在职研究生数值分析深刻复习资料及答案解析

在职研究生数值分析复习资料

考试时间：120分钟

一、单项选择题(每小题4分，共20分)

1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

2. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( A )。

(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)

3. n 阶差商递推定义为：0

1102110]

,,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设

差商表如下：

那么差商f [1，3，4]＝( A )。

A. (15－0)/(4－1)＝5

B. (13－1)/(4－3)=12

C. 4

D. －5/4

4. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( B )

(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散 5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( A )。

A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式

B. 在区间[a ，b]上连续的函数

C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数

D. 在每个子区间上可微的多项式

二、填空题(每空2分，共20分)

1. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是

226104()25555

P x x x =-

++（题目有问题，或许应该是：x = -1，0，4时…） 2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是

1,(0,1,2...)1

k

x k k k k x e x x k x -+-=-=+

3. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}

()k X 收敛的充分必要条件是k k X X →∞

=()*lim 。

4 .设 ??

?

???-=?

?????-=32,1223X A ， ‖A ‖∞＝___5____，‖A ‖1＝___5___，‖X ‖∞＝__ 3 _____。

5. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ?b 有 2 位有效数字，a +b 有 1 位有效数字。

6. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 。

7. 求积公式)4

3

(32)21(31)41(32)(1

0f f f dx x f +-≈

?具有___3__ 次代数精度。 三、利用100，121，144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求115的近

似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。

四、已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式

（)]()(2)([211

b f x f a f h

T n k k n ++=∑-=），计算积分?=10dx e I x ，并估计误差

（),(),("12

)(2

b a f h a b f R n ∈--

=ηη）

。

五、已知方程组???

?? ??=????? ??????? ??121212212321x x x a a a

（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式； （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛；

（3）取5=a ,T X )10

1

,51,101()0(=，求出)2(X 。

六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题（取步长为0.1，只要求给出x=0.1至0.5处的y 值，保留小数点后四位）。

??

??

?

=<<-=1)0()10(2'y x y x y y 七. 用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。

??

?

??=++-=+--=+-11

2123454

321321321x x x x x x x x x 八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留4位小数。

???

??=+--=-+-=--10

52151023210321

321321x x x x x x x x x 九、设(0)1,(0.5)5,(1)6,(1.5)3,(2)2f f f f f =====，()k f M ≤(2,3,4)k =， （1）计算

?

20

)(dx x f ，

（2）估计截断误差的大小 十、设有线性方程组b Ax =，其中 ????

?

??=??

????????=582,3015515103531b A

（1）求A LU =分解; (2) 求方程组的解 (3) 判断矩阵A 的正定性 十一、用牛顿迭代法求方程0x

x e

--=的根。（迭代三步即可）

十二、已知单调连续函数y =f (x )的如下数据，若用插值法计算，x 约为多少时

f (x )=0.5，要求计算结果保留小数点后4位。

参考答案

三、解 利用抛物插值，这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11，x2=144，y2=12，令x=115代入抛物插值多项式求得115近似值为10.7228 四、解

720519.1)]1()(2)0([161

7

1

8=++=∑=f x f f T k k

71828.1)]1())75.0()5.0()25.0((2))875.0()625.0()375.0()125.0((4)0([24

1

4=+++?

++++?+=f f f f f f f f f S 750035942968.0)81

(121|)("12||)(|1228=≤--

=e f h a b f R η 54

)4(44107272.4)4

1(28801|)(2880||)(|-?=≤--=e f h a b f R η

五、解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：

???

?

?????=--=--=--=+++ ,1,0,)

21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)

(3)(1)1(2

)

(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

（3）取5=a ，T X )10

1

,51,101()0(=

由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)

1(3=x 25013)

2(1=x ， 258)2(2=x ， 250

13)

2(3=x 则 ）（2X =（

25013， 258，250

13

）T

六、解 改进的欧拉公式为

),(1n n n n y x hf y y +=+

)],(),([2

111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y

七、解

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

??

?

??=++-=+--=+-11

24 12345321321321x x x x x x x x x L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：

??

?

