课题:正比例函数 课型 :新授
备课:高振英 张江峰
【学习目标】
1、理解正比例函数的概念及其图象的特征
2、能够画出正比例函数的图象
3、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系
4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题
【自主学习】
1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗?
①______________,②___________________③____________________
2、细读课本110—111页,完成课本111页的“思考”,试着写出函数解析式:
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷
。 一、正比例函数的概念复习
(1)、下列函数哪些是正比例函数?
① y=x
3 ② y=3
x ③ y=-1
2x +1 ④ y=2x ⑤y=x 2+1 ⑥ y=(a 2+1)x+2
(2)、若y=5x 3m-2是正比例函数,则m=___________.
(3)、若y=(m-2)x m-3是正比例函数,则m=____________.
【合作交流】
二、正比例函数图像的画法与性质
(一)、用描点法画出下列函数的图像
(1)、 y=2x (2)、 y=-2x
解:(1)列表得: 解:(1)列表得:
( 2)描点、连线: (2)描点、连线:
观察上题画函数,完成下列问题
(1)正比例函数是一条 ,它一定经过 。
(2)因为过 点有且只有一条直线,我们在画正比例函数图象时,只需确定两点,通常是( , )和( , )
(3)当k > 0时,直线经过 象限,y 随x 的增大而
当k 〈0时,直线经过 象限,y 随x 的减小而
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x … …
【点拨拓展】
既然正比例函数的图像是一条直线,那么最少几个点就可以画出这条直线?怎样画最简单? 在同一坐标系中,画出下列函数图象。
(3)、
y=0.5x (2)描点、连线:
解:(1)列表得:
(4)、 y=-0.5x 点拨拓展2:用最简单的方法画出下列函数的图像
(1)、 y=-3x (2) y=3
2x
当堂达标
1、汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数解析
式为___________________.y 是x 的_______函数。
2、圆的面积y(cm 2)与它的半径x(cm)之间的函数关系式是________________.y
是x 的_______函数。
3、函数y=kx(k ≠0)的图像过P (-3,7),则k=____,图像过_____象限。
4、y=3x , y=x
4, y=3x+9, y=2x 2中,正比例函数是____________.
5、 在函数y=2x 的自变量中任意取两个点x 1,x 2,若x 1<x 2,则对应的函数值
y 1与y 2的大小关系是y 1___y 2.
6、已知函数2(3)2(3)y a x a x =-+-是关于x 的正比例函数
(!)求正比例函数的解析式
(2)画出它的图象
(3)若它的图象有两点1122(,),(,)A x y B x y ,当12x x 时,试比较12,y y 的大小
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=0.5x … … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-0.5x … …
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一.变量与函数 1 .函数的定义:一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数。 2.自变量的取值范围: (1)能够使函数有意义的自变量的取值全体。 (2)确定函数自变量的取值范围要注意以下两点:一是使自变量所在的代数式有意义;二是使函数在实际问题中有实际意义。 (3)不同函数关系式自变量取值范围的确定: ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 .函数值:当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题: (1)当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 (2)当已知函数值求自变量的值就是解方程。 (3)当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二.平面直角坐标系: 1.各象限内点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在第一象限→x>0,y>0. (2)点p(x,y)在第二象限→x<0,y>0. (3)点p(x,y)在第三象限→x<0,y<0 (4)点p(x,y)在第四象限→x>0,y<0. 2 .坐标轴上的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在x轴上→x为任意实数,y=0 (2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数 3 .关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y). (2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y). (3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y) 4 .两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
