第1章_矢量分析_作业题
第1章 矢量分析
1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：
23=+?x y z A e e e
4=?+y z B e e
52x z C e e =?
求：(1) A e ；(2) A B ?；(3) A B ?；(4) AB θ；(5) A 在B 上的分量；(6) A B ×;
(7) ()A B C ?×和()A B C ×?；(8) ()A B C ××和()A B C ××。
1.8 在圆柱坐标系中，一点的位置由24,,33π??????
定出，求该点在：（1）直角坐标系中的坐标；（2）球坐标系中的坐标。
1.9用球坐标表示的场225r E e =r
。 (1) 求在直角坐标中点（-3,4，-5）处的E 和x E ；
(2) 求在直角坐标中点（-3,4，-5）处E 与矢量22x y z B e e e =?+构成的夹角。
1.18 (1) 求矢量22222324A e e e =++x y z x x y x y z 的散度；(2) 求A ??对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
1.21求矢量2224A e e e =++x y z x x y z 沿xy 平面上一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求A ?×对此回路所包围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。
第一章矢量分析
1矢量分析 1.在球面坐标系中，当?与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。 2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。 3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。 4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。 5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。 6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。 任一矢量的旋度的散度恒为（）。 7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以 是个（），而是个（），是个（）。
8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。 9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标 10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。 11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 14. 旋度为零的矢量场叫做（） 15. 标量函数的梯度是（），如静电场 16．无旋场的（）不能处处为零 17. 散度为零的矢量场叫做（） 18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场 19．无散场的（）不能处处为零 20．一般场：既有（），又有（） 21．任一标量的梯度的旋度恒为（）
第一章 矢量分析典型例题
第一章 矢量分析 1.1．试证明下列三个矢量： x y z 11e 9e 18e A =++ ，x y z 17e 9e 27e B =++ ，x y z 4e 6e 5e C =-+ 在同一平面上。 1.2．给定三个矢量A ，B 和C 如下： x y z e 2e 3e A =+- ，y z 4e e B =-+ ，x y 5e 2e C =- 求：1）A e （A e 表示矢量A 方向上的单位矢量）。 2）B A ? 3）A C ? 1.3．证明：如果C A B A ?=?且A B A C ?=? ，则B C = 。 1.4．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确 定该未知矢量。设A 为一已知矢量，P A X = 而P A X =? ，P 和P 已知，试求X 。 1.5．设标量2 3 u xy yz =+，矢量x y z 2e 2e e A =+- ，试求标量函数u 在(2,1,1) -处沿矢量A 的方向上的方向导数。 1.6．设232(,,)3u x y z x y y z =-，求u 在点(1,2,1)M -处的梯度。 1.7．设23 x y z e e (3)e A x y z x =++- ，求A 在点(1,0,1)M -处的散度。 1.8．设324x y z e 2e 2e A xz x yz yz =-+ ，求A 在点(1,1,1)M --处的旋度。 1.9．求1 ()r ?。 1.10．设r =(,,)M x y z 的矢径r 的模，试证明：0r r r r ?= = 。 1.11．计算：1）矢量r 对一个球心在原点，半径为a 的球表面的积分。 2）??对球体积的积分。 1.12．求矢量22 x y z e e e A x x y z =+- 沿,x y 平面上的一个边长为2的正方形回 路的线积分，此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。再求A ?? 对此回路
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函
第一章矢量分析(修改)
第一章矢量分析（修改） 第一章矢量分析 （说明：本章为07电本英语讲义的中译本） 电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符?的运算规则。稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。 1-1 矢量运算 我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。 仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A可写成 A?AeA 其中A是矢量A的大小，eA是与A同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。矢量A方向上的单位矢量可以这样表示： eA?A A矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e来表示。 作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。如果两矢量A和B具有同样的大小和方向，它们是相等的。如果两矢量A和B具有同样的物理的或几何的意义，则它们
具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。 我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为s的平面，则面积矢量s的大小为s，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。 s A s 图1-1-2 面积矢量s 图1-1-1 矢量A 1-1-1 矢量加和减 两矢量A和B可彼此相加，其结果给出另一矢量C，C = A + B。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A和B相加的规则，如图1-1-3所示。由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。 交换律： A + B = B + A (1-1-1) 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) (1-1-2) 1 C A B B A C B 由C = A + B，其也意味着一个矢量C可以由两个矢量A和B 来表示，即矢量C可分解为两个分矢量A和B（分量）。也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。 如果B是一矢量，则-B也是一个矢量。它是与矢量B大小相等，方向相反的一个矢量。因此，我们可以定义两矢量A和B的减法A-B为：
数学物理方程：第一章 矢量分析与场论基础
第一章 矢量分析与场论基础 内容提要 1） 正交曲线坐标系： 设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义： ),,(11z y x q q = ),,(22z y x q q = ),,(33z y x q q = 在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为 i i i dq h dl = i i i i dq h q dl ?= k j k j i k j i dq dq h h q dl dl ds ?=?= k j i k j i k j i dq dq dq h h h dl dl dl dv =??= 式中i 、j 、k 代表循环量1、2、3，k j i q q q ????=，1???=??k j i q q q ，2 2 2 ??? ? ????+???? ????+???? ????= i i i i q z q y q x h 称拉梅系数。 三种坐标系中坐标单位矢量间的关系： ???? ?????????????? ??-=??????????z y x z e e e e e e ???10 0cos sin 0sin cos ????????ρ 柱坐标与直角坐标 ???? ?????????????? ? ?=??????????z e e e e e e ???01 0sin 0cos cos 0sin ???? ρ? θγθθθθ 球坐标与柱坐标 ???? ?????????????? ? ?--=??????????z y x e e e e e e ???0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin ???? θθ?θ?θθ?θ?θ? θγ 球坐标与直角坐标 2） 矢量及其运算： 直角坐标中算符?的定义：