2017年湖北省潜江市中考数学试卷(后附答案解析)

2017年湖北省潜江市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．

1．（3分）如果向北走6步记作+6，那么向南走8步记作（）

A．+8步B．﹣8步C．+14步D．﹣2步

2．（3分）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米，数6500用科学记数法表示为（）

A．65×102 B．6.5×102C．6.5×103D．6.5×104

3．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（）

A．25°B．35°C．45°D．50°

4．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（）

A．传B．统C．文D．化

5．（3分）下列运算正确的是（）

A．（π﹣3）0=1 B．=±3 C．2﹣1=﹣2 D．（﹣a2）3=a6

6．（3分）关于一组数据：1，5，6，3，5，下列说法错误的是（）

A．平均数是4 B．众数是5 C．中位数是6 D．方差是3.2

7．（3分）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120° D．75°

8．（3分）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13 B．12 C．14 D．15

9．（3分）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）

A．B．3 C． D．

10．（3分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．

11．（3分）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a=．

12．（3分）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需元．13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．

14．（3分）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面

为梯形ABED，tanE=，则CE的长为米．

15．（3分）有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．

三、解答题：本大题共9小题，共72分．

17．（6分）化简：﹣．

18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（6分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．

（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．

20．（6分）近几年，随着电子商务的快速发展，“电商包裹件”占“快递件”总量的比例逐年增长，根据企业财报，某网站得到如下统计表：

（1）请选择适当的统计图，描述2014﹣2017年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的百分比（精确到1%）；

（2）若2018年“快递件”总量将达到675亿件，请估计其中“电商包裹件”约为多少亿件？21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．

（1）求证：CE=CB；

（2）若AC=2，CE=，求AE的长．

22．（8分）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价

格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y

甲、y

乙

（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示：

（1）直接写出y

甲，y

乙

关于x的函数关系式；

（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；

（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．

24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．

（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；

（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．

（1）四边形ABCD的面积为；

（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；

（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年湖北省潜江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．

1．（3分）（2017?天门）如果向北走6步记作+6，那么向南走8步记作（）

A．+8步B．﹣8步C．+14步D．﹣2步

【分析】“正”和“负”是表示互为相反意义的量，向北走记作正数，那么向北的反方向，向南走应记为负数．

【解答】解：∵向北走6步记作+6，

∴向南走8步记作﹣8，

故选B．

【点评】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．

2．（3分）（2017?天门）北京时间5月27日，蛟龙号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟作业区开展了本航段第3次下潜，最大下潜深度突破6500米，数6500用科学记数法表示为（）A．65×102 B．6.5×102C．6.5×103D．6.5×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数6500用科学记数法表示为6.5×103．

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2017?天门）如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（）

A．25°B．35°C．45°D．50°

【分析】先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A的度数．

【解答】解：∵CD∥EF，

∠C=∠CFE=25°，

∵FC平分∠AFE，

∴∠AFE=2∠CFE=50°，

又∵AB∥EF，

∴∠A=∠AFE=50°，

故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4．（3分）（2017?天门）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（）

A．传B．统C．文D．化

【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．

【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传”与面“化”相对．

故选：C．

【点评】本题考查了正方体的展开图得知识，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

5．（3分）（2017?天门）下列运算正确的是（）

A．（π﹣3）0=1 B．=±3 C．2﹣1=﹣2 D．（﹣a2）3=a6

【分析】根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、积的乘方的计算法则计算，对各选项

分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：解：A、（π﹣3）0=1，故A正确；

B、=3，故B错误；

C、2﹣1=，故C错误；

D、（﹣a2）3=a6，故D错误．

故选：A．

【点评】本题考查零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

6．（3分）（2017?天门）关于一组数据：1，5，6，3，5，下列说法错误的是（）

A．平均数是4 B．众数是5 C．中位数是6 D．方差是3.2

【分析】分别求出这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、这组数据的平均数是（1+5+6+3+5）÷5=4，故本选项正确；

B、5出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项正确；

C、把这组数据从小到大排列为：1，3，5，5，6，最中间的数是5，则中位数是5，故本选项错误；

D、这组数据的方差是：[（1﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2]=3.2，故本选项正确；

故选C．

【点评】本题考查平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

7．（3分）（2017?天门）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）

A．300°B．150°C．120° D．75°

【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，

∴S=Rl，即60π=×R×10π，

解得：R=12，

∴S=60π=，

解得：n=150°，

故选B

【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．

8．（3分）（2017?天门）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）

A．﹣13 B．12 C．14 D．15

【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=﹣，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，

∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，

∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，

∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，

∴α+β=，αβ=﹣，

∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（﹣）+1=12．

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．

9．（3分）（2017?天门）如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）

A．B．3 C． D．

【分析】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．

【解答】解：作PD⊥OB，

∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，

∴m=，解得：m=3，

∴PD=3，

∵△ABP是等边三角形，

∴BD=PD=，

=OB?PD=（OD+BD）?PD=，

∴S

△POB

故选D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，考查了反比例函数点坐标的特性，本题中求得m的值是解题的关键．