??=--=+--=+-8

.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：

???

??-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453

232321x x x x x x x L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：

???

??-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.2123453

32321x x x x x x 回代得：

???

??-===00010.1 99999.500005.33

21x x x

八. 解答：

???

?

??

???++=++=++=++++++)210(51)

215(101)23(101111112121331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x

???????++=++=++=++++++)4.02.02)1.02.05.1)1.02.03.011111212

1331321k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x0=(0,0,0) x1=(0.3,1.56,2.684) x2=(0.8804,1.9445,2.9539) x3=(0.9843,1.9923,2.9938)

x4=(0.9978,1.9989,2.9991) x5=(0.9997,1.9999,2.9999) x6=(1.0000,2.0000,3.0000) x7=(1.0000,2.0000,3.0000)

九、根据给定数据点的个数应该用复化simpson 公式计算由公式得

?

20

)(dx x f ≈

))2()1(2))5.1()5.0((4)0((3f f f f f h

++++

=476 ， 2

1=h )(2880

),()

4(4

14ηf h a b s f R --

=

h h M

M 2,1440

2880021==-≤

十、因为 13521352[,]31015831025153055055A b ??

?? ???=? ???

???????

（1）A =LU=???

??

??????? ??500010531105013001 (2) 方程组的解为;

???

??-===121

3

21x x x （3） 由于A=????? ??????? ??500010531105013001=????

? ???????

?

?????? ??100010531511105013001 所以矩阵A 是对称正定的

十二、

)

1)(4(28

1)3)(1)(4(61)3)(1(8413

3)13)(43()

0)(1)(4(2)30)(10)(40()3)(1)(4(0

)31)(1)(41()

3)(0)(4()1()34)(4)(14()3)(0)(1()(+++-++--+-=?++-+++?-++-+++?---+---++-?---+---+=

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y l

l(0.5)=2.91667

贵州师范大学计算数学《数值分析》考研复试大纲

贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲（复试） (科目名称：数值分析） 一、考查目标 本《考试大纲适用于贵州师范大学数学科学学院数学专业硕士研究生入学考试复试。数值分析是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等理工科专业的一门专业核心必修课程。它是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程。其研究对象是解决各种数学问题的数值计算程序、方法与相关理论。 1、考试目的 测试考生对数值计算方法的基本原理和基本方法的掌握，以及对数值分析的理解及基本应用能力。考生应该掌握拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线性代数方程组的数值解法，并有应用这些方法解决和分析数值计算中常见问题的基本能力。 《数值分析》是我校数学科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的复试科目，其目的是考察学生是否具备本学科计算数学专业硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。 2、考试的基本要求 要求学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。 （1）掌握算法的基本原理和思想，包括算法的构造、算法处理的技巧、误差分析、收敛性和稳定性等基本理论。 （2）掌握误差与有效数字定义、函数插值与逼近的方法、积分与微分的数值计算方法、线性方程组的数值解法、非线性方程根的求解方法。 （3）掌握各种算法的理论分析；了解主要算法的设计思路。 二、考试形式与试卷结构 （一）试卷成绩及考试时间 本试卷满分为100分。考试时间为180分钟。 （二）答题方式 闭卷，笔试；所有题目全部为必答题。 （三）试卷内容 数值计算中的误差、拉格朗日插值方法、数值积分、数值微分、方程求根、线

2014级硕士研究生数值分析上机实习报告

2014级硕士研究生数值分析上机实习（第一次） 姓名：学号：学院： 实习题目：分别用二分法和Newton迭代法求方程x3■ 2x210x-20=0的根.实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1.确定实根的个数以及所在区间 2.将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?

4.两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）：

2014级硕士研究生数值分析上机实习（第二次）姓名：学号：学院： 实习题目：计算8阶三对角矩阵A=tridiag（0.235, 1.274, 0.235）的行列式.实习目的：掌握计算行列式的方法. 实习要求：首先选择一种算法，然后用C程序语言编程上机进行计算.报告内容： 1.简单描述所采用的算法: 2?计算结果： A 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?