【学习目标】 使学生掌握函数图像的画法.并会用函数图像求定义域、值域 【课堂导学】 一、预习作业 1、描点法作函数图像步骤: 2、还可以用计算机生成。 二、典型例题 例1、本节开头的问题中:如果把人口数(百万人)看做是年份x 的函数,试根据表,画出这个函数的图像。 例2、试画出下列函数的图像,并根据图像,分别求这两个函数的值域。 ⑴()1;f x x =+ ⑵2 ()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈ 例3、试画出函数f (x )=x 2+1的图像,并根据图像回答下列问题; ⑴比较f (-2)、 f (1) 、f (3)的大小; ⑵若0 ★例4、作出下列函数的图像,并求值域 (1)、y=x2-2|x|-3 (2)、y=|x2-2x-3| 三、板书设计 【巩固反馈】 一、填空题 1.下列可作为函数y=f(x) 图像的是___ (1) (2) (3) 2.函数y = f (x )的图像与直线 x =a 的交点个数为___ 3.根据函数y =(x -1)2-3(0≤ x ≤3)的图像,比较大小: f (0) f (1), f (0) f (3), f (1) f (3). 4.如右图,已知函数f (x )的图像关于直线x =1对称,则满足 不等式f (a )>f (3)的实数a 的取值范围是 。 二、解答题 5.作出下列函数的图像: (1)y =243x x -+; (2 ) y =12 x -1,x ,4z ∈≤且x ; (3 ) 2 (1)1(1)x x y x x ?≥-=?+<-? 6.借助函数y =x 2的图像,画出函数y = x 2-2x +1的图像。 §5正弦函数y=sinx的图像导学案 班级:__________ 小组:___________姓名:_____________ 学习目标: 一.【三维目标】 1.知识与技能 (1)了解正弦线; (2)了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像; (3)掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法 体会周期性在画函数y=sinx图像过程中的应用,从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观 通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律,培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二.【学习重点、难点】 重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像;难点: 利用单位圆画正弦函数图像。 预习案【课前预习,成竹在胸】 1.复习:正弦函数是一个周期函数,最小正周期是____,所以,关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习: (1)正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =,R y sin (2)正弦线:①MP 是带有方向的线段,这样的线段叫有向线段.MP 是从M →P 。②不论哪种情况,都有MP =y .③依正弦定义,有sin α =MP =y ,我们把MP 叫做α的正弦线.(如图1) (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系,在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx (x ∈R )的图像(如图2) (图1) (图2) (4)五点作图法: 在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑 曲线将它们连接起来,就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”,这五个关键点是: ___________________________,描出这五个点后,函数y=sinx , α的终边 P M O x y 学习-----好资料 § 142正弦函数、余弦函数的性质导学案 般结论:函数y = As in (,x亠门)及函数y=Acos(?x亠仃),x?二R的 周期T = 2: 【学习目标】 1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性,周期,最小正周期。 2、掌握正弦函数,余弦函数的奇偶性、单调性。 3、会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间。 【学习过程】 一、自主学习(一)知识链接:作出函数y=sinx与y=cosx , x€ R的图象,图象的分布有什么特点?(二)自主探究:(预习教材P34-P40) 1、 ___________________________________________________ 正弦函数,余弦函数都是周期函数,周期是,最小正周期是 _________________________________________ 。 2、由诱导公式 _______________________________ 可知正弦函数是奇函数;由诱导公式 __________________________ 可知,余弦函数是偶函数。 3、正弦函数图象关于直线 _______________ 轴对称,关于点 _________________ 中心对称;余弦函数图象关于直线 ________________ 轴对称,关于点 _________________ 中心对称。 4、正弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数,其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 _________________ 上都是减函数,其值从1减少到一1。 5、余弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数,其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 ______________ 上都是减函数,其值从1减少到一1。 6、正弦函数当且仅当x = ____________ 时,取得最大值1,当且仅当x= ___________________ 时取得最小值—1。 7、余弦函数当且仅当x = ________________ 时取得最大值1;当且仅当x= _________________ 时取得最小值—1。 二、合作探究 1 2兀 1 兀 1、求下列函数的周期:(1)y sin(3x ), (2)y = 2cos( x ) 2 5 2 6 2、求出下列函数的最大值、最小值,并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。 (1) y=1 sin 2x (2) y = -3cos 2x 3、禾U用三角函数的单调性,比较下列各组中两个三角函数值的大 小: ① sin( 54' : 7 )与sin( 63 二 8 ②cos举与cos理 8 9 1 7T 4、求函数y = 2sin(― x ')的单调区间。 2 3 更多精品文档 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 1.(2006·梅列区)函数y = 3 x+1 中自变量x 的取值范围是 .x ≠-1 2.(2006·晋江市)函数3 21-= x y 中,自变量x 的取值范围是 . x ≠2 3 3.(2006·旅顺口区)如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2观察图象写出y 1>y 2时,x 的取值范围 . -2<x <0或x >3 4.