ,,,21 R +，求证：
n n n n x x x x x x x x x
x x +++≥++++- 211
2
21322221 给出的解答是：
不妨设021>≥≥≥n x x x ，则
n
n x x x x x x 1
11,
212
2221≤≤≤≥≥≥ 由排序不等式，得
n n
n n n n x x x x x x x
x x x x x x x x x x +++=+++≥++++- 212
22
212
11221322221
所以欲证成立.
因为式子12
21322221x x x x x x
x x n n n ++++- 不是关于n x x x ,,,21 的对称式，所以“不妨设
021>≥≥≥n x x x ”是错误的.可这样证明：
设021>≥≥≥n i i i x x x ，其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，则
n
n i i i i i i x x x x x x 1
11,
21212
22≤
≤≤≥≥≥ 由排序不等式知，反序和最小，从而
2
2212
213222*********n n
i i i i i i n n n x x x x x x x x x x x x x x ?++?+?≥++++- n i i i x x x x x x n +++=+++= 2121
所以欲证成立.
题4与《不等式选讲》第45页第4题实质相同，且《教师用书》第38页给出的解答是正确的.
题3、题4中的不等式是轮换式对称不等式，即该不等式中的字母按一定顺序轮换，比如把n n x x x x ,,,,121- 分别换为132,,,,x x x x n 后，得到的不等式没有改变(见李长明，周焕山编《初等数学研究》(高等教育出版社，1995)第76页)；因而把1132,,,,,x x x x x n n - 分别换为2143,,,,,x x x x x n 后，得到的不等式没有改变；由此还得，把n n n x x x x x ,,,,,1221-- 分别换为2143,,,,,x x x x x n 后，得到的不等式没有改变；…
对称式不等式一定是轮换式对称不等式，轮换式对称不等式不一定是对称式不等式. 一般来说，只有在对称式不等式中才可以先排定这些字母的大小顺序.
题5 (《不等式选讲》第45页第2题)设已知c b a ,,为正数，用排序不等式证明
)()()()(2222333b a c c a b c b a c b a +++++≥++
《教师用书》第37页给出的解答是：
由于要证的式子中c b a ,,是轮换对称的，所以不妨假设c b a ≤≤.于是2
22c b a ≤≤.
由排序不等式，得
a c c
b b a
c c b b a a 222222++≥++ b c a b c a c c b b a a 222222++≥++
把它们相加，便得欲证.
该证明的开头说“由于要证的式子中c b a ,,是轮换对称的，所以不妨假设c b a ≤≤”，这是不对的.实际上，可以验证要证的式子中c b a ,,是对称的，所以可不妨设c b a ≤≤”.
题6 (《不等式选讲》第45页第3题)设321,,a a a 为正数，求证
3212
1
3132321a a a a a a a a a a a a ++≥++ 《教师用书》第38页给出的解答是：
由于要证的式子中321,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设321a a a ≥≥.于是
2113323
21,111a a a a a a a a a ≤≤≤≤ 由排序不等式，得
132212
1313232131323211
11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=?+?+?≥++ 得欲证成立.
该证明的开头说“由于要证的式子中321,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设321a a a ≥≥”，这也是不对的.实际上，可以验证要证的式子中321,,a a a 是对称的，所以可不妨设321a a a ≥≥”.
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日 目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22) 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 分式 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ，则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2=+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/dc6534844.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/dc6534844.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/dc6534844.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行 分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x 柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法 本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制 云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日 目录 摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16) 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=浅谈中学几种常用证明不等式的方法
证明不等式的种方法
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的几种常用方法
分式不等式的证明与方法
高等数学中不等式的证明方法
浅谈不等式的证明
柯西不等式各种形式的证明及其应用
浅谈中学数学不等式的证明方法
不等式的证明方法习题精选精讲
均值不等式的证明方法
柯西不等式的证明及其应用