4.写出C语言计算程序（此页写不下时可以加页）：

2014级硕士研究生数值分析上机实习（第三次） 姓名：学号：学院： 分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组实习题目： 2lx + 9.8y+ 3.4z= 6.7 <2.7x + 1.8y+ 7.2z= 2.4 8.6x + 1.5y + 3.4z = 1.9 实习目的：感受两种迭代法的收敛速度. 首先构造收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，然后用实习要求： C程序语言编程上机进行求解，初始值均取为0,精确到4位小 数. 报告内容： 1.写出收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法:

研究生数值分析试卷

2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。（范数用∞?） 四、（ 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据

为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法： ??? ? ??? ++==++=+) ,() ,()2 121(1 21211 hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n

2008级研究生数值分析试题

太原科技大学 2008级硕士研究生08/09学年第一学期 《数值分析》考试试卷 说明：1、Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式： ?? ?? ???=+-++===-+ ,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 2、Chebyshev 多项式)(x T n 有三项递推关系式： ?? ? ??=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n 一、填空题：（每题4分，共20分） 1、设??? ? ??-=1511A ，则=∞)(A Cond 2、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将 x x sin cos 1-改写为 3、设)5()(2 -+=x a x x ?，要使)(1k k x x ?=+局部收敛到5* = x ，则a 的取值范围为 4、近似数235.0* =x 关于真值229.0=x 有 位有效数字。 5、设,1)(3 -+=x x x f 则差商=]3,2,1,0[f 二、（本题满分10分）用数值积分的方法建立求解初值问题b x a y a y y x f y a ≤≤==',)(),,(的Simpson 公式： )4(3 1111-+-++++=n n n n n f f f h y y 其中1,,1),,(+-==n n n i y x f f i i i ，11-+-=-=n n n n x x x x h . 三、（本题满分15分）设要用Gauss-Seidel 迭代法求解下列线性方程组

研究生数值分析试题

昆明理工大学2010级硕士研究生考试试卷 （注：考试时间150分钟；所有答案，包括填空题答案一律答在答题纸上，否则不予记分。） 一、 填空（每空2分，共24分） 1．近似数490.00的有效数字有 位，其相对误差限为 。 2．设7 4 ()431f x x x x =+++，则017[2,2,......2]f = ，018 [2,2,......2]f = 。 3．设4()2,[1,1]f x x x =∈-，()f x 的三次最佳一致逼近多项式为 。 4．1234A ??=??-??，1A = ，A ∞= ，2A = 。 5．210121012A -????=-????-?? ，其条件数2()Cond A = 。 6．2101202A a a ????=?????? ，为使分解T A L L =?成立（L 是对角线元素为正的下三角阵），a 的取 值范围应是 。 7．给定方程组121 122 ,x ax b a ax x b -=?? -+=?为实数。当a 满足 且02ω 时，SOR 迭代法收敛。 8．对于初值问题/ 2 100()2,(0)1y y x x y =--+=，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是 。 二、 推导计算 （15分）

（小数点后至少保留5位）。（15分） 3．确定高斯型求积公式 01 1010 ()()(),(0,1)f x d x A f x A f x x x ≈+ ∈? 的节点01,x x 及积分系数01,A A 。（15分） 三、 证明 1． 在线性方程组AX b =中，111a a A a a a a ?? ??=?????? 。证明当112a - 时高斯-塞德尔法 收敛，而雅可比法只在11 22 a - 时才收敛。 （10分） 2． 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2) ,(0,1,2...., 0) k k k x x a x k a +=-=≠ 证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分） 3． 试证明线性二步法 212(1)[(3)(31)]4 n n n n n h y b y by b f b f ++++--=+++ 当1b ≠-时，方法是二阶，当1b =-时，方法是三阶的。（14分）

研究生《数值分析》教学大纲

研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础

第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。

硕士研究生数值分析试卷

数值分析（研究生，2008-12-15） 1.（10分）求函数???≤≤++<≤-+=1 0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式 x e a x a a x 210)(++=φ。 2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量 ???? ??????----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。