(2006·南通市)在函数5 2-=x x y 中,自变量x 的取值范围是_ ________.x>5 5.(2006·衡阳市)函数y =中自变量劣的取值范围是 . x ≥1 6.(2006·盐城市)函数y= 1 -x 1中,自变量x 的取值范围是 . x ≠1 7.(2006·永州市)函数y =中自变量x 的取值范围是 .3x ≤ 8.(2006·潍坊市)函数12 y x -=-中,自变量x 的取值范围是( )D A .1x -≥ B .2x > C .1x >-且2x ≠ D .1x -≥且2x ≠ 9.(2006·广东省)函数1 1+= x y 中自变量x 的取值范围是 ( A ) A .x ≠-l B .x >-1 C .x =- 1 D .x <- 1 10.(2006·永州市)小慧今天到学校参加初中毕业会考,从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐,吃早餐用了20分钟;再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试.下列图象中,能反映这一过程的是( )D 11.(2006·湛江市)小颖从家出发,直走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用15分钟返回到家,下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是( )A A . B . C . D . (分) 八年级数学(上)导学案 班级 姓名 学号 §4.3.2 一次函数的图像(2) 一、教学目标是: 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上,掌握一次函数图象及其简单性质; 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程,学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略; 二、教学过程 一、第一环节:问题引入: 1、作正比例函数图象的一般步骤有: 、 、 。 2、回顾正比例函数图象的性质? 3、作一次函数图象的一般步骤有: 。 1、请作出一次函数12+=x y 的图象. 解: 第二环节: 活动探究 1、合作探究,发现规律 在同一直角坐标系内分别画出y=2x+3, y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象. . ; 得出结论:一次函数图像是 .因此作一次函数图像时,只要确定 点,再过这 点作直线就可以了.一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+. 议一议: 1、上述四个函数中,随着x 值的增大,y 的值分别如何变化?相应图象上点的变化趋势如何? 2、直线y=-x 与y=-x+3的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3 吗?一般地,直线y=kx+b 与y=kx 又有什么关系? 3、直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点?一般地,你能从函数y=kx +b 的图象上直接看出b 的值吗? 4、如何确定直线y=kx +b 所经过的象限? 归纳出一次函数图象的特点: 在一次函数y kx b =+中 当0k >时,y 随x 的增大而 ,当b >0时,直线必过 象限; 当b <0时,直线必过 象限; 当0k <时,y 随x 的增大而 ,当b >0时,直线必过 象限; 当b <0时,直线必过 象限. x … … y … … 2019-2020学年高中数学 1.4.2正弦、余弦函数的性质(2)导学案新人教版必 修4 【学习目标】 知识目标:要求学生能理解三角函数的单调性和对称性; 能力目标:能求出正、余弦函数的单调区间及对称轴、对称中心。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神 【重点、难点】 教学重点:正、余弦函数的对称性和单调性; 教学难点:正、余弦函数对称性和单调性的理解与应用。 【知识梳理】 5.单调性 (1)y =sinx 的单调增区间是 ,单调减区间是 (2)y=cosx 的单调增区间是 ,单调减区间是 6.对称性:对称轴、对称中心 (1) y =sinx 取最大值时x取值构成的集合是 ,取最小值时x取值构成的集合是 . (2)y =sinx 取最大值时x取值构成的集合是 ,取最小值时x取值构成的集合是 . (3)y=sinx 的对称轴是_______________, y=cosx 的对称轴是 。 (4)y=sinx 的对称中心是_____________,y=cosx 的对称中心是____________。 习题练习: 1. 求函数)321sin( 2π+=x y 的单调区间 变式.(1)求函数)3 x 21(2sin y π--=的单调区间 (2)求函数)42x (cos y π- =的单调区间 2.有下列命题:①sin y x =的递增区间是[2,2]();2 k k k πππ+∈Z ②sin y x =在第一象限是增函数;③ sin y x =在[,]22 ππ-上是增函数.其中正确的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.函数2sin y x =-的最大值为____,取得最大值时x 值的集合为______. 函数的定义 一、自变量与应变量 在数学中,通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化,则我们把x 叫做自变量,y 叫做应变量,即y 是x 函数。 一次函数的图像及性质 一、一次例函数定义 形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数 当一次函数()()叫正比例函数。时,中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质 1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。且与y 轴的截距是b ,与y 轴的交点坐标为()b ,0。 2、当0>k 时,正比例kx y =的函数图像过一、三象限, 的增大而增大。随x y 3、当0正弦函数的图像(导学案)
最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质导学案
数学f1初中数学2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 (2)
§3.2 一次函数的图像导学案
2019-2020学年高中数学 1.4.2正弦、余弦函数的性质(2)导学案新人教版必修4.doc
初中函数图像及性质