高考数学理科总复习压轴大中小题集锦(全)

高考数学理科总复习压轴题集锦

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高考数学理科总复习压轴题集锦 (1)

压轴大题集锦 (3)

1.导数 (3)

2.圆锥曲线 (8)

压轴小题集锦 (15)

1.与函数、不等式有关的压轴小题 (15)

2.与数列有关的压轴小题 (21)

3.与立体几何有关的压轴小题 (26)

4.与解析几何有关的压轴小题 (35)

5.与向量有关的压轴小题 (41)

中档大题集锦 (53)

1.三角函数与解三角形 (53)

2.数列 (56)

3.立体几何 (60)

4.概率与统计 (68)

5.坐标系与参数方程 (74)

6.不等式选讲 (78)

压轴大题集锦

1.导 数

1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－2ax －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2－2x －1，f (－1)＝1e ，

所以切点坐标为????－1，1

e ，

f ′(x )＝e x －2x －2， 所以f ′(－1)＝1

e

，

故曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －1e ＝1e []x －(－1)，即y ＝1e x ＋2

e .

(2)f (x )＝e x －ax 2－2ax －1求导得f ′(x )＝e x －2ax －2a ， 令g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a ，则g ′(x )＝e x －2a (x ＞0). ①当2a ≤1，即a ≤1

2时，g ′(x )＝e x －2a ＞1－2a ≥0，

所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a 在(0，＋∞)上为增函数， g (x )＞g (0)＝1－2a ≥0，

即g (x )＝f ′(x )≥0，所以f (x )＝e x －ax 2－2ax －1在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )＞f (0)＝1－0－0－1＝0，故a ≤1

2

时符合题意.

②当2a ＞1，即a ＞1

2

时，令g ′(x )＝e x －2a ＝0，得x ＝ln 2a ＞0，

当x ∈(0，ln 2a )时，g (x )＜g (0)＝1－2a ＜0，即f ′(x )＜0，

所以f (x )在(0，ln 2a )上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的取值范围是?

???－∞，12. 2.(2017·广东惠州调研)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ).

(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；

(2)当a ＝1时，证明：对任意的x ＞0，f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2. (1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，

f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(x ＋1)(2x －a )

x .

当a ≤0时，f ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增. 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a

2，

由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a

2

，

所以函数f (x )在区间????a 2，＋∞上单调递增，在区间????0，a

2上单调递减. (2)证明 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2， 只需证明e x －ln x －2＞0，设g (x )＝e x －ln x －2， 则问题转化为证明对任意的x ＞0，g (x )＞0， 令g ′(x )＝e x －1x ＝0，得e x ＝1

x

，

容易知道该方程有唯一解，不妨设为x 0，则x 0满足0e x ＝1

x 0，

当x 变化时，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：

g (x )min ＝g (x 0)＝0x e －ln x 0－2＝1

x 0

＋x 0－2，

因为x 0＞0，且x 0≠1，所以g (x )min ＞21－2＝0，因此不等式得证. 3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若方程f (x )＝m (m ＜－2)有两个相异实根x 1，x 2，且x 1

x －1＝1－x x

＝0?x ＝1，

当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(0，1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减. (2)证明 由(1)可知，f (x )＝m 的两个相异实根x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，

且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2，

又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上单调递减， 故x 2＞2，

所以0＜x 1＜1，0＜2

x 22＜1.

令g (x )＝ln x －x －m ，

则g (x 1)－g ????2x 22

＝(ln x 1－x 1)－????ln 2x 22

－2x 22

＝(ln x 2－x 2)－(ln

2x 22－2x 22)＝－x 2＋2

x 22

＋3ln x 2－ln 2， 令h (t )＝－t ＋2

t

2＋3ln t －ln 2(t ＞2)，

则h ′(t )＝－1－4t 3＋3t ＝－t 3＋3t 2－4

t 3＝－(t －2)2(t ＋1)t 3

.

当t ＞2时，h ′(t )＜0，h (t )在(2，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (2)＝2ln 2－3

2＜0.

所以当x 2＞2时，g (x 1)－g ????2x 22

＜0，即g (x 1)＜g ???

?2x 22

， 因为0＜x 1＜1，0＜2

x 22＜1，g (x )在(0，1)上单调递增，

所以x 1＜2

x 22

，故x 1·x 22＜2. 综上所述，x 1·x 22

＜2. 4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g (x )＝12x 2＋nx ＋

mf ′(x )(m ，n ∈R )，当且仅当在x ＝1处取得极值，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求m 的取值范围.