3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,3 4.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2 π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组 ?????? ????-=????????????????????---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T x =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ?????=-+=-+. 12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。 7.（10分） 求解矛盾方程组 ???????=++=++=++=++2 32328.12221321321 321321x x x x x x x x x x x x

研究生《数值分析》练习题

硕士研究生 《数值分析》练习题 一、判断题 1、用Newton 切线法求解非线性线性方程可以任选初值。 （ ） 2、求解非线性线性方程，Newton 切线法比弦截法迭代次数多。 （ ） 3、若n n A R ?∈非奇异，用Jacobi 迭代法求解线性方程组Ax b =必收敛。（ ） 4、Lagrange 插值法与Newton 插值法得到同一个插值多项式。 （ ） 二、填空题 1、近似数 3.14108937a =关 于π具 位有效数字。 2、双点弦截法具有 阶收敛速度。 3、求方程x x e =根的单点弦截法迭代公式是 。 4、设2112A ?? = ? ?? ? ，则()A ρ= 。 5、若(),0,1,2,3i l x i =是以01231,3,,x x x x ==为插值节点的Lagrange 插值基函数，则()()3 3012i i i x l =-=∑ 。 6、由下数据表确定的代数插值多项式的不超过 次。 7、若()8754321f x x x x =+-+，则差商[]0,1,2,,8f = 。 8、拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的 直线是y = 。 三、分析与计算题 1、设()14,2,3515T A x -??==-?? -?? ，求∞=,2,1,,p x A p p 和()1A cond 。

2、1001012,20253A x -???? ? ? == ? ? ? ?-???? ，试计算p p x A ,，p=1,2,∞，和1)(A c o n d 。 3、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中 122111221A -?? ?=-- ? ?--?? 。 4、线性方程组,0Ax b b =≠，用Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？其中 2-11=11111-2A ?? ???? ???? 。 5、已知函数表如下: ⑴ ()111.75ln11.75L ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字； ⑵ ()211.75ln11.75N ≈、估计截断误差并说明结果有几位有效数字。 6、已知函数表 如下: ⑴用Lagrange 插值法求ln 0.55的近似值()10.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字； ⑵用Newton 插值法求ln 0.55的近似值()20.55N 、估计截断误差并说明结果的有效数字。 7、已知数据如下，求满足条件的Hermite 插值多项式。

硕士研究生数值分析试卷

数值分析（研究生，2008-12-15） （ 分）求函数???≤≤++<≤-+=1 0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间?? ， 上的最佳平方逼近式 x e a x a a x 210)(++=φ。 ．（ 分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量 ???? ??????----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的 条件数和谱条件数。

（ 分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用????????插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

（ 分）用??????迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（ ，2 π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

?（ 分）用??◆????????●迭代法解方程组 ?????? ????-=????????????????????---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T x =，估计达到 位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

? （ 分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ?????=-+=-+. 12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210 -=ε。 （ 分） 求解矛盾方程组 ???????=++=++=++=++2 32328 .12221 321321321321x x x x x x x x x x x x

2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷

2014级硕士研究生试卷 科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号： 不予计分；可带计算器。 一、 填空题（每空2分，共30分） 1．设14.30=x 是准确值21.30=* x 的近似值，则近似值x 有 位有效数字，近 似值x 的相对误差为 。 2．函数)(x f 过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为)(),(),(210x l x l x l ，过这三个节点的二次拉格朗日插值多项式为 ，余项为 。 3. 已知0)1(,3)1(,0)2(=-==f f f ，二阶均差]1,1,2[-f = 。 4．方程012 3 =--x x 在5.10 =x 附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式 为 ,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是 。 5．设???? ? ??=2021012a a A ，为了使A 可分解成T LL A =，其中L 是对角元素为正的下三角矩阵， 则a 的取值范围 。 6． 设????? ??-----=232221413A ，??? ? ? ??-=111x ，则∞||||Ax ，1||||A = ， 2||||A = 。 7．设U L D A --=,b Ax =的Gauss-Seidel 迭代的矩阵形式b Ux Lx Dx k k k ++=++)()1() 1(， 其迭代矩阵为 ，该迭代格式收敛的充要条件__________________。 8．求解一阶常微分方程初值问题?? ???=<<-=1)0(1 0,2' y x y x y y ，取步长1.0=h 的Euler 法公式为 ，其截断误差的首项为 。

