高一反函数·典型例题精析-参考模板
反函数·例题解析
【例1】求下列函数的反函数：
(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝
≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+
(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝
≤．＝－≤≤－＜≤11
2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝
≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521
53253232
x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，
由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22
2
解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝
≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11
111122x x y y x x
++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，
得值域≤≤，反函数＝－≤≤．
由＝－＜≤，
x x +-1
得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，
故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．
(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－
≤x -1
解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，
由＝－，得反函数＝＋＋≥－．
函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．
y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11
解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23
它们的图像如图2．4－2所示．
【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113
x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．
解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，
31x x a ++
若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)11313
1313
-----ay y ax x
(2)f(x)f (x)x 1
若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义
域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．
【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d
++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．
解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx a
dx b cx a ax b cx d
-+-+--+-++-()
令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．
事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，
因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．
【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反
函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．
解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．????????
??--1373137313737373
x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，
故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]12121112173
73373
12-----x x x
【例6】解法一若函数＝
，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x
-+-++-+----12
1212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关
系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)5321
1---+x x 12
【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --1
1
1
证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝
，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax a
a x ax ----11
1111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------1111
11
因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，
∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．
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