解 (1)f ′(x )＝a (1－x )

x

(x ＞0)，

当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1， 令f ′(x )＜0，得x ＞1，

故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)因为函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， 则f ′(2)＝1，即a ＝－2， 所以g (x )＝1

2

x 2＋nx ＋m ????2－2x ，

所以g ′(x )＝x ＋n ＋2m x 2＝x 3＋nx 2＋2m

x 2

，

因为g (x )在x ＝1处有极值，故g ′(1)＝0，从而可得n ＝－1－2m ， 则g ′(x )＝x 3＋nx 2＋2m x 2＝(x －1)(x 2－2mx －2m )

x 2，

又因为g (x )仅在x ＝1处有极值，

所以x 2－2mx －2m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，

当m ＞0时，－2m ＜0，易知?x 0∈(0，＋∞)，使得x 20－2mx 0－2m ＜0， 所以m ＞0不成立，故m ≤0，

当m ≤0且x ∈(0，＋∞)时，x 2－2mx －2m ≥0恒成立， 所以m ≤0.

综上，m 的取值范围是(－∞，0].

5.(2017·湖北沙市联考)已知函数f (x )＝e －

x (ln x －2k )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直. (1)求f (x )的单调区间；

(2)设g (x )＝1－x (ln x ＋1)e x

，对任意x ＞0，证明：(x ＋1)·g (x )

2. (1)解 因为f ′(x )＝1

x

－ln x ＋2k e x (x ＞0)，

由已知得f ′(1)＝1＋2k e ＝0，所以k ＝－1

2

.

所以f ′(x )＝1

x －ln x －1e x ，设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1

x ＜0在(0，＋∞)上恒成立，

即k (x )在(0，＋∞)上单调递减，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )<0.

综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞). (2)证明 因为x ＞0，要证原式成立即证g (x )e x ＜1＋e －

2

x ＋1成立.

当x ≥1时，由(1)知g (x )≤0＜1＋e

－2

成立；

当0＜x ＜1时，e x ＞1，且由(1)知，g (x )＞0，所以g (x )＝1－x ln x －x

e x ＜1－x ln x －x ，

设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)， 当x ∈(0，e －

2)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(e －

2，1)时，F ′(x )＜0， 所以当x ＝e

－2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －

2，

所以g (x )＜F (x )≤1＋e －

2，

即当0＜x ＜1时，g (x )＜1＋e －

2.

①

综上所述，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2

恒成立.

令G (x )＝e x －x －1(x ＞0)，则G ′(x )＝e x －1＞0恒成立，所以G (x )在(0，＋∞)上单调递增， G (x )＞G (0)＝0恒成立，即e x ＞x ＋1＞0， 即0＜1e x ＜1x ＋1

.

②

当x ≥1时，有g (x )

e x ≤0＜1＋e －

2x ＋1；

当0＜x ＜1时，由①②式，g (x )e x ＜1＋e －

2

x ＋1

.

综上所述，当x ＞0时，g (x )e x ＜1＋e －

2

x ＋1成立，故原不等式成立.

6.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝????k ＋4k ln x ＋4－x

2

x ，其中常数k ＞0. (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；

(2)当k ∈[4，＋∞)时，若曲线y ＝f (x )上总存在相异的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，试求x 1＋x 2的取值范围. 解 (1)由已知得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，

且f ′(x )＝k ＋4k x －x 2＋4x 2＝－x 2－????k ＋4k x ＋4x 2

＝－(x －k )???

?x －4k x 2(k ＞0). ①当0＜k ＜2时，4k ＞k ＞0，且4

k

＞2，

所以x ∈(0，k )时，f ′(x )＜0；x ∈(k ，2)时，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4

k ＝k ＝2，f ′(x )＜0在区间(0，2)内恒成立，

所以f (x )在(0，2)上是减函数； ③当k ＞2时，0＜4k ＜2，k ＞4

k

，

所以当x ∈????0，4k 时，f ′(x )＜0；x ∈????4

k ，2时，f ′(x )＞0， 所以函数在????0，4k 上是减函数，在????4

k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，x 1x 2＞0且x 1≠x 2， 即k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4

k x 2－4x 22－1，化简得，4(x 1＋x 2)＝????k ＋4

k x 1x 2. 由x 1x 2＜??