10．（3分）（2017?天门）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；

④AF=2，其中正确结论的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据

三角函数的定义得到tan∠DBC==，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到

BD==2，根据相似三角形的性质得到AE=；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°﹣∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正确．

【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠ADB，

∵∠CAD=∠ADB，

∴∠BAE=∠CAD，故①正确；

∵BC=4，CD=2，

∴tan∠DBC==，

∴∠DBC≠30°，故②错误；

∵BD==2，

∵AB=CD=2，AD=BC=4，

∵△ABE∽△DBA，

∴，

即，

∴AE=；故③正确；

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=45°，

∴∠ACF=45°﹣∠ACB，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，

∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，

∴∠EAC=2∠ACF，

∵∠EAC=∠ACF+∠F，

∴∠ACF=∠F，

∴AF=AC，

∵AC=BD=2，

∴AF=2，故④正确；

故选C．

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上．

11．（3分）（2017?天门）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a=﹣6．

【分析】先变形，再整体代入求出即可．

【解答】解：∵2a﹣3b=7，

∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．

12．（3分）（2017?天门）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需48元．

【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入x+y中，即可得出结论．

【解答】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，

根据题意得：，

解得：，

∴x+y=20+28=48．

故答案为：48．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．

13．（3分）（2017?天门）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．

【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．

【解答】解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，

∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．

故答案是：20．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式求函数的最值．

14．（3分）（2017?天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°，加固后拦

水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为8米．

【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．

【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．

∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，

∴sin∠B=，

∴AF=12×=6，

∴DG=6．

∵在Rt△DGC中，CD=12，DG=6米，

∴GC==18．

∵在Rt△DEG中，tanE=，

∴=，

∴GE=26，

∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．

即CE的长为8米．

故答案为8．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理．作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．

15．（3分）（2017?天门）有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概

率是．

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个连续整数的情况数，即可求出所求概率．

【解答】解：列表如下：

所有等可能的情况有20种，其中恰好是两个连续整数的情况有8种，

则P（恰好是两个连续整数）==，

故答案为：

【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（3分）（2017?天门）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到

点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为（﹣2，0）．

【分析】画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．

【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），

发现6次一个循环，

∵2017÷6=336…1，

∴点P2017的坐标与P1的坐标相同，即P2017（﹣2，0），

故答案为（﹣2，0）．

【点评】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．

三、解答题：本大题共9小题，共72分．

17．（6分）（2017?天门）化简：﹣．

【分析】根据分式的减法可以解答本题．

【解答】解：﹣

=

=

=．

【点评】本题考查分式的减法，解答本题的关键是明确分式的减法的计算方法．

18．（6分）（2017?天门）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式5x+1＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，

解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，

则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，

将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（6分）（2017?天门）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．

（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．

【分析】（1）根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可．

（2）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可．

【解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；

（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示；

【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20．（6分）（2017?天门）近几年，随着电子商务的快速发展，“电商包裹件”占“快递件”总量的比例逐年增长，根据企业财报，某网站得到如下统计表：

（1）请选择适当的统计图，描述2014﹣2017年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的百分比（精确到1%）；

（2）若2018年“快递件”总量将达到675亿件，请估计其中“电商包裹件”约为多少亿件？【分析】（1）分别计算各年的百分比，并画统计图，也可以画条形图；

（2）从2014到2017发现每年上涨两个百分点，所以估计2018年的百分比为80%，据此计算即可．

【解答】解：（1）2014：98÷140=0.7，

2015：153÷207≈0.74，

2016：235÷310≈0.76，

2017：351÷450=0.78，

画统计图如下：

（2）根据统计图，可以预估2018年“电商包裹件”占当年“快递件”总量的80%，

所以，2018年“电商包裹件”估计约为：675×80%=540（亿件），

答：估计其中“电商包裹件”约为540亿件．

【点评】本题考查了统计图的选择、百分比的计算，明确折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．

21．（8分）（2017?天门）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．

（1）求证：CE=CB；

（2）若AC=2，CE=，求AE的长．

【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；

（2）AE=AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE==1，故AE=AD﹣ED=3．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠3．

又OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=2，CB=CE=，

∴AB===5．

∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，

∴△ADC∽△ACB，

∴==，即==，

∴AD=4，DC=2．

在直角△DCE中，DE==1，

∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时，注意辅助线的作法．

22．（8分）（2017?天门）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款

金额y

甲、y

乙

（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示：

（1）直接写出y

甲，y

乙

关于x的函数关系式；

（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

【分析】（1）利用待定系数法即可求出y

甲，y

乙

关于x的函数关系式；

（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论即可．

【解答】解：（1）设y

甲

=kx，把（2000，1600）代入，

得2000x=1600，解得k=0.8，

所以y

甲

=0.8x；

当0＜x＜2000时，设y

乙

=ax，

把（2000，2000）代入，得2000x=2000，解得k=1，

所以y

乙

=x；

当x≥2000时，设y

乙

=mx+n，

把（2000，2000），（4000，3400）代入，得，

解得．

所以y

乙

=；

（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；

当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000；

若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；

若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x=0.7x+600，解得x=6000；

故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；

当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；

当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．

【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确求出函数解析式进行分类讨论是解题的关键．

23．（10分）（2017?天门）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数