武汉大学07数值分析研究生试卷(A)

武 汉 大 学 2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f (1) 分析该方程存在几个根； (2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数； (3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、（15分）设线性方程组为 0,,221122221211212111≠???=+=+a a b x a x a b x a x a (1)证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散. (2) 当同时收敛时比较其收敛速度. 三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ?，受扰动后的方程组为b x x A A =?+?+))((，若1||||||||1

五、（10分）已知数据 设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-30 2min ])([i i i y x f 六、（15分）定义内积 ?-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求 ||)(x x f =的最佳平方逼近元素. 七、（10分）给定求积公式 ?-++-≈h h h Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()( 试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式. 八、（10分）给定微分方程初值问题 ?????=≤≤=2)0(102y x y dx dy 用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。

河海大学2015-2016学年硕士生 《数值分析》试题

河海大学2015-2016学年硕士生 《数值分析》试题(A) 任课教师姓名 姓名 专业 学号 成绩 一、填空题 (每空2分, 共20分) 1、若1>>x ，改变计算式( ) =-- 1ln 2x x ，使计算结果更为准确。 2、设???≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x s ，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则 =b ，=c 。 3、已知契比雪夫多项式x x x T 34)(33-=， 则122)(2 3 -++=x x x x f 在]1,1[-上的二次最佳一致逼近多项式是 。 4、已知离散数据()),,2,1(,n k y x k k Λ=，用直线bx a y +=拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是 。 5、给定矩阵?? ? ???--=3121A ， 则A 的谱半径=)(A ρ ，A 的条件数=∞)(A Cond 。 6、设0)133)(2()(2 3 =-+-+=x x x x x f ，用牛顿迭代法解此方程的根21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为 ，求根12=x 具有二阶收敛的迭代格式为 。 7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是 ()()4111h O y x y T n n n =-=+++，则称此单步法具有 阶精度。 《数值分析》2015级(A) 第1页 共6页

已知数据表 (1) 求f (x )的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式； (2) 计算差商表，并写出三次Newton （牛顿）插值多项式。 三、(本题8分) 在区间]1,1[-上给定函数14)(3 +=x x f ，求其在},,1{2 x x Span =Φ中关于权函数 1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式。(可用勒让德多项式1)(0=x p ，x x p =)(1， ))13(2 1 )(22-=x x P 《数值分析》2015级(A) 第2页 共6页

研究生数值分析试卷

2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都 是非病态的。（范数用∞?） 四、（15 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差

)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法：

研究生课程数值分析重点

误差：x是某实数的精确值，x A是它的一个近似值，x-x A是x A的绝对误差，|x-x A|≤εA，εA是x A的绝对误差限。(x-x A)/x为x A的相对误差。若|(x-x A)/x|≤εR，为x A的相对误差限。 x=±(0.a1La n a n+1L)*10k (a1≠0,k是整数)，x A是x的a n+1的4舍5入得到的近似数，如果|x-x A|≤1/2*10k-n，则x A为x的具有n位有效数字的近似值。 如果x A有n位有效数字，则。如果，则x A至少有n位有效数字。 函数求值的误差估计： 对n元函数，自变量分别为，则有。特别地，对有。 向量的范数： 如果向量的某个实值函数满足 （1）正定性：，且当且仅当； （2）齐次性：对任意实数α，都有； （3）三角不等式：对任意，都有，则称为上的一个向量范数。 在中，记，常用的向量范数有： 向量∞的范数：向量的1范数： 向量的2范数：向量的p范数： 向量的夹角： 矩阵的范数： 如果矩阵的某个实值函数满足 （1）正定性：，且当且仅当 （2）齐次性：对任意实数，都有 （3）三角不等式：对任意，都有 （4）相容性：对任意，都有。则称为上的一个矩阵范数。 对于，为F范数。 ，为矩阵A的行范数，为矩阵A的列范数 ，为矩阵A的2范数或谱范数，为的最大特征值。 插值与拟合 插值法就是用一个便于计算的简单的函数去代替，使得通常称为被插值函数，为插值节点，为插值函数。将求的方法称为插值法。 Lagrange插值基函数：Lagrange插值多项式：。插值多项式的余项：。余项估计式：，。 Newton插值多项式： ，为在上的k阶均差（或差商）。 均差的性质： （1） k阶均差是函数值的线性组合，即有，均差的对称性 （2）设，且为相异节点，那么的n阶均差与其n阶导数有如下关系：