??x 1＋x 222

，

得4(x 1＋x 2)＜????k ＋4k ????x 1＋x 222，

即(x 1＋x 2)＞16

k ＋4k

对k ∈[4，＋∞)恒成立，

令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝k 2－4

k 2＞0对k ∈[4，＋∞)恒成立.

所以g (k )在[4，＋∞)上是增函数，则g (k )≥g (4)＝5， 所以16k ＋4k ≤16

5，

所以(x 1＋x 2)＞16

5

，

故x 1＋x 2的取值范围为????165，＋∞.

2.圆锥曲线

1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2

＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝5

3.

(1)求C 1的方程；

(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程.

解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2， 由题意知点F 2即为点F (1，0).

由抛物线的定义，|MF 2|＝53?x 1＋1＝53?x 1＝2

3，

因为y 21＝4x 1，

所以y 1＝263，即M ????

23，263，

所以|MF 1|＝

????23＋12＋????2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53

＝4?a ＝2，

所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，

代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，

由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0?－7

设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m

7，

所以AC 中点的坐标为????

4m 7，3m 7，

由四边形ABCD 为菱形可知，点????4m 7，3m 7在直线BD 上， 所以7·4m 7－7·3m

7＋1＝0?m ＝－1∈()－7，7.

所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.

2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为2

2

，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝

14

3

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为

c ，

因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1， 因为椭圆的离心率为22，则c a ＝2

2

，即a ＝2c ＝2， 从而

b 2＝a 2－

c 2＝1，故椭圆

C 的方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－m

x 0x ＋m ，

即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.

因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1， 即

|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20

＝1，

即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，

即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0， 同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.

由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，

所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0

x 0－2，

|MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2

－4mn ＝

4y 20

(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝

4x 20＋4y 20－8x 0

(x 0－2)2

.

因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 20

2＋y 20＝1， 即

y 2

0＝1－x 202

，

则|MN |＝2x 20－8x 0＋4

(x 0－2)2

＝

2(x 0－2)2－4

(x 0－2)2

＝

2－4(x 0－2)2

， 令

2－4(x 0－2)2

＝143，

则(x 0－2)2＝9， 因为x 0＜0，则

x 0＝－1，y 2

0＝1－x 202

＝12

，即

y 0＝±2

2

，

故存在点P ?

???－1，±2

2满足题设条件.

3.(2017·河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝2

2，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，

B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；

(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|， d 2＝(x ＋1)2＋y 2，

∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)A (0，1)，F (－1，0)， ∴k AF ＝1－0

0－(－1)＝1，

又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，

∴k BF ＝－1，

直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，

代入x 22＋y 2

＝1，解得?

????

x ＝0y ＝－1(舍)，

???

x ＝－43

，

y ＝13.

∴B ???

?－43，13， k AB ＝

1－13

0－????－43＝1

2， ∴直线AB 的方程为y ＝1

2x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.

(3)方法一 ∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°， ∴k AF ＋k BF ＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b ，将直线AB 的方程y ＝kx ＋b 代入x 22＋y

2＝1，得????k 2＋1

2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2kb

k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋

12，

∴k AF ＋k BF ＝

y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)

＝0， ∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1) ＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b

＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb

k 2＋

12＋2b ＝0，

∴b －2k ＝0，

∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)， ∴直线l 总经过定点M (－2，0)， 方法二 由于∠OF A ＋∠OFB ＝180°， ∴点B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，B 1(x 2，－y 2)，直线AF 方程为y ＝k (x ＋1).

代入x 22

＋y 2

＝1，得

?

???k 2＋12x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0.

∴x 1＋x 2＝－2k 2

k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋

12

，

∴k AB ＝y 1－y 2

x 1－x 2

，

直线AB 的方程为y －y 1＝y 1－y 2

x 1－x 2(x －x 1)，

令y ＝0，得x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y 2

y 1－y 2.

又∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)，

∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2

x 1＋x 2＋2

＝2×k 2－1k 2

＋12－

2k 2

k 2＋

122－

2k 2k 2＋

12＝－2.

∴直线l 总经过定点M (－2，0).

4.(2017·广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. (1)若AF →＝3FB →

，求直线AB 的斜率；

(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.

解 (1)依题意可设直线AB ：x ＝my ＋1，

将直线AB 与抛物线联立?????

x ＝my ＋1

y 2＝4x

?y 2－4my －4＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由根与系数的关系得????

?

y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2

＝－4，

∵AF →＝3FB →

，∴y 1＝－3y 2，∴m 2＝13，

∴直线AB 的斜率为3或－ 3.

