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高考数学按章节分类汇编(人教A必修二)：第三、四章直线方程与圆的方程

考数学按章节分类汇编（人教A 必修二）

第三、四章直线方程与圆的方程

一、选择题

1 ．（2012年高考（陕西理））已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（）

A ．l 与C 相交

B ．l 与

C 相切C ．l 与C 相离

D ．以上三个选项均有可能

2 ．（2012年高考（天津理））设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆

22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是

（）

A ．[1

B ．(,1)-∞∞

C ．[2-

D ．(,2)-∞-∞

3 ．（2012年高考（重庆文））设A,B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点,则||AB =

（）

A ．1

D ．2 4 ．（2012年高考（陕西文））已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（）

A ．l 与C 相交

B ．l 与

C 相切

C ．l 与C 相离

D ．以上三个选项均有可能 5 ．（2012年高考（山东文））圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为

（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离

6 ．（2012年高考（辽宁文））将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（）

A ．x+y-1=0

B ．x+y+3=0

C ．x-y+1=0

D ．x-y+3=0

7 ．（2012年高考（湖北文））过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}

22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为

（） A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -= D ．340x y +-= 8 ．（2012年高考（广东文））(解析几何)在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆

224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于

（）

A ．

B ．

D ．1

9 ．（2012年高考（福建文））直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B 两点,则弦AB

的长度等于

（）

A ．

B ．

D ．1

10 ．（2012年高考（大纲文））正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC

上,13

AB BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为

（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．3

11．（2012年高考（安徽文））若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取

值范围是

（） A ．[3,1]-- B ．[1,3]- C ．[3,1]- D ．(,3][1,)-∞-+∞

12 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定

是（）

A ．相离

B ．相切

C ．相交但直线不过圆心

D ．相交且直线过圆心

二、填空题 13．（2012年高考（浙江文））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l

的距离,已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2

=2到直线l:y=x 的距离,则实数a=_______.

14．（2012年高考（天津文））设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ?面积的最小值为_________.

15．（2012年高考（上海文））若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为

__________(结果用反三角

函数值表示).

16．（2012年高考（山东文））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的

初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.

当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为____.

17．（2012年高考（江西文））

过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两

条切线，若两条切线的夹角是60?,则点P 的坐标是__________。

18．（2012年高考（北京文））直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为_____________ 19 ．（2012年高考（天津理））如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的

延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,=3AF ,=1FB ,3=2

EF ,则线段CD 的长为______________. 20 ．（2012年高考（浙江理））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x

联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴为（ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程精选

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，．极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程．如下图所示．，0 φ－π＝θ和0 φ＝θ角的直线方程是0 φ过极点且与极轴成(1)

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示． (3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所示． 3．圆的极坐标方程．所示． 1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示． 2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所 3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π 2 圆心在过极点且与极轴成3)(示． 4．极坐标与直角坐标的互化．

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

圆的方程-高考文科数学专题练习

一、填空题 1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析：解法一(直接法) 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 解法二(数形结合法) 作图，根据点(1,2)到y 轴的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：x 2＋(y －2)2＝1 2．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 等于________．解析：由a 2＝a ＋2得a ＝－1或2，又当a ＝2时， 4x 2＋4y 2＋4x ＋2＝0不表示任何图形，故a ＝－1. 答案：－1 3．已知点A (4,9)，B (6,3)，则以AB 为直径的圆的标准方程为________．解析：由题意可知圆心为(5,6)，半径r ＝12|AB |＝1 2(6－4)2＋(3－9)2＝10，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 答案：(x －5)2＋(y －6)2＝10 4．已知圆的方程为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25. (1)若该圆过原点，则m 的值为________； (2)若点P (m,0)在圆内，则m 的取值范围为________．解析：(1)由题意可知点(0,0)满足(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25，即5m 2＝25，解得m ＝±5. (2)由题意可知(m －2m )2＋(0＋m )2<25，即2m 2<25，解得－522

答案：(1)±5 (2)－522

(完整版)2019年高考全国3卷文科数学及答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合2 {1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ． 1 6 B ． 14 C ． 13 D ． 12 4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0．5 B ．0．6 C ．0．7 D ．0．8 5．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 7．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =-

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高中文科数学直线和圆方程复习

第六讲、直线和圆的方程四、平面解析几何初步（一）直线与方程 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。 5.会求两直线的交点坐标。 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（二）圆与方程 1.掌握圆的标准方程与一般方程。 2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 4.初步了解用代数方法处理几何问题。（三）空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。 2.了解空间两点间的距离公式。直线方程 1数轴上两点间距离公式：A B x x AB -= 2直角坐标平面内的两点间距离公式：2 2122121)()(y y x x P P -+-= 3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2 －x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量向量 1 21x x -21F F =（1， 1 212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α

年高考第一轮复习数学圆的方程

7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 （D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0，仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－10，得7t 2－6t －1<0，即－7 1

高一数学高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学高中数学圆的方程专题（四个课时）类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

高中数学圆的方程专题复习

高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得 m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2 ＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是 22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2 =-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． ∵m ∈R ，∴ 得

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程考点一圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是【答案】－2解得223a -<<. 考点二点与圆的位置关系

1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D