“三看”利用柯西不等式代数及几何形式解题

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“三看”利用柯西不等式代数及几何形式解题作者：叶忠

来源：《中学理科园地》2016年第03期

摘要：柯西不等式是高中数学选修课的重要内容，中学数学教学中，受知识学习顺序及

学生对知识的熟练程度的影响，利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题常被割裂开，“侧看”这两种形式，好象有很大区别；“正看”这两种形式在解题中其实质是相同的，甚至解题过程也相似；通过“转身看”两种形式在近年高考题中的运用，发现只学习向量运算（即几何形式），可以代替柯西不等式代数形式解题.

关键词：柯西不等式；代数形式；几何形式

柯西不等式是著名的经典不等式之一，它在求函数最值，证明等式与不等式，解方程等

方面都重要的应用.

向量与柯西不等式在中学数学中，既作为知识，又作为解题工具，它们的应用有很多不同的地方，但有时用它们解决同一问题时，两者又常有异曲同工之妙，它们的这种交融在柯西不等式向量形式上得到充分体现.由于人们对向量知识非常熟悉，柯西不等式向量形式与柯西不

等式常被割裂开.其实，在现在中学数学中，只要向量存在，即使高考不考柯西不等式，还是

可以在向量应用中找到柯西不等式的影子，甚至在很多需要利用柯西不等式来解题的时候，可以通过向量方法来代替.

1 “侧看”利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题

柯西不等式和向量在解题教学常以工具的形式被用来解题.从解题工具的层面看解题，很

多学生利用柯西不等式向量形式解题，也不会把它和柯西不等式联系起来.这是因为，在中学

教材中，向量的学习先于柯西不等式的学习，学生对向量的熟悉程度也远胜于柯西不等式.

例1.已知点P（x0，y0）及直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求证：点P到直线l的距离d=.

证法1（利用柯西不等式解题）：

设点P1（x1，y1）是直线l上的任意一点，则Ax1+By1+C=0，PP1=.显然，PP1的最小值就是P到直线l的距离.

由柯西不等式得：

当且仅当B（x1-x0）=A（y1-y0），即PP1⊥l时取等号.根据点到直线距离的定义.