北航2010-2015年研究生数值分析期末模拟试卷与真题

数值分析模拟卷A 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.

三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 五、（15分） 设有常微分方程的初值问题???=='00 )() ,(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误 差主项.

最新研究生数值分析考试试题汇总

2004年研究生数值分析考试试题

2004年非数学类各专业研究生《数值分析》考试试题 姓名 学院 专业 分数 1. 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶 段? 在哪些阶段将有哪些误差产生? 2. 已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =. 1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式. 2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差. 1) . 3. 设],[2 b a L ρ是],[b a 上的带权内积空间,)(x ρ是权函数. 又设 )(,),(),(21x x x n ??? 是],[2 b a L ρ中一组线性无关的函数, 并记由它 们所有的线性组合所组成的函数集合为)}(,),(),({21x x x Span X n ??? =. 对任意的函数],[)(2 b a L x f ρ∈, 求)(x f 在],[b a 中的最佳平方逼近. 4. 试给出],[b a 上复化梯形求积公式, 并描述其自适应算法. 5. 试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭 代及超松弛迭代格式。 6）试用有限差分方法求解2阶常微分方程边值问题：

,)), (),(,()(b x a x y x y x f x y ≤≤'='' ,)()(,)()(1010ββαα =+'=-'b y b y a y a y .0,0000 ,0>+≥βαβα

武汉大学06-10年(缺08-09)研究生数值分析考试试卷

武 汉 大 学 2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题 （A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）设方程组b Ax =为 ??? ? ??=???? ?????? ??37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond 二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。 三、（12分）已知数据 试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。 四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下： （1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ； （2）为求?3 1 )(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=??3 1 33 1 )()( 试导出截断误差R

五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 dx e b ax b a I x 2 1 0)(),(?-+= 取得最小值。 六、（12）确定常数i A ，使求积公式 )2()1()0()(32120 f A f A f A dx x f ++≈? 的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。 七、（12分）设)(x ?导数连续，迭代格式)(1k k x x ?=+一阶局部收敛到点*x 。对于常数λ，构造新的迭代格式： )(11 11k k k x x x ?λ λλ ++ += + 问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y t y y t f dt dy 的单步法： ??? ? ??? ++==+=+) 21,21() ,(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定区域。

研究生数值分析上机试题及解答

东华大学研究生数值分析试题（上机部分） A 卷2008年12月 时间：60分钟 班级 学号 机号 姓名 得分 注意：要求写出M 函数（如果需要）、MATLAB 命令和计算结果。 1. 求下列方程组在0<, <1中的解 ? ??-=+=βαββααsin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 命令 fun=inline('[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)),x(2)*cos(x(1))+*sin(x(2))]','x '); [x,f,h]=fsolve(fun,[ ]) 结果 =，= 2x y 26 22 23 24 25 命令 >> fun=inline('c(1)+c(2)*x.^2','c','x'); >> x=[ ]; >> y=[26 22 23 24 25]; >> c=lsqcurvefit(fun,[0 0],x,y) 结果 c = 3．求解下列微分方程组2(0)2013(0)1x x y x t y x y y '=-=?<> fun=inline('[y(1)-2*y(2);3*y(1)+y(2)]','t','y'); >> [t,y]=ode45(fun,[0 1], [2 1]) 结果 x(1)=, y(1)= 4．用定步长Gauss 积分法(课本123页)计算积分3 1e ln(1)x x dx -+?的近似值（等分数取4，每段取2个Gauss 点）。