(2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2·1

2||OF ||y 1－y 2＝||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16m 2＋16≥4，

当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.

5.(2017·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，

0)，点A ?

??

?

1，

22在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →

？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ?

??

?

1，

22在椭圆C 上，所以2a ＝||AF 1＋||AF 2＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆

C 的方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ????x 3，5

3，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由????

?

y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t

9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，

故y 0＝y 1＋y 22＝t

9

且－3＜t ＜3.

由PM →＝NQ →

，得????x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －5

3.

(也可由PM →＝NQ →

知四边形PMQN 为平行四边形

而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点， 所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －15

9.)

又－3＜t ＜3，

所以－7

3＜y 4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[－1，1]矛盾.

因此点Q 不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q 点.

6.(2017·河南开封月考)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .

(1)求动点Q 的轨迹Г的方程；

(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.

解 (1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上， ∴|QP |＝|QF |，

得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，

又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆， ∴Г：x 24

＋y 2

＝1.

(2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)， ∵|CA |＝|CB |，

∴C 在AB 的垂直平分线上， ∴直线OC 的方程为y ＝－1

k x .

????

?

y ＝kx x 24＋y 2＝1?(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4

k 2＋1

4k 2＋1

，同理可得|OC |＝2

k 2＋1

k 2＋4

， S △ABC ＝1

2|AB |×|OC |＝4

(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)

(4k 2＋1)(k 2＋4)

，

(4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)

2

，当且仅当k ＝1时取等号，

∴S △ABC ≥8

5

.

综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值8

5

.

压轴小题集锦

1.与函数、不等式有关的压轴小题

1.(2017届枣庄期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

解析 因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg ||x ＋1的图象，如图所示：

由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点有3个，故选C.

2.设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，?x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且在(0，＋∞)上f ′(x )＜x ，若f (4－m )－f (m )≥8－4m ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－2，2] B.[2，＋∞)

C.[0，＋∞)

D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案 B

解析 令g (x )＝f (x )－1

2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，函数g (x )为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g ′(x )

＝f ′(x )－x ＜0，且g (0)＝0，

则函数g (x )是R 上的单调递减函数，故 f (4－m )－f (m )＝g (4－m )＋12(4－m )2－g (m )－1

2m 2

＝g (4－m )－g (m )＋8－4m ≥8－4m ，

据此可得g (4－m )≥g (m )，∴4－m ≤m ，m ≥2.

3.(2017·马鞍山三模)已知函数f (x )＝????

?

ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的根，则m

的取值范围是( ) A.(0，2e)

B.(0，e)

C.(0，1)

D.???

?0，1e 答案 D

解析 若m <0，那么f (x )＝f (－x )只会有2个交点，所以m ＞0， 若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，

ln x ＝－m

x

有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，

令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈????0，1e 时， y ′<0，函数单调递减，当x ＞1

e 时，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－m ＞－1e ?m <1e ，所以0

e ，故选D.

4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0，1]，函数g (x )＝a sin π

6x －2a ＋

2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.????

12，43 B.????0，1

2 C.????23，4

3 D.????12，1

答案 A

解析 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 2x ＋1

的值域是[0，1]，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是

????2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0，1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0，1]∩?

???

2－2a ，2－32a ≠?，若[0，1]∩????2－2a ，2－32a ＝?，则2－2a ＞1或2－3

2a ＜0， 即a <12或a ＞4

3

，所以a 的取值范围是????12，43，故选A. 5.(2017届河南天一大联考)设函数f (x )＝?

????

2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－

log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(4

5，＋∞) C.(3，＋∞) D.(45，3)

答案 C

解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：

要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需???

?

?

log a 3＜2，log a

5＜4，得a ＞3，故选C.

6.已知函数f (x )＝?

????

x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，

log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的

方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.????0，2

3 B.????

23，34 C.????13，23∪??????

34 D.????13，23∪????

??

34

答案 C

解析 由题设可得?????

0＜a ＜1，

－4a －3

2≥0，

3a ≥1，

解得13≤a ≤3

4

.结合图象可知方程在(－∞，0)和(0，＋∞)

上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞2

3时，则x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ

＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤2

3时，符合题设

条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝3

4

.故选C.

7.(2017·四川成都一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[]－1，0时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝||cos πx 在????－52，1

2上的所有实数解之和为( )

A.－7

B.－6

C.－3

D.－1 答案 A

解析 因为函数是偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：

两个函数在区间????－52，1

2上有7个交点，中间点是x ＝－1，其余6个交点关于x ＝－1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A.