命令 fun=inline('exp(-x).*log(1+x)','x'); nagsint(fun,1,3,4,2) 结果 5．矩阵改进平方根分解(课本25页)的计算公式为: d 1=a 11, 对i =2, 3, , n , ik i k ik ii i j ij ij j k jk ik ij ij l s a d i j d s l l s a s ∑∑-=-=-=-==-=11 11 , 1,,2,1 ,/ ,Λ 试编写矩阵改进平方根分解的程序，并求矩阵1111551514A -?? ?=-- ? ?-?? 的改进 平方根分解。 %M 函数 function [l,d]=ldlt(a) n=length(a); l=zeros(n,n);s=l;d=zeros(1,n); d(1)=a(1,1); for i=2:n for j=1:i-1 t=0;for k=1:j-1,t=t+s(i,k)*l(j,k);end; s(i,j)=a(i,j)-t;l(i,j)=s(i,j)/d(j); end; t=0;for k=1:i-1,t=t+s(i,k)*l(i,k);end;d(i)=a(i,i)-t; end l=eye(n)+l; 命令 >> [l,d]=ldlt([1 -1 1;-1 5 -5;1 -5 14]) 结果 l = 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 d = 1 4 9

2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 . 2.设一阶差商 ()()()21122114 ,321f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332 615 ,422f x f x f x x x x --= = =-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x =11/6 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = 14 ， =∞||||X 3 。p49 4. 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始 值 01 x =， 那么 1______x =。 1.5 5．解初始值问题 00 '(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 ()()[]11,,2 ++++k k k k k y x f y x f h y 6、 1151A ??= ? -??，则A 的谱半径 ＝ 6 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则 []12,,n n n f x x x ++= ————— —————3 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= _______________0_____ 。 8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_______O(h）___。 10、为了使计算 23 123 10 1(1)(1) y x x x =++- ---的乘除法运算次数尽量的少,应将 表达式改写成____________?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - + - + = 1 3 2 1 1 1 1 1 10 x x x y_____________。 二、计算题 1、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？ 由() x x ? =，可得3()3 x x x x ? -=-， 1 (()3)() 2 x x x x ?ψ =--= 1 ()(()3) 2 x x ψψ =-- ’’ 因，故 11 ()1 22 x x ψ? =<< ’’ （）-3 [] 1 1 ()()3 , k=0,1,.... 2 k k k k x x x x ψ? + ==-- 故收敛。 2、试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 101612 ,, 995 A C B a ====± ，该数值 求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 3、利用矩阵的LU分解法解方程组 123 123 123 2314 25218 3520 x x x x x x x x x ++= ? ? ++= ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 4、写出求解下列初始值问题? ? ? = ≤ ≤ - = 2 )1( )2 1( , 3 8 ' y x y y 的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

哈工大研究生数值分析试题及答案

1. 3,2x =-分别是方程328120x x x --+= 的根；讨论用Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。（结果保留4位小数） 解： 设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0, (3)0f f '-=-≠，(2)0, (2)0, (2)100f f f '''===≠ 则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平方收敛； 2是()0f x =的二重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛； 取02x =-，Newton 迭代： 32 12 ()812 ()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 2 236 34n n n x x x ++=+ 20010236 34 x x x x ++==+ 21121236 34 x x x x ++==+ 22232236 34 x x x x ++==+

2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解方程组 112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ? -= ??? ? ??? ??????? 的Jacobi 迭代法收敛。 解： Jacobi 迭代： (1)()k k J x B x g +=+ 1 0210211203203130130J a B a a a -----?????? ? ? ? =--=-- ? ? ? ? ? ??? ???? 1 123a b g a b a b -?? ?? ? ?= ? ? ? ??? ?? 迭代矩阵J B 的特征方程： 021211120323013013J a E B a a a a λλλλ λλλ----???? ? ?-=+-=-= ? ? ? ?? ??? 即：3()14()0a a λλ+= 特征根：0,a λλ==± 谱半径：()1J B a ρ=< 时Jacobi 迭代收敛 故：a >