8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f (x )＝?

????

e x ，x ≥0，

lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0

有三个不同的实根，则t 的取值范围为( ) A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)

C.[－2，1]

D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)

答案 A

解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1，当m ＝1时，t ＝－2，此时由m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上实数t 的取值范围为t ≤－2，故选A.

9.若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A

解析 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，说明方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，

∴方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的解为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，若x 1

∴x 1是极大值，f (x )＝x 1有两解，x 1＜x 2，f (x )＝x 2＞f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解，

若x 1＞x 2，即x 1是极小值点，x 2是极大值点，由于f (x 1)＝x 1， ∴x 1是极小值，f (x )＝x 1有2解，x 1＞x 2，f (x )＝x 2

10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝?

????

2x －1，0≤x ≤1，

f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[)

0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n (n ∈N *)上的所有零点的和为( ) A.n (n ＋1)

2

B.22n －1＋2n －

1 C.(1＋2n )22

D.2n －1

答案 B

解析 函数f (x )＝?

????

2x －1，0≤x ≤1，

f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方

程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，则21－1＝f (0)＋m ，可得m ＝1，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图：

图象交点横坐标就是g (x )＝f (x )－x 的零点，由图知，在区间[0，2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3…＋(2n －1)＋2n ＝22n －

1＋2n －

1，故选B.

11.设函数f (x )＝?

????

1，x ＝1，

log a |x －1|＋1，x ≠1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，

则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2

解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个零点)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0，1，2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.

12.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )

x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m

的取值范围是__________. 答案 ?

???－∞，e 2＋1

e

解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x

x ＝0，

∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x

x

(x >0)，

设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x

x ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，

f 2(x )＝

ln x

x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2

， 发现函数f 1(x )，f 2(x )在(0，e)上都单调递增，在(e ，＋∞)上都单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1

e ，∴函

数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e

.

13.(2017届柳州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝?

????

5

|x －

1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )

－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝__________. 答案 2

解析 令t ＝f (x )，作出函数f (x )的图象如图所示：

由图可知方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42－(2m ＋1)×4＋m 2＝0?m ＝2或m ＝6，又当m ＝2时，另一根为1，满足题意；当m ＝6时，另一根为9，不满足题意，故m ＝2.

14.(2017·山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝e x －

2＋x －3(e 为自然对数的底数)，g (x )＝x 2－ax －a ＋3.若存在实数x 1， x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是______________. 答案 []2，3

解析 函数f (x )＝e x －

2＋x －3的导数为f ′(x )＝e x －2＋1＞0，f (x )在R 上单调递增， 由f (2)＝0，可得f (x 1)＝0的解为x 1＝2，

存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，

即为g (x 2)＝0且|2－x 2|≤1，即x 2－ax －a ＋3＝0在[1，3]上有解， 即有a ＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋1)＋4

x ＋1－2在[1，3]上有解，

令t ＝x ＋1(2≤t ≤4)，由t ＋4

t －2在[2，4]上单调递增，

可得最小值为2，最大值为3，则a 的取值范围是[2，3].

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i

高考理科数学压轴题及答案汇编

高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题

2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)

高考数学压轴题专题训练20道

高考压轴题专题训练 1． 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

挑战高考数学压轴题库之圆锥曲线与方程

一、圆锥曲线中的定值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率 为m，证明2m－k为定值． y2 b2＝ 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． y2 b2＝ 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证 y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在 C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （Ⅰ）求双曲线C的方程；

|NF| 定值，并求此定值． 二、圆锥曲线中的最值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． ★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． y2 b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦 y2 b2＝1的左、右焦点分 （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形AP B Q面积的最小值．

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

数学专题 高考数学压轴题15

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题

15.抛物线 例1．已知抛物线C ：2 2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，设 211(2) A x x ，， 222(2) B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得 122k x x += ，121x x =-， ∴ 1224N M x x k x x +=== ，∴N 点的坐标为248k k ?? ???，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 284k k y m x ? ?-=- ? ??， 将2 2y x =代入上式得2 2 2048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切， 22 22282()0 48mk k m m mk k m k ??∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=． 即l AB ∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB = ，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点， 1 ||||2MN AB ∴= ． 由（Ⅰ）知121212111 ()(22)[()4] 222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2 2142224k k ??=+=+ ???． MN ⊥ x 轴，22216 ||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-= ． 又 222121212 ||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++- x A y 1 1 2 M N B O

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数与其应用(五)

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．

49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.